25.7: Приклади проблем та їх вирішення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75627

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Що таке вектор зміщення з положення\((1,2,3)\) в положення\((4,5,6)\)?
Який кут робить цей вектор переміщення з\(x\) віссю?

Відповідь

а Вектор зміщення задається:\[\begin{aligned} \vec d = \begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}\end{aligned}\]

б. ми можемо знайти кут, який цей вектор робить з\(x\) віссю, взявши скалярний добуток вектора зміщення і вектора одиниці в\(x\) напрямку (1,0,0):\[\begin{aligned} \hat x \cdot \vec d = (1)(3)+(0)(3)+(0)(3) = 3\end{aligned}\] Це дорівнює добутку величини\(\hat x\) і \(\vec d\)множимо на косинус кута між ними:\[\begin{aligned} \hat x \cdot \vec d &= ||\hat x||||\vec d||\cos\theta = (1)(\sqrt{3^2+3^2+3^2})\cos\theta= \sqrt{27}\cos\theta\\ 3 &= \sqrt{27}\cos\theta\\ \therefore \cos\theta &= \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \theta&=54.7^{\circ}\end{aligned}\]