Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7: Класична статистична механіка

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75531

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Динаміка частинок задається законами Ньютона або, якщо включити квантові ефекти, квантової механіки точкових частинок. Таким чином, якщо у нас є велика кількість частинок, таких як молекули або атоми, які складають макроскопічну систему, то, в принципі, визначається динаміка. Класично нам залишається лише розробити рішення законів Ньютона. Але для систем з великою кількістю частинок, таких як число Авогадро, яке може знадобитися в деяких випадках, це абсолютно непрактичне завдання. У нас немає загальних рішень для трьох тіл задачі в механіці, не кажучи вже про\(10^{23}\) частинки. Те, що ми можемо спробувати зробити, - це статистичний підхід, де зосереджується на певних середніх показниках інтересу, які можна обчислити за допомогою деяких спрощуючих припущень. Це провінція Статистичної Механіки.

    Якщо у нас є\(N\) частинки, в принципі, ми можемо обчислити майбутнє системи, якщо нам будуть дані вихідні дані, а саме початкові положення і швидкості або моменти. Таким чином нам знадобляться\(6\;N\) вхідні числа. Вже, як на практиці, це неможливо, оскільки\(N ∼ 10^{23}\) і ми, по суті, не можемо виміряти початкові позиції та моменти для всіх молекул в газі в будь-який час. Отже, загалом ми можемо зробити припущення, що можливе імовірнісне лікування. Кількість молекул настільки велика, що ми можемо прийняти вихідні дані як набір випадкових чисел, розподілених відповідно до деякого розподілу ймовірностей. Це основна робоча гіпотеза статистичної механіки. Щоб отримати певне відчуття того, наскільки великі числа призводять до спрощення, ми почнемо з біноміального розподілу.

    • 7.1: Біноміальний розподіл
      Прикладом цього є підкидання монети. Для справедливої монети ми очікуємо, що якщо ми підкинемо її дуже велику кількість разів, то приблизно половину часу ми отримаємо голови і половину часу отримаємо хвости. Можна сказати, що ймовірність отримання голів дорівнює 1/2, а ймовірність отримання хвостів - 1−1/2=1/2. Таким чином, дві можливості мають рівні апріорні ймовірності.
    • 7.2: Статистика Максвелла-Больцмана
      Тепер ми можемо побачити, як все це стосується частинок у газі. Аналогом орел або решки були б моментами та іншими числами, які характеризують властивості частинок. Таким чином, ми можемо розглянути N частинок, розподілених у різні клітини, кожна з клітин, що стоять за сукупністю спостережуваних або квантових чисел, які можуть характеризувати частинку.
    • 7.3: Розподіл Максвелла для швидкостей
      Найбільш ймовірний розподіл швидкостей частинок у газі дано рівнянням 7.2.9. Таким чином, ми очікуємо, що функція розподілу швидкостей буде такою, як показано в Рівнянні 7.3.1. Це відоме як дистрибутив Максвелла. Максвелл прийшов до цього геніальним аргументом за багато років до того, як було розроблено деривацію, яку ми дали в останньому розділі.
    • 7.4: Гіббсійські ансамблі
      Міжатомні або міжмолекулярні сили не так вже й прямолінійні. В принципі, якщо ми маємо міжмолекулярні сили, значення енергії однієї частинки нелегко ідентифікувати. Далі, в деяких випадках можуть навіть з'явитися нові молекули, утворені комбінаціями або зв'язаними станами старих. Чи слід їх вважати однією частинкою або двома або більше? Отже, потрібно розуміти розподіл з більш загальної точки зору.
    • 7.5: Рівняння стану
      Рівняння стану, задане рівнянням 7.4.19, вимагає обчислення грандіозної канонічної функції поділу. На цій сторінці явно показана перша поправка до рівняння стану ідеального газу. Рівняння ван дер Ваальса є, в кращому випадку, моделлю рівняння стану, що включає деякі особливості міжатомних сил. Тут ми маємо більш систематичний спосіб обчислення з реалістичними міжатомними потенціалами.
    • 7.6: Коливання
      Зараз ми розрахуємо коливання значень енергії і кількості частинок, заданих канонічними і грандіозними канонічними ансамблями. Зрештою, коливання невеликі порівняно із середнім значенням, оскільки N стає великим.
    • 7.7: Внутрішні ступені свободи
      Багато частинок, наприклад атоми, молекули мають внутрішні ступені свободи. Внутрішня динаміка має свій фазовий простір і, включивши його в інтеграційну міру для функції розділення, ми можемо мати чисто класичну статистичну механіку таких систем. Питання в тому, як ми це робимо? Найпростіша стратегія, про яку йдеться на цій сторінці, полягає в розгляді частинок у різних внутрішніх станах як різних видів частинок.
    • 7.8: Приклади
      Приклад використання ідеї функції перегородки дуже простим способом дає осмотичний тиск. Тут розглядається посудина, розділена на дві області, скажімо, I і II, з розчинником з одного боку і розчином розчинника плюс розчинену речовину з іншого боку. Поділ відбувається через напівпроникну мембрану, яка дозволяє молекулам розчинника проходити через будь-який шлях, але не дозволяє молекулам розчиненої речовини проходити. Таким чином, молекули розчинених речовин залишаються в області II.