3.12: Додаткові проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76604

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

3.43 Прохолодне гірське повітря

Моделюйте земну атмосферу як ідеальний газ (азот) у рівномірному гравітаційному полі. Ігнорувати всі вітри. Нехай m позначають масу молекули газу, g прискорення сили тяжіння, а z - висоту над рівнем моря.

а. використовувати ідеї з ньютонівської механіки, щоб показати, що зміна атмосферного тиску p з висотою z дорівнює

\[ \frac{d p}{d z}=-\frac{m g}{k_{B} T(z)} p(z).\]

б. якщо атмосфера є поганим провідником тепла, то зниження тиску з висотою відбувається за рахунок адіабатичного розширення. (Підказка: Іншими словами: На дні гори заповніть ізольований куля повітрям місцевої щільності, тиску та температури. Транспортуйте цю повітряну кулю на вершину гори. Під час подорожі повітряна куля буде розширюватися, тому щільність, тиск і температура будуть змінюватися. Згідно з нашим припущенням, під час цієї подорожі щільність, тиск і температура повітряної кулі будуть відповідати щільності, тиску та температури атмосфери зовні.) Покажіть, що за цим припущенням

\[ \frac{d p}{d T}=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p(T)}{T}\]

і, отже, що

\[ \frac{d T}{d z}=-\frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{m g}{k_{B}}.\]

Оцініть цей вираз в кельвіні на кілометр для азоту, який має γ = 1.4.

с. навпаки, якби атмосфера була хорошим провідником тепла, то температура була б рівномірною. Знайти p (z) при таких обставин. Позначимо тиск і температуру на рівні моря p ₀ і T ₀.

d Аналогічно знайти p (z) для адіабатичної атмосфери. 3.44 Швидкість звуку Коли звукова хвиля проходить через рідину (рідину або газ), період вібрації короткий в порівнянні з часом, необхідним для значного теплового потоку, тому стиснення можна вважати адіабатичними. Проаналізуйте стиснення і розрідження рідини в трубці. Рівноважна щільність маси дорівнює ρ ₀. Застосуйте F = ma до слимака рідини товщиною ∆x і покажіть, що якщо зміни тиску p (x, t) невеликі, то тиск задовольняє хвильовому рівнянню

\[ \frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}\]

де c, швидкість звуку, задається

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\rho_{0} \kappa_{S}}}.\]

Додатково: Використовуйте результати задач 1.2 та 3.35, щоб показати, що для ідеального газу,

\[ c=\sqrt{\gamma \frac{k_{B} T}{m}}.\]

3.45 Термодинаміка пластикового стрижня

(Ця проблема заснована на Reif проблема 5.14.)

Для обмеженого діапазону довжин L і температур T сила натягу в розтягнутому пластиковому стрижні становить

\[ F(T, L) = aT^2 (L − L_0),\]

де a - позитивна константа, а L ₀ - розслаблена (нерозтягнута) довжина стрижня. При L = L ₀ теплоємність C _L стрижня (вимірюється при постійній довжині) задається C _L (T, L ₀) = bT, де b не залежить від температури .

а Запишіть фундаментальне термодинамічне співвідношення для цього стрижня, виражаючи dE в терміні dS і dL.

б Обчислення (S /L) Т. (Підказка: Вивести відповідне відношення Максвелла для збірки зі змінними T і L.)

c Знаючи S (T ₀, L ₀), інтегруйте вздовж відповідного шляху, щоб знайти S (T, L) при будь-якій температурі та довжині в межах застосовності рівняння для F (T, L).

d Якщо почати з T = T _i і L = L _i, а потім квазістатично розтягнути термоізольований стрижень, поки він не досягне довжини L _f, яка кінцева температура T _f? Покажіть, ніж коли L ₀ ≤ L _i < L _f, стрижень охолоджується цим процесом.

е. знайти теплоємність C _L (L, T) стрижня, коли його довжина не обов'язково L ₀.

f Знайти (T /L) S для довільних T і L. Чи можуть ізольовані розтяжки теплі, а також охолоджують стрижень?

3.46 Магнітне охолодження

При низьких температурах парамагнітні солі підкоряються закону Кюрі

\[ M = c \frac{H}{T},\]

де c - додатна константа (див. Рівняння (3.100)). Припустимо, що теплоємність C _H є постійною незалежною від температури і поля. Припустимо, зразок при магнітному полі H _i і температурі T _i загортають в ізоляцію, а потім магнітне поле повільно знижується до нуля. Знайдіть кінцеву температуру, і покажіть, що вона менше T _i. Ця техніка, відома як «адіабатична розмагнічування», - це метод охолодження, який використовується для отримання температур приблизно від 1 кельвіна до 1 мікрокельвіна.

3.47 Термодинаміка електрохімічного елемента

Рейф 5.16.

3.48 Термодинаміка та еволюція

Прочитайте нарис «Термодинаміка та еволюція» Джона Паттерсона, в «Вчені протистоять креаціонізму», Лорі Р. Годфрі, ред. (Нортон, Нью-Йорк, 1983), сторінки 99—116, на резерві в науковій бібліотеці.

а. коли утворюється сніжинка, її оточення збільшується ентропія («стають більш невпорядкованими»). Як називається тепловий потік, пов'язаний з цією зміною ентропії?

b Паттерсон стверджує, що ∆S < 0 на Землі, через біологічну еволюцію, і що S > 0 десь ще у Всесвіті, щоб заповнити її. Де відбувається це збільшення ентропії?

c Паттерсон відчуває потребу посилатися на «самоорганізацію» та Прігоджін (сторінки 110—111), щоб пояснити, як його насоси можуть бути зроблені. Чи потрібно це? Перерахуйте дві або більше ситуацій з природи, в яких вода дійсно тече в гору.

3.49 Ентропія та еволюція

Креаціоністи іноді стверджують, що другий закон термодинаміки забороняє біологічну еволюцію.

а Поверхня Сонця (середня температура 5778 К) нагріває поверхню Землі (середня температура 288 К) за допомогою видимого і ближнього інфрачервоного випромінювання. Сонячна енергія, поглинена Землею щосекунди, становить 1,732 × 10 ¹⁷ Дж. Що таке зміна ентропії в секунду (внаслідок цього процесу) Сонця? Земля? Чи збільшується або зменшується ентропія «Сонце плюс Земля»?

б. все ж середня температура Землі змінюється повільно, якщо взагалі. Це пов'язано з тим, що майже вся сонячна енергія, поглинена Землею, потім випромінюється через далеке інфрачервоне випромінювання, яке, в свою чергу, нагріває «космічний простір» - космічний мікрохвильовий фон (CMB; температура 2.728 K). Що таке зміна ентропії в секунду (внаслідок цього процесу) Землі? CMB? Чи збільшується або зменшується ентропія «Земля плюс CMB»?

c Тепер уточніть модель, припустивши, що через еволюцію ентропія Землі не зовсім постійна, а зменшується. (У цьому випадку ентропія CMB повинна збільшуватися швидше, ніж швидкість, передбачена частково (b).) Припустимо, що завдяки еволюції кожен окремий організм в 1000 разів «більш неймовірний», ніж відповідний індивід був 100 років тому. Іншими словами, якщо Ω _i - це кількість мікростанів, що відповідає специфікації організму 100 років тому, а якщо ωF - кількість мікростанів, що відповідає специфікації сьогоднішнього «покращеного та менш ймовірного» організму, то Ω _f = 10−3Ω _я. Яка відповідна зміна ентропії на організм?

г Населення Землі становить близько 1018 особин еукаріотичних і 1032 прокаріотичних особин. Якщо оцінка частини (c) проводиться для кожного з них, яка зміна ентропії через еволюцію кожну секунду?

е Наскільки точно вам доведеться виміряти потік ентропії частини (b), щоб помітити диверсію потоку ентропії, розрахованого в частині (d)? Чи коли-небудь наукова величина вимірювалася з цією точністю?

f Загальноприйнято вважати, що найбільші темпи еволюції впали в кембрійський період, з 542 мільйонів років тому до 488 мільйонів років тому. Під час цього так званого «кембрійського вибуху» спочатку утворилися багатоклітинні організми, а потім випромінювалися в чудову різноманітність. Припустимо, що в кембрійський період ентропія була відведена в еволюцію живих істот за швидкістю, розрахованою частково (г). І припустимо, що в кінці кембрія налічувалося 10 ¹⁸ багатоклітинних особин. Наскільки «покращеним і менш ймовірним» був би кожен організм щодо свого одноклітинного предка на початку кембрійського періоду?

Мораль розповіді? Є багато ентропії, щоб обійти.