7.2: Термінологія радіоактивності

У спробі максимізувати стабільність ядра мають кілька варіантів. Кожен з цих варіантів є окремим видом радіоактивного розпаду. Перш ніж обговорювати окремі види розпадів, ми спочатку опишемо загальну термінологію, яка використовується для опису цих перетворень.

Активність, А, радіоактивного зразка визначається як кількість радіоактивних розпадів в секунду, зазвичай вимірюється в Беккерелі (Bq), де 1.0 Bq = 1 розпад на секунду, або Кюрі (Ci), де

\[1.0\, Ci = 3.7 x 10^{10}\, Bq.\]

Константа розпаду визначається як ймовірність в секунду будь-якого конкретного ядра розпаду.
Тому активність зразка є продуктом постійної розпаду та кількості ядер (N) у зразку:
\[ A =2N\]
Крім того, активність можна розглядати як зміну кількості присутніх радіоактивних ядер, оскільки кожен розпад зменшує кількість залишилися радіоактивні ядра. Тому,
\[A = -\frac{dN}{dt}\]

Поєднання цих результатів дає диференціальне рівняння:
\[ - \frac{dN}{dt} = \lambda N\]

\[\frac{dN}{dt} = -\lambda N\]

з розчином

\[N(t) = N_0e^{-\lambda t}\]

Кількість радіоактивних ядер у зразку з часом зменшується експоненціально.

Оскільки активність пропорційна кількості атомів, активність слідує за тим же експоненціальним зменшенням,

\[A(t) = A_0e^{-\lambda t}\]

Період напіврозпаду - це кількість часу, необхідного для активності зразка, або кількість атомів у зразку, щоб бути зменшена на половину. Це може бути пов'язано з постійною гниття через

\[ \begin{array}{c} A(t) = A_0e^{-\lambda t} \\ 0.5A_0 = A_0e^{-\lambda t_{1/2}} \\ - \lambda t_{1/2} = \log(0.5) \\ \lambda = \frac{-\log(0.5)}{t_{1/2}} \\ \lambda = \frac{\log(2)}{t_{1/2}} \end{array} \]

Радіоактивність

Радіоактивний зразок має активність 2,3 Ci. Через 1,0 ч активність знизилася до 1,7 Ci. Який відсоток вибірки залишиться після 6,0 ч?

Оскільки активність зменшується експоненціально,

\[ \begin{array}{c} A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \\ 1.7 \mu C_i = (2.3 \mu C_i) e^{-\lambda (1.0/hr)} \\ e^{-\lambda(1.0 hr)} = 0.74 \\ - \lambda(1.0 hr) = \log(0.74) \\ \lambda = 0.302 hr^{-1} \end{array} \]

Константа розпаду становить 0,302 hr-1, тобто кожен атом має приблизно 30% ймовірність розпаду щогодини.

Через 6 годин
\[ \begin{array}{c} A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \\ A(6.0 hr) = (2.3 \mu C_i)e^{-(0.302hr^{-1})(6.0 hr)} \\ A(6.0 hr) = 0.376 \mu C_i \end{array} \]

Активність знизилася до 0,376/2,3 = 0,163 від свого початкового значення. Оскільки активність і кількість атомів пропорційні, 16% зразка залишається через 6,0 ч.

Вуглець Знайомства

Зразок шкіри з гробниці спалюють для отримання 0,20 г вуглецю. Виміряна активність зразка становить 0,017 Бк. Скільки років зразку? У навколишньому середовищі близько одного атома вуглецю в 7,7 х 1011 становить 14С. Період напіввиведення 14C становить 5730 років.

Період напіврозпаду може бути пов'язаний з постійною розпаду через
\[ \begin{array} \lambda = \frac{\log(2)}{t_{1/2}} \\ \lambda = \frac{\log(2)}{5730 \text{ yr}} \\ \lambda = 1.21 x 10^{-4} \text{ yr} ^{-1} \end{array}\]

Щоб знайти вік шкіри, нам потрібно обчислити активність 14С в нинішньому середовищі, і припустити, що це була активність шкіри, коли зразок шкіри знаходився в рівновазі зі своїм середовищем (тобто коли вона була жива). Для цього знайдіть кількість атомів вуглецю в зразку, а потім знайдіть, скільки з них 14C. З цього числа можна визначити активність «нового» шматка шкіри.
\[ 0.20 g \bigg( \frac{6.02 x10^{23} atoms C}{12 g} \bigg) = 1.00 x 10^{23} atoms C\]

\[1.00 x 10^{23} atoms C \bigg( \frac{1 atom^{14}C}{7.7 x10^{11} atoms C}\bigg) = 1.30 x 10^{10} atoms^{14}C\]
Тому в зразку, коли зразок був живим, було 1,30 х 1010 атомів 14С. Оскільки константа розпаду дає ймовірність розпаду як 1,21 х 10-4 р-1, початкова активність зразка становила
\[ \begin{array}{rcl} A_0 = (1.30x10^{10}atoms^{14}C)(1.21x10^{-4}yr^{-1}) \\ A_0 = 1.57x10^6 decays/ yr \\ A_0 =0.050 decays /s = 0.050 Bq \end{array} \]
Отже,
\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \]

\[ 0.017 Bq = (0.050Bq)e^{-(1.21x10^{-4})t}\]

\[e^{-(1.21x10^{-4})t} = 0.34\]

\[-(1.21 x10^{-4})t = \log(0.34)\]

\[t = 8900 \text{ yr}\]

Вибірці 8900 років.