6.1: Рівняння Шредінгера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79161

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У 1925 році Ервін Шредінгер запропонував диференціальне рівняння, яке при вирішенні дало повний математичний опис хвильової функції «частинки»\(\psi(x)\), що рухається в області простору з потенційною енергетичною функцією\(U(x)\). Одновимірна, незалежна від часу, нерелятивістська форма цього рівняння:

\[ - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d}{dx^2} \psi(x) + U(x)\psi x = E \psi(x) \label{eq1}\]

де\(E\) - сумарна енергія системи. Хвильову функцію можна розглядати як амплітуду «хвилі», що представляє «частинку». Фізично виходить, що квадрат хвильової функції дорівнює ймовірності знаходження частинки на певній ділянці простору.

Хоча це рівняння не може бути «похідним» з будь-якого іншого принципу фізики, можна показати, що воно принаймні відповідає збереженню енергії. Припускаючи, що хвильова функція набуває вигляду суми синусоїдальних хвиль вигляду:

\[ \psi(x) = A \sin(kx) \label{eq2}\]

з довжиною хвилі (\(\lambda\)), визначеною як

\[k = \dfrac{2\pi}{\lambda} \label{eq3}\]

Підстановка рівняння\ ref {eq2} на рівняння\ ref {eq1} дає

\[ \begin{align} - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d}{dx^2} A \sin(kx) + U(x) A \sin(kx) &= E A \sin(kx) \label{eq4} \nonumber \\[5pt] + \dfrac{\hbar^2}{2m} k^2 A \sin(kx) + U(x) A \sin(kx) &= E A \sin(kx) \label{eq5} \nonumber \\[5pt] \dfrac{\hbar^2}{2m} \left( \dfrac{2 \pi}{\lambda} \right)^2 + U(x) &= E \nonumber \\[5pt] \dfrac{h^2}{2m \lambda^2 } + U(x) &= E \label{eq10}\end{align}\]

Підстановка відношення ДеБроля на рівняння\ ref {eq10} дає

\[ \begin{align} \dfrac{ h^2}{ 2 m \left(\dfrac{h}{p} \right)^2}+ U(x) &= E \nonumber \\[5pt] \dfrac{p^2}{2m} + U(x) &= E \nonumber \\[5pt] \dfrac{(mv)^2}{2m} + U(x) &= E \nonumber \\[5pt] \dfrac{1}{2} mv^2 + U(x) &= E \nonumber \\[5pt] KE + U(x) &= E \end{align}\]

Для різних потенційних енергетичних функцій ми вирішимо рівняння Шредінгера для дозволених значень загальної енергії\(E\), і точну математичну форму функції\(\psi(x)\), що описує об'єкт, що рухається в області потенційної енергії. Шредінгер був удостоєний Нобелівської премії в 1933 році насамперед за розробку цього рівняння.