Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11: Дискретні перетворення Фур'є

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79586

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Дискретне перетворення Фур'є (DFT) - це дискретизована версія перетворення Фур'є, яка широко використовується в числовому моделюванні та аналізі. З огляду на набір\(N\) чисел\(\{f_0, f_1, \dots, f_{N-1}\}\), DFT виробляє інший набір\(N\)\(N\) чисел\(\{F_0, F_1, \dots, F_{N-1}\}\), визначених наступним чином:

    \[\mathrm{DFT}\Big\{f_0, f_1, \dots, f_{N-1}\Big\} = \Big\{F_0, F_1, \dots, F_{N-1}\Big\} \qquad\mathrm{where}\quad F_n = \sum_{m=0}^{N-1} e^{-2\pi i \frac{mn}{N}}\, f_m.\]

    Оберненим цим перетворенням є зворотне дискретне перетворення Фур'є (IDFT):

    \[\mathrm{IDFT}\Big\{F_0, F_1, \dots, F_{N-1}\Big\} = \Big\{f_0, f_1, \dots, f_{N-1}\Big\} \qquad\mathrm{where}\quad f_m = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i \frac{mn}{N}}\, F_n.\]

    Зворотний зв'язок між DFT та IDFT просто довести, використовуючи особистість

    \[\sum_{m=0}^{N-1} e^{\pm 2\pi i \frac{m(n-n')}{N}} = N \delta_{nn'},\]

    де\(\delta_{nn'}\) позначає дельту Кронекера. Ця ідентичність походить від формули геометричних рядів.