7: Комплексні похідні

Ми вивчили функції, які приймають реальні входи і дають складні виходи (наприклад, комплексні розв'язки затухаючого гармонічного осцилятора, які є складними функціями часу). Для таких функцій похідна по відношенню до її дійсного входу багато в чому схожа на похідну від реальної функції реальних входів. Це еквівалентно взяття похідних дійсної та уявної частин окремо: $$\frac{d\psi}{dx} = \frac{d\mathrm{Re}(\psi)}{dx} + i \frac{d\mathrm{Im}(\psi)}{dx}.$$ Тепер розглянемо більш складний випадок функції комплексної змінної: $$f(z) \in \mathbb{C}, \;\;\mathrm{where}\;\; z \in \mathbb{C}.$$ На одному рівні ми могли б просто розглядати це як функцію двох незалежних дійсних входів:$f(x,y)$, де$z = x + i y$. Однак, роблячи це, ми б ігнорували математичну структуру складного вводу - той факт, що$z$ це не просто сукупність двох дійсних чисел, а комплексне число, яке може брати участь в алгебраїчних операціях. Ця структура має важливі наслідки для диференціального числення складних функцій.