7: Комплексні похідні

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.6: Вправи
- 7.1: Комплексна безперервність та диференційовність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми вивчили функції, які приймають реальні входи і дають складні виходи (наприклад, комплексні розв'язки затухаючого гармонічного осцилятора, які є складними функціями часу). Для таких функцій похідна по відношенню до її дійсного входу багато в чому схожа на похідну від реальної функції реальних входів. Це еквівалентно взяття похідних дійсної та уявної частин окремо:

$\frac{d\psi}{dx} = \frac{d\mathrm{Re}(\psi)}{dx} + i \frac{d\mathrm{Im}(\psi)}{dx}.$ Тепер розглянемо більш складний випадок функції комплексної змінної:

$f(z) \in \mathbb{C}, \;\;\mathrm{where}\;\; z \in \mathbb{C}.$ На одному рівні ми могли б просто розглядати це як функцію двох незалежних дійсних входів:

$f(x,y)$ , де

$z = x + i y$ . Однак, роблячи це, ми б ігнорували математичну структуру складного вводу - той факт, що

$z$ це не просто сукупність двох дійсних чисел, а комплексне число, яке може брати участь в алгебраїчних операціях. Ця структура має важливі наслідки для диференціального числення складних функцій.