Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7: Комплексні похідні

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79696

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми вивчили функції, які приймають реальні входи і дають складні виходи (наприклад, комплексні розв'язки затухаючого гармонічного осцилятора, які є складними функціями часу). Для таких функцій похідна по відношенню до її дійсного входу багато в чому схожа на похідну від реальної функції реальних входів. Це еквівалентно взяття похідних дійсної та уявної частин окремо:\[\frac{d\psi}{dx} = \frac{d\mathrm{Re}(\psi)}{dx} + i \frac{d\mathrm{Im}(\psi)}{dx}.\] Тепер розглянемо більш складний випадок функції комплексної змінної:\[f(z) \in \mathbb{C}, \;\;\mathrm{where}\;\; z \in \mathbb{C}.\] На одному рівні ми могли б просто розглядати це як функцію двох незалежних дійсних входів:\(f(x,y)\), де\(z = x + i y\). Однак, роблячи це, ми б ігнорували математичну структуру складного вводу - той факт, що\(z\) це не просто сукупність двох дійсних чисел, а комплексне число, яке може брати участь в алгебраїчних операціях. Ця структура має важливі наслідки для диференціального числення складних функцій.