7.2: Обмежені хвилі

Мова - це те, що найбільш рішуче відокремлює людину від тварин. Жоден інший вид не може освоїти синтаксис, і хоча шимпанзе можуть вивчити словниковий запас ручних знаків, існує безпомилкова різниця між людським немовлям і дитячим шимпанзе: починаючи з народження, людина експериментує з виробництвом складних мовних звуків.

Оскільки мовні звуки для нас інстинктивні, ми рідко думаємо про них свідомо. Як ми так вміло керуємо звуковими хвилями? В основному ми робимо це, змінюючи форму з'єднаного набору порожнистих порожнин у грудях, горлі та голові. Якось переміщаючи межі цього простору всередину і назовні, ми можемо видавати всі голосні звуки. До сих пір ми вивчали тільки ті властивості хвиль, які можна зрозуміти так, ніби вони існували в нескінченному відкритому просторі без кордонів. У цьому розділі ми розглядаємо, що відбувається, коли хвиля обмежена в певному просторі, або коли хвильова картина стикається з межею між двома різними середовищами, наприклад, коли світлова хвиля, що рухається по повітрю, стикається зі скляним вікном.

a/ Поперечний розріз людського тіла, показуючи голосовий тракт.

6.2.1 Відображення, передача та поглинання

Відображення і передача

Звукові хвилі можуть відштовхуватися від скелі, а світлові хвилі відбиваються від поверхні ставка. Ми використовуємо слово reflection, зазвичай застосовується лише до світлових хвиль у звичайній мові, щоб описати будь-який такий випадок відскоку хвилі від бар'єру. На малюнку (а) показана кругова хвиля води, яка відбивається від прямої стіни. У цьому розділі ми зосередимось головним чином на відображенні хвиль, які рухаються в одному вимірі, як на малюнку c /1.

b/ Кругові водні хвилі відбиваються від кордону зліва. (Фізика PSSC)

Відображення хвиль нас не дивує. Зрештою, такий матеріальний предмет, як гумова куля, відскакує так само. Але хвилі - це не предмети, і в запасі є деякі сюрпризи.

По-перше, зазвичай відбивається тільки частина хвилі. Дивлячись у вікно, ми бачимо світлові хвилі, які проходили крізь нього, але людина, що стоїть зовні, також зможе побачити її відображення в склі. Світлова хвиля, яка б'є по склу, частково відбивається і частково передається (пропускається) склом. Енергія вихідної хвилі розщеплюється між ними. Це відрізняється від поведінки гумового м'яча, який повинен йти в ту чи іншу сторону, а не обидва.

По-друге, подумайте, що ви бачите, якщо ви плаваєте під водою і дивитеся на поверхню. Ви бачите власне відображення. Це абсолютно неінтуїтивно, оскільки ми очікуємо, що світлові хвилі вибухнуть на свободу у відкритому повітрі. Матеріальний снаряд, вистрілений до поверхні, ніколи не відскочить від водно-повітряної межі!

У чому полягає різниця між двома середовищами, яка спричиняє часткове відображення хвиль на кордоні між ними? Це їх щільність? Їх хімічний склад? Зрештою, все, що має значення, - це швидкість хвилі в двох засобах масової інформації. Хвиля частково відбивається і частково передається на кордоні між середовищами, в яких вона має різну швидкість. Наприклад, швидкість світлових хвиль у віконному склі приблизно на 30% менше, ніж у повітрі, що пояснює, чому вікна завжди роблять відображення. На малюнку c показані приклади хвильових імпульсів, що відбиваються на кордоні між двома спіральними пружинами різної ваги, у яких швидкість хвилі різна.

з/ 1. Хвиля на спіральній пружині, спочатку рухається вліво, відбивається від нерухомого кінця. Хвиля в більш легкій пружині, де швидкість хвилі більша, рухається вліво, а потім частково відбивається і частково передається на кордоні з більш важкою спіральною пружиною, яка має меншу швидкість хвилі. Відбиття перевернуте. Хвиля, що рухається вправо у важчій весні, частково відбивається на кордоні з більш легкою пружиною. Відображення неперевернуте. (Фізика PSSC)

Роздуми, такі як b і c/1, де хвиля стикається з масивним нерухомим об'єктом, зазвичай можна зрозуміти на тій же основі, що і такі випадки, як c /2 та c/3, де зустрічаються два носії. Приклад c /1, наприклад, схожий на більш екстремальну версію прикладу c /2. Якщо важка пружина котушки в c /2 була зроблена важчою і важчою, вона в кінцевому підсумку діяла б як нерухома стіна, до якої була прикріплена легка пружина в с/1.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

На малюнку с/1 відбитий імпульс перевернутий, але його глибина настільки ж велика, як і висота вихідного імпульсу. Як енергія відбитого імпульсу порівнюється з енергією оригіналу?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Приклад 8: У риб внутрішні вуха.
Чому у риб немає вушних отворів? Швидкість звукових хвиль в тілі риби мало чим відрізняється від їх швидкості у воді, тому звукові хвилі не сильно відбиваються від шкіри риби. Вони проходять прямо через його тіло, тому у риб можуть бути внутрішні вуха.

Приклад 9: Пісні китів подорожують на великі відстані
Звукові хвилі подорожують з різко різною швидкістю через скелю, воду та повітря. Таким чином, пісні китів сильно відображаються як на дні, так і на поверхні. Звукові хвилі можуть подорожувати сотні миль, неодноразово підстрибуючи між дном і поверхнею, і все ще виявляються. На жаль, шумове забруднення від суден майже закрило цю китоподібну версію Інтернету.

Приклад 10: Міжміський радіозв'язок
Радіозв'язок може відбуватися між станціями на протилежних сторонам планети. Механізм повністю схожий на той, що пояснюється в попередньому прикладі, але трьома задіяними середовищами є земля, атмосфера та іоносфера.

самостійна перевірка:

Sonar - це метод для кораблів і підводних човнів, щоб виявити один одного шляхом створення звукових хвиль і прослуховування відлуння. Якими властивостями володів би підводний об'єкт, щоб бути невидимим для гідролокатора?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Використання слова «відображення» природно приводить до розуму створення зображення дзеркалом, але це може бути заплутаним, оскільки ми зазвичай не маємо на увазі «відображення», коли дивимося на поверхні, які не блискучі. Тим не менш, відображення - це те, як ми бачимо поверхні всіх об'єктів, а не тільки полірованих. Наприклад, коли ми дивимося на тротуар, ми насправді бачимо відображення сонця від бетону. Причина, по якій ми не бачимо зображення сонця біля ніг, полягає в тому, що шорстка поверхня так різко розмиває зображення.

Перевернуті і неперевернуті відбиття

Зверніть увагу, як імпульс відбивається назад вправо в прикладі c /2 повертається догори дном, тоді як той, що відбивається назад вліво в c/3 повертається в первісному вертикальному вигляді. Це вірно і для інших хвиль. Загалом, існує два можливі типи відбиття: відображення назад у більш швидке середовище та відображення назад у більш повільне середовище. Один тип завжди буде інвертуючим відображенням і одним неінвертуючим.

d/Неперевернуте відображення. Відбитий імпульс перевернутий спереду назад, але не перевернутий.

e/Перевернуте відображення. Відбитий імпульс змінюється як спереду назад, так і зверху вниз.

Важливо розуміти, що коли ми обговорюємо перевернуті та неперевернуті відбиття на струні, ми говоримо про те, чи перевертається хвиля поперек напрямку руху (тобто, догори ногами на цих малюнках). Відбитий імпульс завжди буде перевернутий спереду назад, як показано на малюнках d і e. Це тому, що він рухається в іншому напрямку. Передній край імпульсу - це те, що відбивається першим, тому він все ще попереду, коли він починається вліво - просто «попереду» зараз у зворотному напрямку.

Поглинання

Поки ми мовчазно припускали, що хвильова енергія залишається як хвильова енергія, і не перетворюється в будь-яку іншу форму. Якби це було правдою, то світ став би все більш насиченим звуковими хвилями, які ніколи не могли вирватися у вакуум космічного простору. Насправді будь-яка механічна хвиля складається з рухомої картини коливань якогось фізичного середовища, і коливання матерії завжди виробляють тепло, як коли ви згинаєте коатангар вперед і назад, і він стає гарячим. Таким чином, ми можемо очікувати, що в механічних хвиль, таких як водяні хвилі, звукові хвилі або хвилі на струні, енергія хвилі буде поступово перетворюватися в тепло. Це називається абсорбцією. Зниження енергії хвилі також можна описати як зменшення амплітуди, взаємозв'язок між ними є, як і з вібруючим об'єктом,\(E\propto A^2\).

f/Імпульс, що проходить через сильно поглинаюче середовище.

Хвиля зазнає зниження амплітуди, як показано на малюнку f. Зниження амплітуди становить однакову дробову зміну для кожної одиниці пройденої відстані. Наприклад, якщо хвиля зменшується від амплітуди 2 до амплітуди 1 на відстані 1 метра, то після подорожі іншого метра вона матиме амплітуду 1/2. Тобто зменшення амплітуди є експоненціальним. Це можна довести таким чином. За принципом суперпозиції ми знаємо, що хвиля амплітуди 2 повинна вести себе як суперпозиція двох однакових хвиль амплітуди 1. Якщо одна хвиля амплітуди-1 вмирає до амплітуди 1/2 на певній відстані, то дві хвилі амплітуди-1, накладені одна на одну, щоб зробити амплітуду 1+1 = 2 повинні вмирати до амплітуди 1/2+1/2 = 1 на тій же відстані.

Примітка

Оскільки хвиля піддається поглинанню, вона втрачає енергію. Чи означає це, що вона сповільнюється?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

У багатьох випадках цей фрикційний нагрівальний ефект досить слабкий. Наприклад, звукові хвилі в повітрі розсіюються в тепло надзвичайно повільно, і звук церковної музики в соборі може відвертатися цілих 3 або 4 секунд, перш ніж він стане нечутним. За цей час він пройшов понад кілометр! Навіть це дуже поступове розсіювання енергії відбувається здебільшого як нагрівання стін церкви і витікання звуку назовні (де він врешті-решт закінчиться як тепло). За правильних умов (вологе повітря і низька частота) звукова хвиля в прямій трубі теоретично могла проїхати сотні кілометрів, перш ніж бути помітною ослабленою.

Взагалі, поглинання механічних хвиль багато в чому залежить від хімічного складу і мікроскопічної структури середовища. Наприклад, брижі на поверхні антифризу вимирають надзвичайно швидко в порівнянні з брижами на воді. Для звукових хвиль і поверхневих хвиль у рідинях і газах важливо в'язкість речовини, тобто, чи легко вона тече, як вода або ртуть, або більш мляво, як патока або антифриз. Це пояснює, чому наше інтуїтивне очікування сильного поглинання звуку у воді невірно. Вода є дуже слабким поглиначем звуку (а саме китових пісень і сонара), і наша неправильна інтуїція виникає через зосередження уваги на неправильному властивості речовини: високій щільності води, яка не має значення, а не її низька в'язкість, що має значення.

Світло - цікавий випадок, оскільки хоча він може подорожувати через матерію, воно само по собі не є вібрацією будь-якої матеріальної речовини. Таким чином, ми можемо подивитися на зірку Сіріуса за\(10^{14}\) км від нас, і бути впевненими, що жоден її світло не був поглинутий у вакуумі космічного простору під час її 9-річної подорожі до нас. Космічний телескоп Хаббла регулярно спостерігає за світлом, яке було на шляху до нас з ранньої історії Всесвіту, мільярди років тому. Звичайно, енергія світла може бути розсіяна, якщо вона проходить через матерію (і світло з далеких галактик часто поглинається, якщо між ними трапляються хмари газу або пилу).

Приклад 11: Звукоізоляція

Типові музиканти-аматори, які ставляться до звукоізоляції своїх гаражів, як правило, думають, що вони повинні просто покрити стіни максимально щільною речовиною. Насправді звук поглинається не дуже сильно навіть при проходженні через кілька дюймів деревини. Краща стратегія звукоізоляції - створити сендвіч з чергуються шарів матеріалів, в яких швидкість звуку дуже різна, щоб заохотити відображення. Класичний дизайн - чергування шарів скловолокна і фанери. Швидкість звуку у фанери дуже висока, за рахунок її жорсткості, в той час як його швидкість у склопластику по суті така ж, як і його швидкість в повітрі. Обидва матеріали є досить хорошими звукопоглиначами, але звукові хвилі, що проходять через кілька дюймів з них, все ще не збираються поглинатися в достатній мірі. Сенс їх поєднання полягає в тому, що звукова хвиля, яка намагається вибратися, буде сильно відбиватися на кожному з кордонів склопластику-фанери, і буде відскакувати туди-сюди багато разів, як м'яч для пінг-понгу. Завдяки всьому руху назад і вперед звук може в кінцевому підсумку пройти загальну відстань, рівну десять разів фактичної товщини звукоізоляції, перш ніж вона втече. Це еквівалент наявності в десять разів товщини звукопоглинаючого матеріалу.

Приклад 12: Радіопередача

Радіопередавальна станція повинна мати довжину проводу або кабелю, що з'єднує підсилювач з антеною. Кабель і антена діють як два різних середовища для радіохвиль, і тому буде часткове відображення хвиль, коли вони надходять від кабелю до антени. Якщо хвилі відскакують вперед і назад багато разів між підсилювачем і антеною, велика частина їх енергії буде поглинена. Існує два способи нападу на проблему. Одна з можливостей полягає в тому, щоб сконструювати антену так, щоб швидкість хвиль в ній була максимально наближена до швидкості хвиль в кабелі; це мінімізує кількість відбиття. Інший спосіб полягає в підключенні підсилювача до антени за допомогою типу дроту або кабелю, який не сильно поглинає хвилі. Часткове відображення тоді стає неактуальним, оскільки вся енергія хвилі в кінцевому підсумку вийде через антену.

Питання для обговорення

◊ Звукова хвиля, яка зазнала відбиття, що перетворює тиск, мала б свої стиснення перетворені в розширення і навпаки. Як би його енергія та частота порівнювалися з енергією оригінального звуку? Чи звучало б це по-іншому? Що станеться, якщо поміняти місцями два дроти, де вони підключаються до стереодинаміка, в результаті чого хвилі вібрують протилежним чином?

6.2.2 Кількісна обробка рефлексії

У цьому підрозділі ми аналізуємо причини, чому відображення відбуваються на межі, що змінює швидкість, кількісно прогнозуємо інтенсивність відбиття та передачі та обговоримо, як передбачити для будь-якого типу хвиль, які відбиття інвертують, а які неінвертують.

Чому виникає рефлексія

Щоб зрозуміти основні причини того, що відбувається на кордоні між засобами масової інформації, давайте спочатку обговоримо, чого не відбувається. Заради конкретності розглянемо синусоїдальну хвилю на струні. Якщо хвиля прогресує від важчої частини струни, у якій її швидкість низька, до більш легкої частини, в якій вона висока, то рівняння\(v=f\lambda\) говорить нам, що вона повинна змінити свою частоту, або свою довжину хвилі, або обидві. Якби змінювалася тільки частота, то частини хвилі в двох різних ділянках струни швидко виходили б з кроку один з одним, виробляючи розрив у хвилі, г /1. Це нефізично, тому ми знаємо, що довжина хвилі повинна змінюватися, поки частота залишається постійною, г/2.

г/1. Зміна частоти без зміни довжини хвилі призведе до розриву хвилі.\ 2. Проста зміна довжини хвилі без відображення призведе до різкого зламу хвилі.

Але є ще щось нефізичне в фігурі g /2. Раптова зміна форми хвилі призвела до різкого зламу на кордоні. Це насправді не може статися, тому що середовище має тенденцію прискорюватися таким чином, щоб усунути кривизну. Гострий перегин відповідає нескінченній кривизні в одній точці, яка б створювала нескінченне прискорення, яке не відповідало б плавному малюнку хвильового руху, передбаченому на рис. г /2. Хвилі можуть мати перегини, але не стаціонарні перегини.

Зроблено висновок, що без позиціонування часткового відображення хвилі ми не можемо одночасно задовольнити вимоги (1) безперервності хвилі, і (2) ніяких різких змін нахилу хвилі. Іншими словами, припускаємо, що і хвиля, і її похідна є неперервними функціями.)

Чи є це доказом того, що відбувається роздуми? Не зовсім. Ми лише довели, що певні типи хвильового руху не є дійсними рішеннями. У наступному підрозділі ми доведемо, що завжди можна знайти дійсне рішення, в якому відбувається відображення. Зараз у фізиці ми зазвичай припускаємо (але рідко доводять формально), що рівняння руху мають унікальне рішення, оскільки в іншому випадку заданий набір початкових умов може призвести до іншої поведінки пізніше, але ньютонівський всесвіт повинен бути детермінованим. Оскільки рішення повинно бути унікальним, і ми виведемо нижче дійсне рішення, що включає відбитий імпульс, ми закінчимо тим, що становить доказ відображення.

Інтенсивність відображення

Зараз я покажу, у випадку хвиль на струні, що можна задовольнити фізичні вимоги, наведені вище, будуючи відбиту хвилю, і як бонус це дасть рівняння пропорцій відбиття та передачі та прогноз щодо того, які умови призведуть до перевернутого і які до неперевернутого відображення. Припускаємо лише те, що принцип суперпозиції тримає, що є хорошими наближеннями для хвиль на низці досить малої амплітуди.

h/ Частково відбивається і частково передається імпульс на кордоні між двома струнами, у яких швидкість хвилі різна. На верхньому малюнку показаний імпульс, що прямує вправо, до тяги тяги. Для наочності все, крім першого і останнього креслень, схематичні. Як тільки відбитий імпульс починає виходити з кордону, він додає разом з кінцевими частинами падаючого імпульсу. Їх сума, показана у вигляді більш широкої лінії, - це те, що насправді спостерігається.

Нехай невідомі амплітуди відбитих і переданих хвиль будуть\(R\) і\(T\) відповідно. Перевернуте відображення буде представлено від'ємним значенням\(R\). Ми можемо без втрати спільності прийняти падаючу (вихідну) хвилю, щоб мати одиничну амплітуду. Суперпозиція говорить нам, що якщо, наприклад, падаюча хвиля мала подвоєну цю амплітуду, ми могли б негайно знайти відповідне рішення, просто подвоївши\(R\) і\(T\).

Трохи ліворуч від кордону висота хвилі задається висотою 1 падаючої хвилі плюс висота тієї частини\(R\) відбитої хвилі, яка тільки що була створена і почала прямувати назад, для загальної висоти\(1+R\). З правого боку безпосередньо біля кордону передана хвиля має висоту\(T\). Щоб уникнути розриву, ми повинні мати

\[\begin{equation*} 1+R = T . \end{equation*}\]

Далі переходимо до вимоги рівних нахилів по обидва боки кордону. Нехай нахил вхідної хвилі буде s відразу вліво від стику. Якби хвиля була відбита на 100%, і без інверсії, то нахил відбитої хвилі був би\(-s\), так як хвиля була зворотна в напрямку. В цілому нахил відбитої хвилі дорівнює\(-sR\), а нахили накладених хвиль з лівого боку складають до\(s-sR\). Справа нахил залежить від амплітуди\(T\), але також змінюється розтягуванням або стисненням хвилі внаслідок зміни швидкості. Якщо, наприклад, швидкість хвилі в два рази більше з правого боку, то нахил цим ефектом скорочується навпіл. Отже\(s(v_1/v_2)T\), нахил праворуч -\(v_1\) це швидкість у вихідному середовищі та\(v_2\) швидкість у новому середовищі. Рівність схилів дає\(s-sR = s(v_1/v_2)T\), або

\[\begin{equation*} 1-R = \frac{v_1}{v_2}T . \end{equation*}\]

Розв'язування двох рівнянь для невідомих\(R\) і\(T\) дає

\[\begin{align*} R &= \frac{v_2-v_1}{v_2+v_1} \ \text{and} T &= \frac{2v_2}{v_2+v_1} . \end{align*}\]

Перше рівняння показує, що немає відображення, якщо дві швидкості хвиль не відрізняються, і що відображення інвертується при відображенні назад у швидке середовище.

Енергії переданих і відбитих хвиль завжди складаються до того ж, що і енергія вихідної хвилі. Ніколи не відбувається різких втрат (або посилення) енергії, коли хвиля перетинає межу; перетворення хвильової енергії в тепло відбувається для багатьох типів хвиль, але це відбувається у всьому середовищі. Рівняння для\(T\), на подив, дозволяє амплітуді переданої хвилі бути більше 1, тобто більше, ніж у падаючої хвилі. Це не порушує збереження енергії, тому що це відбувається, коли друга струна менш масивна, знижує її кінетичну енергію, а передається імпульс ширше і менш сильно вигнутий, що зменшує її потенційну енергію.

Перевернуті та неперевернуті відображення загалом (необов'язково)

Для хвиль на рядку відбиття назад у більш швидке середовище інвертуються, тоді як ті, що повертаються до більш повільного середовища, неінвертовані. Чи вірно це для всіх типів хвиль? Досить тонка відповідь полягає в тому, що це залежить від того, яке властивість хвилі ви обговорюєте.

Почнемо з розгляду хвильових збурень автострадного руху. Той, хто часто їздив на переповнених автострадах, спостерігав явище, в якому один водій натискає гальма, починаючи ланцюгову реакцію, яка рухається назад вниз по автостраді, оскільки кожна людина, в свою чергу, проявляє обережність, щоб уникнути заднього кінця когось. Причина, чому цей тип хвилі є актуальним, полягає в тому, що він дає простий, легко візуалізований приклад того, як наш опис хвилі залежить від того, який аспект хвилі ми маємо на увазі. У неухильно протікає автостраді як щільність автомобілів, так і їх швидкість постійні по всій дорозі. Оскільки в цій схемі постійної швидкості і щільності немає порушень, ми говоримо, що хвилі немає. Тепер, якщо хвиля торкається людиною, що натискає на гальма, ми можемо або описати її як область високої щільності, або як область зменшення швидкості.

i/Хвильова картина в автостраді трафіку.

Дорожня хвиля автостради насправді є хорошою моделлю звукової хвилі, і звукова хвиля також може бути описана або щільністю (або тиском) повітря, або його швидкістю. Так само багато інших типів хвиль можуть бути описані будь-якою з двох функцій, одна з яких часто є похідною від іншої щодо положення.

Тепер розглянемо роздуми. Якщо ми спостерігаємо хвилю автостради в дзеркалі, область високої щільності все одно буде здаватися високою щільністю, але швидкість у зворотному напрямку тепер буде описана негативним числом. Людина, яка спостерігає за дзеркальним відображенням, намалює той самий графік щільності, але графік швидкості буде перевернутий поперек\(x\) осі, а його початкова область негативного нахилу тепер матиме позитивний нахил. Хоча я не знаю жодної фізичної ситуації, яка б відповідала відображенню дорожньої хвилі, ми можемо негайно застосувати ті самі міркування до звукових хвиль, які часто відображаються, і визначити, що відображення може бути або інвертуванням щільності та швидкості-неінвертуванням, або щільність-неінвертуванням і швидкість-інвертування.

j/У дзеркальному відображенні області позитивної надлишкової щільності руху все ще позитивні, але швидкості автомобілів всі були зворотними, тому ділянки позитивної надлишкової швидкості були перетворені в негативні.

Цей самий тип ситуації буде відбуватися знову і знову, коли людина стикається з новими типами хвиль, і для застосування аналогії нам потрібно лише визначити, які величини, як швидкість, стають запереченими у дзеркальному відображенні, а які, як і щільність, залишаються незмінними.

Наприклад, світлова хвиля складається з рухомого малюнка електричного та магнітного полів. Все, що вам потрібно знати, щоб проаналізувати відображення світлових хвиль, - це те, як електричні та магнітні поля поводяться під відображенням; вам не потрібно знати жодної детальної фізики електрики та магнетизму. Електричне поле можна виявити, наприклад, по тому, як волосся стоять дибки. Напрямок волосся вказує напрямок електричного поля. У дзеркальному відображенні волосся вказують в іншу сторону, тому електричне поле, мабуть, змінюється в дзеркальному відображенні. Поведінка магнітних полів, однак, трохи складна. Наприклад, магнітні властивості стрижневого магніту обумовлені вирівняним обертанням крайніх орбітальних електронів атомів. У дзеркальному відображенні напрямок обертання змінюється, скажімо, від годинникової стрілки до проти годинникової стрілки, і тому магнітне поле змінюється двічі: один раз просто тому, що вся картина перевертається і один раз через зворотне обертання електронів. Іншими словами, магнітні поля не змінюють себе в дзеркальному відображенні. Таким чином, ми можемо передбачити, що буде два можливі типи відображення світлових хвиль. В одному електричне поле перевернуто і магнітне поле неперевернуто (приклад 23, с. 699). В іншому електричне поле неінвертується, а магнітне поле інвертується.

6.2.3 Ефекти перешкод

Якщо ви подивитеся на передню частину пари якісних біноклів, то помітите зеленувато-блакитне покриття на лінзах. Це рекламується як покриття для запобігання відображенню. Тепер відображення явно небажане - ми хочемо, щоб світло йшло в бінокль - але поки що я описував відображення як незмінний факт природи, залежно лише від властивостей двох хвильових середовищ. Покриття не може змінити швидкість світла в повітрі або в склі, так як це може працювати? Ключовим є те, що саме покриття є хвильовим середовищем. Іншими словами, ми маємо тришаровий сендвіч матеріалів: повітря, покриття та скло. Ми проаналізуємо, як працює покриття, не тому, що оптичні покриття є важливою частиною вашої освіти, а тому, що воно є хорошим прикладом загального явища хвильових інтерференційних ефектів.

Між середовищами є два різних інтерфейси: межа повітряного покриття та межа покриття-скла. Часткове відображення і часткова передача відбуватимуться на кожній межі. Для зручності візуалізації почнемо з розгляду еквівалентної системи, що складається з трьох різнорідних шматків струни, зв'язаних між собою, і хвильового малюнка, що складається спочатку з одного імпульсу.

k/ Імпульс стикається з двома межами.

На малюнку k /1 показаний падаючий імпульс, що рухається по важкій мотузці, у якого його швидкість низька. Коли він стикається з більш легкою мотузкою посередині, більш швидким середовищем, вона частково відбивається і частково передається. (Переданий імпульс більше, але, тим не менш, має лише частину вихідної енергії.) Імпульс, що передається першим інтерфейсом, потім частково відбивається і частково передається другою межею, k /3. На малюнку k/4 два імпульси знаходяться на зворотному шляху вліво, а один імпульс спрямовується вправо. (Існує ще слабкий пульс, що потрапляє між двома кордонами, і це буде гриміти туди-сюди, швидко стає занадто слабким, щоб виявити, як він витікає енергію назовні з кожним частковим відображенням.)

Зверніть увагу, як з двох відбитих імпульсів у k/4 один інвертований, а один неінвертований. Один зазнав відображення на першій межі (відображення назад у більш повільне середовище неінвертовано), але інший відбивався на другій межі (відображення назад у більш швидке середовище інвертується).

Тепер уявімо, що сталося б, якби вхідна хвиля була довгим синусоїдальним хвильовим поїздом замість одного імпульсу. Перші дві хвилі, які знову з'являться зліва, можуть бути у фазі, л/1, або поза фазою, l /2 або десь між ними. Величина лаг між ними повністю залежить від ширини середнього відрізка струни. Якщо правильно вибрати ширину середнього сегмента струни, то ми можемо організувати руйнівні перешкоди, l /2, зі скасуванням, що призводить до дуже слабкої відбитої хвилі.

л/синусоїда була відображена на двох різних межах, і два відбиття заважають.

Весь цей аналіз стосується безпосередньо нашого оригінального випадку оптичних покриттів. Видиме світло від більшості джерел складається з потоку коротких синусоїдальних хвильових поїздів, таких як намальовані вище. Єдина реальна відмінність між прикладом «хвилі на мотузці» і корпусом оптичного покриття полягає в тому, що першим і третім середовищем є повітря і скло, в яких світло не має однакової швидкості. Однак загальний результат однаковий, якщо повітря та скло мають швидкості світлових хвиль, які або більші за покриття, або обидві менше, ніж покриття.

Бізнес оптичних покриттів виявляється дуже таємничим, з безліччю комерційної таємниці та технік «чорної магії», переданих від майстра до учня. Тим не менш, ідей, які ви дізналися про хвилі загалом, достатньо, щоб дозволити вам прийти до певних висновків без будь-яких подальших технічних знань. Питання самоперевірки та обговорення направлять вас за цими напрямками думки.

самостійна перевірка:

Колір відповідає довжині хвилі світлових хвиль. Чи можна підібрати товщину для оптичного покриття, яке буде видавати руйнівні перешкоди для всіх кольорів світла?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Цей приклад був типовим для найрізноманітніших хвильових інтерференційних ефектів. З невеликим керівництвом тепер ви готові з'ясувати для себе інші приклади, такі як веселковий візерунок, зроблений компакт-диском або шаром масла на калюжі.

Питання для обговорення

• Чи можна отримати повні руйнівні перешкоди в оптичному покритті, хоча б для світла однієї конкретної довжини хвилі?

• Сонячне світло складається з синусоїдальних хвильових поїздів, що містять близько ста циклів спиною до спини, на довжину щось на зразок десятої частки міліметра. Що станеться, якщо спробувати зробити оптичне покриття товщі цього?

• Припустимо, ви берете два предмета мікроскопа і поклали один на інший так, щоб один з його країв спирався на відповідний край нижнього. Якщо вставити смужку паперу або волосся на протилежному кінці, посередині буде існувати клиноподібний шар повітря, з товщиною, яка поступово змінюється від одного кінця до іншого. Що б ви очікували побачити, якби гірки були освітлені зверху світлом одного кольору? Як би це змінилося, якби ви поступово піднімали нижній край верхнього слайда, поки два слайди остаточно не були паралельними?

• Спостереження, подібне до описаного в дискусійному питанні C, було використано Ньютоном як доказ проти хвильової теорії світла! Якби Ньютон не знав про інвертуючих і неінвертуючих відображеннях, що здавалося б йому незрозумілим про регіон, де повітряний шар мав нульову або майже нульову товщину?

6.2.4 Хвилі, обмежені з обох сторін

У прикладі попереднього розділу теоретично було вірно, що імпульс буде постійно затримуватися в середньому середовищі, але цей пульс не був центральним для нашої дискусії, і в будь-якому випадку він сильно слабшав з кожним частковим відображенням. Тепер розглянемо гітарну струну. На його кінцях він прив'язаний до корпусу самого інструменту, а так як корпус дуже масивний, то поведінку хвиль при досягненні ними кінця струни можна зрозуміти так само, як якщо б власне гітарна струна кріпилася на кінцях до струн, які були надзвичайно масивними. Роздуми найбільш інтенсивні, коли два засоби масової інформації дуже несхожі. Оскільки швидкість хвилі в тілі настільки кардинально відрізняється від швидкості в струні, слід очікувати майже 100% відбиття.

н/Ми моделюємо гітарну струну, прикріплену до корпусу гітари на обох кінцях, як легку струну, прикріплену до надзвичайно важких струн на її кінцях.

Хоча це може здатися досить химерною фізичною моделлю фактичної гітарної струни, вона вже говорить нам щось цікаве про поведінку гітари, яку ми б інакше не зрозуміли. Тіло, далеко не пасивний каркас для кріплення струн до, насправді є вихідним шляхом для енергії хвилі в струн. З кожним відображенням хвильовий малюнок на струні втрачає крихітну частку своєї енергії, яка потім проводиться через тіло і виходить в повітря. (Струна має занадто малий переріз, щоб зробити звукові хвилі ефективно сама по собі.) Змінюючи властивості тіла, до того ж, слід очікувати, щоб вплинути на те, яким чином звук виривається з інструменту. Це наочно демонструє електрогітара, яка має надзвичайно масивний, міцний дерев'яний корпус. Тут різниця між двома хвильовими середовищами ще більш виражена, в результаті чого хвильова енергія витікає з струни ще повільніше. Ось чому електрогітару без електричного пікапа навряд чи можна почути взагалі, і це також причина, чому ноти на електрогітарі можуть витримуватися довше, ніж ноти на акустичній гітарі.

m / A pulse bounces back and forth.

If we initially create a disturbance on a guitar string, how will the reflections behave? In reality, the finger or pick will give the string a triangular shape before letting it go, and we may think of this triangular shape as a very broad “dent” in the string which will spread out in both directions. For simplicity, however, let's just imagine a wave pattern that initially consists of a single, narrow pulse traveling up the neck, m/1. After reflection from the top end, it is inverted, m/3. Now something interesting happens: figure m/5 is identical to figure m/1. After two reflections, the pulse has been inverted twice and has changed direction twice. It is now back where it started. The motion is periodic. This is why a guitar produces sounds that have a definite sensation of pitch.

self-check:

Notice that from m/1 to m/5, the pulse has passed by every point on the string exactly twice. This means that the total distance it has traveled equals 2 L, where L is the length of the string. Given this fact, what are the period and frequency of the sound it produces, expressed in terms of L and v, the velocity of the wave?

(answer in the back of the PDF version of the book)

Note that if the waves on the string obey the principle of superposition, then the velocity must be independent of amplitude, and the guitar will produce the same pitch regardless of whether it is played loudly or softly. In reality, waves on a string obey the principle of superposition approximately, but not exactly. The guitar, like just about any acoustic instrument, is a little out of tune when played loudly. (The effect is more pronounced for wind instruments than for strings, but wind players are able to compensate for it.)

p / Any wave can be made by superposing sine waves.

Now there is only one hole in our reasoning. Suppose we somehow arrange to have an initial setup consisting of two identical pulses heading toward each other, as in figure (o). They will pass through each other, undergo a single inverting reflection, and come back to a configuration in which their positions have been exactly interchanged. This means that the period of vibration is half as long. The frequency is twice as high.

o / The period of this double-pulse pattern is half of what we'd otherwise expect.

This might seem like a purely academic possibility, since nobody actually plays the guitar with two picks at once! But in fact it is an example of a very general fact about waves that are bounded on both sides. A mathematical theorem called Fourier's theorem states that any wave can be created by superposing sine waves. Figure p shows how even by using only four sine waves with appropriately chosen amplitudes, we can arrive at a sum which is a decent approximation to the realistic triangular shape of a guitar string being plucked. The one-hump wave, in which half a wavelength fits on the string, will behave like the single pulse we originally discussed. We call its frequency \(f_\text{o}\). The two-hump wave, with one whole wavelength, is very much like the two-pulse example. For the reasons discussed above, its frequency is \(2f_\text{o}\). Similarly, the three-hump and four-hump waves have frequencies of \(3f_\text{o}\) and \(4f_\text{o}\).

Theoretically we would need to add together infinitely many such wave patterns to describe the initial triangular shape of the string exactly, although the amplitudes required for the very high frequency parts would be very small, and an excellent approximation could be achieved with as few as ten waves.

We thus arrive at the following very general conclusion. Whenever a wave pattern exists in a medium bounded on both sides by media in which the wave speed is very different, the motion can be broken down into the motion of a (theoretically infinite) series of sine waves, with frequencies \(f_\text{o},\ 2f_\text{o},\ 3f_\text{o},\ ...\) Except for some technical details, to be discussed below, this analysis applies to a vast range of sound-producing systems, including the air column within the human vocal tract. Because sounds composed of this kind of pattern of frequencies are so common, our ear-brain system has evolved so as to perceive them as a single, fused sensation of tone.

Musical applications

Many musicians claim to be able to pick out by ear several of the frequencies \(2f_\text{o}\), \(3f_\text{o}\), ..., called overtones or harmonics of the fundamental \(f_\text{o}\), but they are kidding themselves. In reality, the overtone series has two important roles in music, neither of which depends on this fictitious ability to “hear out” the individual overtones.

s / Standing waves on a rope. (PSSC Physics.)

First, the relative strengths of the overtones is an important part of the personality of a sound, called its timbre (rhymes with “amber”). The characteristic tone of the brass instruments, for example, is a sound that starts out with a very strong harmonic series extending up to very high frequencies, but whose higher harmonics die down drastically as the attack changes to the sustained portion of the note.

q / Graphs of loudness versus frequency for the vowel “ah,” sung as three different musical notes. G is consonant with D, since every overtone of G that is close to an overtone of D (marked “*”) is at exactly the same frequency. G and C\(\sharp\) are dissonant together, since some of the overtones of G (marked “x”) are close to, but not right on top of, those of C\(\sharp\).

Second, although the ear cannot separate the individual harmonics of a single musical tone, it is very sensitive to clashes between the overtones of notes played simultaneously, i.e., in harmony. We tend to perceive a combination of notes as being dissonant if they have overtones that are close but not the same. Roughly speaking, strong overtones whose frequencies differ by more than 1% and less than 10% cause the notes to sound dissonant. It is important to realize that the term “dissonance” is not a negative one in music. No matter how long you search the radio dial, you will never hear more than three seconds of music without at least one dissonant combination of notes. Dissonance is a necessary ingredient in the creation of a musical cycle of tension and release. Musically knowledgeable people do not usually use the word “dissonant” as a criticism of music, and if they do, what they are really saying is that the dissonance has been used in a clumsy way, or without providing any contrast between dissonance and consonance.

r / If you take a sine wave and make a copy of it shifted over, their sum is still a sine wave. The same is not true for a square wave.

Standing waves

Figure s shows sinusoidal wave patterns made by shaking a rope. I used to enjoy doing this at the bank with the pens on chains, back in the days when people actually went to the bank. You might think that I and the person in the photos had to practice for a long time in order to get such nice sine waves. In fact, a sine wave is the only shape that can create this kind of wave pattern, called a standing wave, which simply vibrates back and forth in one place without moving. The sine wave just creates itself automatically when you find the right frequency, because no other shape is possible.

If you think about it, it's not even obvious that sine waves should be able to do this trick. After all, waves are supposed to travel at a set speed, aren't they? The speed isn't supposed to be zero! Well, we can actually think of a standing wave as a superposition of a moving sine wave with its own reflection, which is moving the opposite way. Sine waves have the unique mathematical property that the sum of sine waves of equal wavelength is simply a new sine wave with the same wavelength. As the two sine waves go back and forth, they always cancel perfectly at the ends, and their sum appears to stand still.

Standing wave patterns are rather important, since atoms are really standing-wave patterns of electron waves. You are a standing wave!

Standing-wave patterns of air columns

The air column inside a wind instrument behaves very much like the wave-on-a-string example we've been concentrating on so far, the main difference being that we may have either inverting or noninverting reflections at the ends.

Some organ pipes are closed at both ends. The speed of sound is different in metal than in air, so there is a strong reflection at the closed ends, and we can have standing waves. These reflections are both density-noninverting, so we get symmetric standing-wave patterns, such as the one shown in figure u/1.

u / Graphs of excess density versus position for the lowest-frequency standing waves of three types of air columns. Points on the axis have normal air density.

t / Surprisingly, sound waves undergo partial reflection at the open ends of tubes as well as closed ones.

Figure t shows the sound waves in and around a bamboo Japanese flute called a shakuhachi, which is open at both ends of the air column. We can only have a standing wave pattern if there are reflections at the ends, but that is very counterintuitive --- why is there any reflection at all, if the sound wave is free to emerge into open space, and there is no change in medium? Recall the reason why we got reflections at a change in medium: because the wavelength changes, so the wave has to readjust itself from one pattern to another, and the only way it can do that without developing a kink is if there is a reflection. Something similar is happening here. The only difference is that the wave is adjusting from being a plane wave to being a spherical wave. The reflections at the open ends are density-inverting, u/2, so the wave pattern is pinched off at the ends. Comparing panels 1 and 2 of the figure, we see that although the wave pattens are different, in both cases the wavelength is the same: in the lowest-frequency standing wave, half a wavelength fits inside the tube. Thus, it isn't necessary to memorize which type of reflection is inverting and which is inverting. It's only necessary to know that the tubes are symmetric.

v / A pan pipe is an asymmetric air column, open at the top and closed at the bottom.

Finally, we can have an asymmetric tube: closed at one end and open at the other. A common example is the pan pipes, v, which are closed at the bottom and open at the top. The standing wave with the lowest frequency is therefore one in which 1/4 of a wavelength fits along the length of the tube, as shown in figure u/3.

w / A concert flute looks like an asymmetric air column, open at the mouth end and closed at the other. However, its patterns of vibration are symmetric, because the embouchure hole acts like an open end.

Sometimes an instrument's physical appearance can be misleading. A concert flute, w, is closed at the mouth end and open at the other, so we would expect it to behave like an asymmetric air column; in reality, it behaves like a symmetric air column open at both ends, because the embouchure hole (the hole the player blows over) acts like an open end. The clarinet and the saxophone look similar, having a moutpiece and reed at one end and an open end at the other, but they act different. In fact the clarinet's air column has patterns of vibration that are asymmetric, the saxophone symmetric. The discrepancy comes from the difference between the conical tube of the sax and the cylindrical tube of the clarinet. The adjustment of the wave pattern from a plane wave to a spherical wave is more gradual at the flaring bell of the saxophone.

self-check:

Draw a graph of pressure versus position for the first overtone of the air column in a tube open at one end and closed at the other. This will be the next-to-longest possible wavelength that allows for a point of maximum vibration at one end and a point of no vibration at the other. How many times shorter will its wavelength be compared to the frequency of the lowest-frequency standing wave, shown in the figure? Based on this, how many times greater will its frequency be?

(answer in the back of the PDF version of the book)

Example 13: The speed of sound

We can get a rough and ready derivation of the equation for the speed of sound by analyzing the standing waves in a cylindrical air column as a special type of Helmholtz resonance (example 25 on page 332), in which the cavity happens to have the same cross-sectional area as the neck. Roughly speaking, the regions of maximum density variation act like the cavity. The regions of minimum density variation, on the other hand, are the places where the velocity of the air is varying the most; these regions throttle back the speed of the vibration, because of the inertia of the moving air. If the cylinder has cross-sectional area \(A\), then the “cavity” and “neck” parts of the wave both have lengths of something like \(\lambda/2\), and the volume of the “cavity” is about \(A\lambda/2\). We get \(v=f\lambda=(...)\sqrt{\gamma P_\text{o}/\rho}\), where the factor \((...)\) represents numerical stuff that we can't possibly hope to have gotten right with such a crude argument. The correct result is in fact \(v=\sqrt{\gamma P_\text{o}/\rho}\). Isaac Newton attempted the same calculation, but didn't understand the thermodynamic effects involved, and therefore got a result that didn't have the correct factor of \(\sqrt{\gamma}\).

Contributors and Attributions

Template:ContribCrowell