5.6: Інтерференція хвиль - стоячі хвилі та удари

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74286

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Розрізняють конструктивне втручання і деструктивне втручання.
Поясніть стоячі хвилі з точки зору перешкод, вузлів та антинодів.
Поясніть явище биття з точки зору перешкод.

**Малюнок**\(\PageIndex{1}\): Ці хвилі є результатом накладання декількох хвиль з різних джерел, створюючи складний візерунок. (кредит: Уотерборо, Вікісховище)

Більшість хвиль виглядають не дуже просто. Вони більше схожі на хвилі на малюнку,\(\PageIndex{1}\) ніж на просту водну хвилю, розглянуту в «Хвилі». (Прості хвилі можуть створюватися простим гармонійним коливанням, і, таким чином, мати синусоїдальну форму). Складні хвилі більш цікаві, навіть красиві, але виглядають вони грізно. Більшість хвиль здаються складними, оскільки вони є результатом декількох простих хвиль, що складаються разом. На щастя, правила додавання хвиль досить прості.

Коли дві або більше хвиль надходять в одну точку, вони накладаються одна на іншу. Більш конкретно, збудження хвиль накладаються, коли вони збираються разом - явище, яке називається суперпозицією. Кожне порушення відповідає силі, а сили додають. Якщо збурень знаходяться уздовж однієї лінії, то отримана хвиля є простим доповненням збурень окремих хвиль - тобто їх амплітуди додають. Малюнок\(\PageIndex{2}\) і малюнок\(\PageIndex{3}\) ілюструють суперпозицію в двох особливих випадках, обидва з яких дають прості результати.

\(\PageIndex{2}\)На малюнку показані дві однакові хвилі, які надходять в одну точку точно по фазі. Гребені двох хвиль точно вирівняні, як і жолоби. Ця суперпозиція створює чисті конструктивні перешкоди. Оскільки порушення додають, чиста конструктивна перешкода виробляє хвилю, яка має вдвічі більшу амплітуду окремих хвиль, але має однакову довжину хвилі.

\(\PageIndex{3}\)На малюнку показані дві однакові хвилі, які надходять точно поза фазою - тобто точно вирівняний гребінь до корита - створюючи чисті руйнівні перешкоди. Оскільки збудження знаходяться в протилежному напрямку для цієї суперпозиції, результуюча амплітуда дорівнює нулю для чистого руйнівного втручання - хвилі повністю скасовуються.

**Малюнок**\(\PageIndex{2}\): Чисте конструктивне втручання двох однакових хвиль виробляє одну з подвійною амплітудою, але однаковою довжиною хвилі.

**Малюнок**\(\PageIndex{3}\): Чисте руйнівне втручання двох однакових хвиль створює нульову амплітуду або повне скасування.

Хоча чисто конструктивні та чисті руйнівні втручання відбуваються, вони вимагають точно вирівняних однакових хвиль. Накладення більшості хвиль створює поєднання конструктивного та руйнівного втручання і може змінюватися від місця до місця та часу від часу. Наприклад, звук із стерео може бути гучним в одному місці і тихим в іншому. Змінна гучність означає, що звукові хвилі додають частково конструктивно та частково руйнівно в різних місцях. Стерео має щонайменше два динаміки, що створюють звукові хвилі, і хвилі можуть відбиватися від стін. Всі ці хвилі накладаються. Приклад звуків, які змінюються з часом від конструктивних до руйнівних, знаходиться в комбінованому скиглі літальних літаків, почутих стаціонарним пасажиром. Комбінований звук може коливатися вгору і вниз за гучністю, оскільки звук від двох двигунів змінюється в часі від конструктивного до руйнівного. Ці приклади є хвилями, які схожі.

Приклад суперпозиції двох різнорідних хвиль наведено на малюнку\(\PageIndex{4}\). Тут знову ж таки, порушення додають і віднімають, створюючи більш складну дивлячись хвилю.

**Малюнок**\(\PageIndex{4}\): Суперпозиція неоднакових хвиль проявляє як конструктивні, так і руйнівні перешкоди.

стоячі хвилі

Іноді хвилі, здається, не рухаються; скоріше, вони просто вібрують на місці. Нерухомі хвилі можна побачити на поверхні склянки молока в холодильнику, наприклад. Вібрації від двигуна холодильника створюють хвилі на молоці, які коливаються вгору і вниз, але, здається, не рухаються по поверхні. Ці хвилі утворюються накладенням двох або більше рухомих хвиль, таких як показано\(\PageIndex{5}\) на малюнку для двох однакових хвиль, що рухаються в протилежних напрямках. Хвилі рухаються один через одного зі своїми порушеннями, що додаються в міру проходження. Якщо дві хвилі мають однакову амплітуду і довжину хвилі, то вони чергуються між конструктивними і руйнівними перешкодами. Отримане виглядає як хвиля, що стоїть на місці і, таким чином, називається стоячою хвилею. Хвилі на склянці молока - один із прикладів стоячих хвиль. Є й інші стоячі хвилі, наприклад, на гітарних струн і в органних трубах. З склянкою молока дві хвилі, які виробляють стоячі хвилі, можуть надходити від відблисків з боку склянки.

Більш уважний погляд на землетруси дає докази умов, придатних для резонансу, стоячих хвиль, а також конструктивних і руйнівних втручань. Будівля може вібруватися протягом декількох секунд з частотою руху, що відповідає частоті власної вібрації будівлі - створюючи резонанс, що призводить до того, що одна будівля руйнується, а сусідні будівлі - ні. Часто будівлі певної висоти спустошені, тоді як інші більш високі будівлі залишаються недоторканими. Висота будівлі відповідає умові встановлення стоячої хвилі для цієї конкретної висоти. Коли хвилі землетрусу рухаються по поверхні Землі і відбиваються від більш щільних порід, конструктивне втручання відбувається в певних точках. Часто ділянки, розташовані ближче до епіцентру, не пошкоджуються, тоді як ділянки, що знаходяться далі, пошкоджуються.

**Малюнок**\(\PageIndex{5}\): Стояча хвиля, створена накладенням двох однакових хвиль, що рухаються в протилежних напрямках. Коливання знаходяться у фіксованих місцях у просторі і виникають внаслідок поперемінно конструктивного та руйнівного втручання.

Стоячі хвилі зустрічаються також на струн музичних інструментів і обумовлені відблисками хвиль від кінців струни. Малюнок\(\PageIndex{6}\) і малюнок\(\PageIndex{7}\) показують три стоячі хвилі, які можуть бути створені на нитці, яка закріплена на обох кінцях. Вузли - це точки, де струна не рухається; більш загалом, вузли - це те, де хвильове збудження дорівнює нулю в стоячій хвилі. Фіксовані кінці струн теж повинні бути вузлами, тому що рядок не може рухатися туди. Слово antinode використовується для позначення розташування максимальної амплітуди в стоячих хвиль. Стоячі хвилі на струни мають частоту, яка пов'язана зі швидкістю\(v_{\mathrm{w}}\) поширення порушення на струні. Довжина хвилі\(\lambda\) визначається відстанню між точками, де струна закріплена на місці.

Найнижча частота, звана основною частотою, таким чином, для найдовшої довжини хвилі, яка, як видається, є\(\lambda_{1}=2 L\). Тому основна частота є\(f_{1}=v_{\mathrm{w}} / \lambda_{1}=v_{\mathrm{w}} / 2 L\). При цьому обертони або гармоніки кратні основній частоті. Як видно на малюнку\(\PageIndex{7}\), перша гармоніка може бути легко обчислена так\(\lambda_{2}=L\). Таким чином,\(f_{2}=v_{\mathrm{w}} / \lambda_{2}=v_{\mathrm{w}} / 2 L=2 f_{1}\). Аналогічно\(f_{3}=3 f_{1}\), і так далі. Всі ці частоти можна змінювати, регулюючи натяг в струні. Чим більше напруга,\(v_{\mathrm{w}}\) тим більше і вище частоти. Це спостереження знайоме кожному, хто хоч раз спостерігав, як налаштовується струнний інструмент. У наступних розділах ми побачимо, що стоячі хвилі мають вирішальне значення для багатьох резонансних явищ, таких як звукові коробки на струнних інструментах.

**Малюнок**\(\PageIndex{6}\): На малюнку зображена струна, що коливається на своїй основній частоті.

**Малюнок**\(\PageIndex{7}\): Перша і друга гармонічні частоти показані.

Б'є

Вражаючи дві суміжні клавіші на піаніно, виробляє спотворену комбінацію, яку зазвичай вважають неприємною. Винуватцем є суперпозиція двох хвиль однакових, але не однакових частот. Інший приклад часто помітний в реактивних літаках, особливо двомоторний різновид, під час рулювання. Комбінований звук двигунів гучно йде вгору і вниз. Ця різна гучність відбувається тому, що звукові хвилі мають схожі, але не однакові частоти. Дискордантне викривлення фортепіано та коливання гучності шуму реактивного двигуна обумовлені поперемінно конструктивними та руйнівними перешкодами, оскільки дві хвилі йдуть у фазу та поза фазою. Малюнок\(\PageIndex{8}\) ілюструє це графічно.

**Малюнок**\(\PageIndex{8}\): Биття виробляються накладенням двох хвиль дещо різних частот, але однакових амплітуд. Хвилі чергуються в часі між конструктивним втручанням і руйнівним втручанням, надаючи результуючій хвилі амплітуду

Хвиля, що виникає в результаті суперпозиції двох хвиль подібної частоти, має частоту, яка є середньою з двох. Ця хвиля коливається в амплітуді, або б'ється, з частотою, яка називається частотою биття. Частоту биття ми можемо визначити, склавши дві хвилі разом математично. Результат,

\[f_{\mathrm{B}}=\left|f_{1}-f_{2}\right| \nonumber \]

частота ударів. Результуюча хвиля має середню частоту двох накладених хвиль, але вона також коливається в загальній амплітуді на частоті биття\(f_{\mathrm{B}}\). Цей результат справедливий для всіх типів хвиль. Однак, якщо це звукова хвиля, що забезпечує дві частоти схожі, то те, що ми чуємо, - це середня частота, яка стає голосніше і м'якше (або warbles) на частоті биття.

СТВОРЕННЯ КАР'ЄРНИХ ЗВ'ЯЗКІВ

Фортепіанні тюнери використовують ритми регулярно у своїй роботі. При порівнянні ноти з камертоном прислухаються до ударів і регулюють струну до тих пір, поки удари не підуть (до нульової частоти). Наприклад, якщо камертон має\(256 \mathrm{~Hz}\) частоту і чути два удари в секунду, то інша частота - або\(254\) або\(258 \mathrm{~Hz}\). Більшість клавіш потрапляють у кілька рядків, і ці рядки насправді регулюються, поки вони не мають майже однакову частоту і дають повільний удар для багатства. Дванадцятиструнні гітари та мандоліни також налаштовуються за допомогою ударів.

Хоча удари іноді можуть дратувати чутними звуками, ми виявимо, що удари мають багато додатків. Спостереження за ударами - дуже корисний спосіб порівняння подібних частот. Існують застосування ударів, як очевидно, розрізнених, як у ультразвукових знімках та радіолокаційних пастках швидкості.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Уявіть, що ви тримаєте один кінець скакалки, а ваш друг тримає інший. Якщо ваш друг тримає свій кінець нерухомо, ви можете переміщати свій кінець вгору і вниз, створюючи поперечну хвилю. Якщо ваш друг потім починає рухати її кінець вгору і вниз, генеруючи хвилю в протилежному напрямку, які результуючі форми хвилі ви очікуєте побачити в скакалці?

Відповідь: Мотузка чергувалася б між хвилями з амплітудами в два рази більше початкової амплітуди і досягненням рівноваги без амплітуди взагалі. Довжини хвиль призведуть як до конструктивних, так і руйнівних перешкод.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Визначте вузли і антиноди.

Відповідь: Вузли - це ділянки хвильових перешкод, де немає руху. Антиноди - це ділянки хвильової інтерференції, де рух знаходиться в максимальній точці.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Ви підключаєте стереосистему. При тестуванні системи ви помічаєте, що в одному кутку кімнати звуки здаються тьмяними. В іншій області звуки здаються надмірно гучними. Опишіть, як звук, що рухається по кімнаті, може призвести до цих ефектів.

Відповідь: З декількома динаміками, які виставляють звуки в кімнату, і ці звуки відскакують від стін, обов'язково будуть певні хвильові перешкоди. У тупих областях перешкоди, ймовірно, здебільшого руйнівні. У більш гучних областях втручання, ймовірно, в основному конструктивне.

Розділ Резюме

Суперпозиція - це поєднання двох хвиль в одному місці.
Конструктивне втручання виникає при накладенні двох хвиль по фазі (обидва порушення в одному напрямку).
Руйнівна перешкода виникає, коли дві хвилі накладаються точно поза фазою (два порушення в протилежних напрямках).
Стояча хвиля - це одна, в якій дві хвилі накладаються на отримання хвилі, яка утворює стоячу схему вузлів і антинодів, місць без зміщення та максимального зміщення.
Стоячі хвилі утворюються на конкретних резонансних частотах, причому найнижча частота є основною частотою, а вищі частоти називаються обертонами або гармоніками.
Удари виникають при накладенні хвиль аналогічних частот\(f_{1}\) і\(f_{2}\). Отримана амплітуда коливається з частотою биття, заданою
\[f_{\mathrm{B}}=\left|f_{1}-f_{2}\right|. \nonumber\]

Глосарій

антинод: розташування максимальної амплітуди в стоячих хвиль

частота биття: частота коливань амплітуди хвилі

конструктивне втручання: коли дві хвилі прибувають в одну точку точно по фазі; тобто гребені двох хвиль точно вирівняні, як і жолоби

руйнівні втручання: коли дві однакові хвилі надходять в одну точку точно поза фазою; тобто точно вирівняний гребінь до корита

основна частота: найнижча частота періодичної форми хвилі

вузли: точки, де рядок не рухається; більш загалом, вузли, де хвиля збуренням дорівнює нулю в стоячій хвилі

обертони: кратні основній частоті звуку

суперпозиція: явище, яке виникає, коли дві або більше хвиль прибувають в одній точці