12.3: Оператор обміну

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76964

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Оператор обміну, позначений тут\(\hat{P}_{12}\), просто обмінює частку 1 на частку 2. Для того, щоб задовольнити умови, описані в розділі 12.1, стан, що складається з двох нерозрізнених частинок (наприклад, двох електронів), повинен бути власним станом обмінного оператора. Припустимо, що\(|\xi\rangle\) таке стан. Це означає, що

\[\hat{P}_{12}|\xi\rangle=c|\xi\rangle\tag{12.10}\]

де\(c\) - власне значення. Припустимо, що ми застосовуємо обмінного оператора двічі. Що буде? Ми повинні повернутися до первісного стану! Ми щойно поміняли дві частинки назад. Давайте застосуємо це двічі:

\ [\ почати {вирівняний}
\ капелюх {P} _ {12}\ капелюх {P} _ {12} |\ xi\ діапазон &=\ капелюх {P} _ {12} (c|\ xi\ діапазон)\\
&&= c\ hat {P} _ {12} |\ xi\ діапазон\\
&= c ^ {2} |\ xi\ діапазон
\\ кінець {вирівняний}\ тег 12.11}\]

Якщо результатом застосування цього обмінного оператора двічі має бути стан, з якого ми почали, то ми повинні мати\(c^{2}=1\). Це регулярне старомодне квадратичне, що не приймає абсолютного квадрата. \(c^{2}=1\)Це означає, що існує лише дві можливості для власної величини обмінного оператора, що працює на стані двох нерозрізнених частинок:\(c=1\) або\(c=-1\).