12.3: Оператор обміну
Оператор обміну, позначений тутˆP12, просто обмінює частку 1 на частку 2. Для того, щоб задовольнити умови, описані в розділі 12.1, стан, що складається з двох нерозрізнених частинок (наприклад, двох електронів), повинен бути власним станом обмінного оператора. Припустимо, що|ξ⟩ таке стан. Це означає, що
ˆP12|ξ⟩=c|ξ⟩
деc - власне значення. Припустимо, що ми застосовуємо обмінного оператора двічі. Що буде? Ми повинні повернутися до первісного стану! Ми щойно поміняли дві частинки назад. Давайте застосуємо це двічі:
\ [\ почати {вирівняний}
\ капелюх {P} _ {12}\ капелюх {P} _ {12} |\ xi\ діапазон &=\ капелюх {P} _ {12} (c|\ xi\ діапазон)\\
&&= c\ hat {P} _ {12} |\ xi\ діапазон\\
&= c ^ {2} |\ xi\ діапазон
\\ кінець {вирівняний}\ тег 12.11}\]
Якщо результатом застосування цього обмінного оператора двічі має бути стан, з якого ми почали, то ми повинні матиc2=1. Це регулярне старомодне квадратичне, що не приймає абсолютного квадрата. c2=1Це означає, що існує лише дві можливості для власної величини обмінного оператора, що працює на стані двох нерозрізнених частинок:c=1 абоc=−1.