5.2: Заплутаність

Розглянемо наступний експеримент: Аліса і Боб наосліп малюють мармур з вази, яка містить один чорний і один білий мармур. Назвемо стан мармуру написання$|0\rangle$ і стан чорного мармуру$|1\rangle$. Якщо описати цей класичний експеримент квантово механічно (ми завжди можемо це зробити, тому що класична фізика міститься в квантовій фізиці), то можливі два$|1,0\rangle$ стани, і$|0,1\rangle$. Оскільки сліпий малюнок є статистичною процедурою, стан мармуру, що утримуються Алісою та Бобом, є змішаним станом

$$\rho=\frac{1}{2}|0,1\rangle\left\langle 0,1\left|+\frac{1}{2}\right| 1,0\right\rangle\langle 1,0|\tag{5.5}$$

З точки зору Аліси, стан її мармуру отримують шляхом простежування над мармуром Боба:

$$\rho_{A}=\operatorname{Tr}_{B}(\rho)=\frac{1}{2}|0\rangle\left\langle 0\left|+\frac{1}{2}\right| 1\right\rangle\langle 1|\tag{5.6}$$

Це те, що ми очікуємо: Аліса має ймовірність 50:50 знайти «білий» або «чорний», коли вона дивиться на свій мармур (тобто, коли вона вимірює колір мармуру).

Далі розглянемо, який стан мармуру Боба, коли Аліса знаходить білий мармур. Просто з налаштування ми знаємо, що мармур Боба повинен бути чорним, тому що у вазі був лише один білий і один чорний мармур. Давайте подивимося, чи зможемо ми відтворити це в нашому квантово-механічному описі. Пошук білого мармуру можна описати математично оператором проекції$|0\rangle\langle 0|$ (див. Ур. (2.24)). Нам потрібно включити цей оператор до сліду над гільбертовим простором Аліси:

$$\rho_{B}=\frac{\operatorname{Tr}_{A}\left(|0\rangle_{A}\langle 0| \rho\right)}{\operatorname{Tr}\left(|0\rangle_{A}\langle 0| \rho\right)}=|1\rangle\langle 1|,\tag{5.7}$$

який ми поставили собі за мету довести: якщо Аліса виявить, що коли вона бачить, що її мармур білий, вона описує стан мармуру Боба як чорний. Виходячи з налаштування цього експерименту, Аліса миттєво знає, який стан мармуру Боба, як тільки вона дивиться на власний мармур. У цьому немає нічого страшного; це просто показує, що кульки, що утримуються Алісою і Бобом, співвідносяться.

Далі розглянемо другий експеримент: За деякою процедурою, деталі якої зараз не важливі, Аліса і Боб утримують в чистому стані дворівневу систему (кубіт)

$$|\Psi\rangle_{A B}=\frac{|0,1\rangle+|1,0\rangle}{\sqrt{2}}\tag{5.8}$$

Оскільки$|1,0\rangle$ і$|0,1\rangle$ є дійсними квантові стани, в силу першого постулату квантової механіки також$|\Psi\rangle_{A B}$ є дійсним квантово-механічним станом. Неважко помітити, що ці системи також співвідносяться в станах$|0\rangle$ і$|1\rangle$: Коли Аліса знаходить значення «0», Боб повинен знайти значення «1», і навпаки. Ми можемо записати цей стан як оператор щільності

\ [\ почати {вирівняний}
\ rho &=\ гідророзриву {1} {2} (|0,1\ діапазон+|1,0\ діапазон) (\ кут 0,1|+\ кут 1,0|)\\
&=\ frac {1} {2} (|0,1\ діапазон\ кут 0,1|+| 0,1\ діапазон\ langle 1,0|+1,0\ діапазон\ кут 0,1|+| 1,0\ діапазон\ кут 1,0|).
\ end {вирівняний}. \ тег {5.9}\]

Зверніть увагу на два додаткових умови щодо Eq. (5.5). Якщо Аліса тепер простежує систему Боба, вона виявляє, що стан її мармуру

$$\rho_{A}=\operatorname{Tr}_{B}(\rho)=\frac{1}{2}|0\rangle\left\langle 0\left|+\frac{1}{2}\right| 1\right\rangle\langle 1|.\tag{5.10}$$

Іншими словами, навіть незважаючи на те, що загальна система була в чистому стані, підсистема, яку утримує Аліса (і Боб, перевірте це) змішана! Ми можемо спробувати поєднати два стани разом:

\ [\ почати {вирівняний}
\ rho_ {A}\ otimes\ rho_ {B} &=\ лівий (\ frac {1} {1} {2} |0\ діапазон\ лівий\ кут 0\ ліворуч | +\ frac {1} {2}\ праворуч\ кут 1 |\ правий)\ час\ лівий (\ frac {1} {2} |0\ діапазон\ лівий\ кут 0\ ліворуч | +\ розриву {1} {2}\ праворуч | 1\ вправо\ діапазон\ кут 1 |\ праворуч)\\
&=\ frac {1} {4} (|0,0\ діапазон\ лангл 0,0|+| 0,1\ діапазон\ лангл 0,1|+| 1,0\ діапазон\ лангл 1,0|+| 1,1\ діапазон\ кут 1,1|)
\ кінець {вирівняний},\ tag {5.11}\]

але це не та держава, з якої ми починали! Це також змішаний стан, замість чистого стану, з якого ми почали. Оскільки змішані стани означають неповне знання, в об'єднаній системі повинна бути певна інформація, яка не проживає лише в підсистемах! Це називається заплутаністю.

Заплутаність виникає тому, що такі держави$(|0,1\rangle+|1,0\rangle) / \sqrt{2}$ не можуть бути записані як тензорний добуток двох чистих станів$|\psi\rangle \otimes|\phi\rangle$. Ці останні стани називаються роздільними. Загалом стан відокремлюється тоді і лише тоді, коли його можна записати як

$$\rho=\sum_{j} p_{j} \rho_{j}^{(A)} \otimes \rho_{j}^{(B)}\tag{5.12}$$

Класичні кореляції, такі як чорний і білий мармур вище, потрапляють в категорію відокремлюваних станів.

Поки що ми розглядали квантові стани в основі$\{|0\rangle,|1\rangle\}$. Однак ми також можемо описати ту ж систему в обертованій основі$\{|\pm\rangle\}$ відповідно до

$$|0\rangle=\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt{2}} \quad \text { and } \quad|1\rangle=\frac{|+\rangle-|-\rangle}{\sqrt{2}}\tag{5.13}$$

Потім заплутаний стан$|\Psi\rangle_{A B}$ може бути записаний як

$$\frac{|0,1\rangle+|1,0\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{|+,+\rangle-|-,-\rangle}{\sqrt{2}},\tag{5.14}$$

що означає, що ми знову маємо ідеальні кореляції між двома системами стосовно держав$|+\rangle$ і$|-\rangle$. Давайте зробимо те ж саме для держави$\rho$ в еквалайзері (5.5) для класично корельованих мармуру. Після трохи алгебри ми знаходимо, що

\ [\ почати {вирівняний}
\ rho=&\ гідророзриву {1} {4} (|++\ діапазон\ лангл+++|+-\ діапазон\ лангл+-|||-+\ діапазон\ лангл-+||\ діапазон\ лангл—|\\
&-|++\ діапазон\ лангле - |-| -\ діапазон\ лангле ++||-|+-\ діапазон\ langle-+|-|-+\ діапазон\ langle+-|).
\ end {вирівняний}. \ тег {5.15}\]

Тепер у сполученому базисі немає$\{|\pm\rangle\}$ кореляцій, які можна перевірити, обчисливши умовні ймовірності стану Боба з урахуванням результатів вимірювання Аліси. Це ще одна ключова відмінність між класично корельованими станами і заплутаними станами. Хороша інтерпретація заплутаності полягає в тому, що заплутані системи виявляють кореляції, які сильніші за класичні кореляції. Незабаром ми побачимо, як ці більш сильні кореляції можуть бути використані при обробці інформації.

Ми бачили, що оператори, як і стани, можуть бути об'єднані в тензорні продукти:

$$A \otimes B|\phi\rangle \otimes|\psi\rangle=A|\phi\rangle \otimes B|\psi\rangle.\tag{5.16}$$

І так само, як стани, деякі оператори не можуть бути записані як$A \otimes B$:

$$C=\sum_{k} A_{k} \otimes B_{k}\tag{5.17}$$

Це найзагальніший вираз оператора в гільбертовому просторі$\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}$. У позначеннях Дірака це стає

$$C=\sum_{j k l m} \phi_{j k l m}|\phi_{j}\rangle\langle\phi_{k}|\otimes| \phi_{l}\rangle\langle\phi_{m}|=\sum_{j k l m} \phi_{j k l m}| \phi_{j}, \phi_{l}\rangle\langle\phi_{k}, \phi_{m}|.\tag{5.18}$$

Як приклад, оператор Bell діагональний на основі Bell:

$$\left|\Phi^{\pm}\right\rangle=\frac{|0,0\rangle \pm|1,1\rangle}{\sqrt{2}} \text { and }\left|\Psi^{\pm}\right\rangle=\frac{|0,1\rangle \pm|1,0\rangle}{\sqrt{2}}.\tag{5.19}$$

Власні значення оператора Белла не важливі, якщо вони не вироджені (чому?). Вимірювання оператора Белла проектує на власний стан оператора, який є заплутаним станом. Отже, ми не можемо реалізувати такі композитні вимірювання, вимірюючи кожну підсистему окремо, оскільки ці індивідуальні вимірювання проектуватимуться на чисті стани підсистем. І ми бачили, що підсистеми чистих заплутаних станів - це змішані стани.

Особливо корисним прийомом при роботі з двома системами є так звана декомпозиція Шмідта. Загалом, ми можемо записати будь-який чистий стан над двома системами як суперпозицію базових станів:

$$|\Psi\rangle=\sum_{j=1}^{d_{A}} \sum_{k=1}^{d_{B}} c_{j k}\left|\phi_{j}\right\rangle_{A}\left|\psi_{k}\right\rangle_{B},\tag{5.20}$$

де$d_{A}$ і$d_{B}$ є розміри гільбертових просторів системи$A$ і$B$, відповідно, і упорядковуємо системи такі, що$d_{B} \geq d_{A}$. Виявляється, ми завжди можемо спростити цей опис і записати$|\Psi\rangle$ як єдину суму над базисними станами. Ми стверджуємо це як теорему:

Теорема$\PageIndex{1}$

$|\Psi\rangle$Дозволяти бути чистим станом двох систем,$A$ а$B$ з гільбертовими просторами$\mathscr{H}_{A}$ і$\mathscr{H}_{B}$$d_{A}$ розмірністю і$d_{B} \geq d_{A}$, відповідно. Існують ортонормальні базисні вектори$\left|a_{j}\right\rangle_{A}$ для системи$A$ і$\left|b_{j}\right\rangle_{B}$ для системи B такі, що

$$|\Psi\rangle=\sum_{j} \lambda_{j}\left|a_{j}\right\rangle_{A}\left|b_{j}\right\rangle_{B},\tag{5.21}$$

з реальними, позитивними коефіцієнтами Шмідта$\lambda_{j}$, і$\sum_{j} \lambda_{j}^{2}=1$. Це розкладання є унікальним, і сума проходить максимум до$d_{A}$, розмірності найменшого гільбертового простору. Традиційно упорядковуємо коефіцієнти Шмідта в порядку спадання:$\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \ldots$ Загальна кількість ненульових$\lambda_{i}$ - це число Шмідта.

Доказ

Доказ можна знайти в багатьох текстах випускників з квантової механіки та квантової теорії інформації.

З огляду на розкладання Шмідта для двочасткової системи, ми можемо відразу записати матриці зниженої щільності для підсистем:

$$\rho_{A}=\operatorname{Tr}_{B}(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\sum_{j} \lambda_{j}^{2}\left|a_{j}\right\rangle_{A}\left\langle a_{j}\right|,\tag{5.22}$$

і

$$\rho_{B}=\operatorname{Tr}_{A}(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\sum_{j} \lambda_{j}^{2}\left|b_{j}\right\rangle_{B}\left\langle b_{j}\right|.\tag{5.23}$$

Основа стверджує$\left|a_{j}\right\rangle_{A}$ і$\left|b_{j}\right\rangle_{B}$ може мати абсолютно різні фізичні значення; тут ми дбаємо лише про те, що стани розкладання можуть бути позначені одним індексом, на відміну від двох індексів.

І навпаки, коли ми маємо єдину систему в змішаному стані

$$\rho=\sum_{j} p_{j}\left|a_{j}\right\rangle\left\langle a_{j}\right|,\tag{5.24}$$

ми завжди можемо побудувати чистий стан$|\Psi\rangle$, який підпорядковується$\left(\lambda_{j}=\sqrt{p_{j}}\right)$

$$|\Psi\rangle=\sum_{j} \lambda_{j}\left|a_{j}, b_{j}\right\rangle,\tag{5.25}$$

В силу розкладання Шмідта. Стан$|\Psi\rangle$ називається очищенням$\rho$. Оскільки багато теорем легше довести для чистих станів, ніж для змішаних станів, очищення можуть зробити наше робоче навантаження значно легше.

Коли$\lambda_{j}$ в еквалайзері більше одного ненульового значення (5.25), стан$|\Psi\rangle$ явно заплутується: немає альтернативного вибору$\lambda_{j}$ через унікальність розкладання Шмідта, яке призвело б до нуля$\lambda_{1}^{\prime}=1$ та всіх інших. Причому, чим рівномірніше значення$\lambda_{j}$, тим більше стан заплутується. Однією з можливих мір для кількості заплутування в$|\Psi\rangle$ є ентропія Шеннона H.

$$H=-\sum_{j} \lambda_{j}^{2} \log _{2} \lambda_{j}^{2}\tag{5.26}$$

Це ідентично ентропії фон Неймана матриці$S$ зниженої щільності$\rho$$|\Psi\rangle$ наведеної в еквалайзері (5.24):

$$S(\rho)=-\operatorname{Tr}\left(\rho \log _{2} \rho\right)\tag{5.27}$$

Обидві ентропії вимірюються в класичних бітах.

Як ми знаходимо розкладання Шмідта? Розглянемо стан$|\Psi\rangle$ з ур. (5.20). (не обов'язково квадратну) матрицю$C$ з елементами$c_{j k}$ потрібно перетворити в єдиний масив чисел$\lambda_{j}$. Це досягається шляхом застосування сингулярного розкладання:

$$c_{j k}=\sum_{i} u_{j i} d_{i i} v_{i k},\tag{5.28}$$

де$u_{j i}$ і$v_{i k}$ є елементами унітарних матриць$U$ і$V$, відповідно, і$d_{i i}$ являє собою діагональну матрицю з сингулярними значеннями$\lambda_{i}$. Вектори в розкладанні Шмідта стають

$$\left|a_{i}\right\rangle=\sum_{j} u_{j i}\left|\phi_{j}\right\rangle \quad \text { and } \quad\left|b_{i}\right\rangle=\sum_{k} v_{i k}\left|\psi_{k}\right\rangle.\tag{5.29}$$

Це, мабуть, вдалий час, щоб нагадати собі про розкладання сингулярних значень. Все, що нам потрібно зробити, це знайти$U$ і$V$, решта просто множення матриці. Щоб знайти$U$, ми діагоналізуємо$C C^{\dagger}$ і знаходимо його власні вектори. Вони утворюють стовпчики$U$. Аналогічно ми діагоналізуємо$C^{\dagger} C$ і організуємо власні вектори в стовпцях, щоб знайти$V$. Якщо$C$$n \times m$ матриця,$U$ повинна бути$n \times n$ і$V$ повинна бути$m× m$.