5.2: Заплутаність

Розглянемо наступний експеримент: Аліса і Боб наосліп малюють мармур з вази, яка містить один чорний і один білий мармур. Назвемо стан мармуру написання\(|0\rangle\) і стан чорного мармуру\(|1\rangle\). Якщо описати цей класичний експеримент квантово механічно (ми завжди можемо це зробити, тому що класична фізика міститься в квантовій фізиці), то можливі два\(|1,0\rangle\) стани, і\(|0,1\rangle\). Оскільки сліпий малюнок є статистичною процедурою, стан мармуру, що утримуються Алісою та Бобом, є змішаним станом

\[\rho=\frac{1}{2}|0,1\rangle\left\langle 0,1\left|+\frac{1}{2}\right| 1,0\right\rangle\langle 1,0|\tag{5.5}\]

З точки зору Аліси, стан її мармуру отримують шляхом простежування над мармуром Боба:

\[\rho_{A}=\operatorname{Tr}_{B}(\rho)=\frac{1}{2}|0\rangle\left\langle 0\left|+\frac{1}{2}\right| 1\right\rangle\langle 1|\tag{5.6}\]

Це те, що ми очікуємо: Аліса має ймовірність 50:50 знайти «білий» або «чорний», коли вона дивиться на свій мармур (тобто, коли вона вимірює колір мармуру).

Далі розглянемо, який стан мармуру Боба, коли Аліса знаходить білий мармур. Просто з налаштування ми знаємо, що мармур Боба повинен бути чорним, тому що у вазі був лише один білий і один чорний мармур. Давайте подивимося, чи зможемо ми відтворити це в нашому квантово-механічному описі. Пошук білого мармуру можна описати математично оператором проекції\(|0\rangle\langle 0|\) (див. Ур. (2.24)). Нам потрібно включити цей оператор до сліду над гільбертовим простором Аліси:

\[\rho_{B}=\frac{\operatorname{Tr}_{A}\left(|0\rangle_{A}\langle 0| \rho\right)}{\operatorname{Tr}\left(|0\rangle_{A}\langle 0| \rho\right)}=|1\rangle\langle 1|,\tag{5.7}\]

який ми поставили собі за мету довести: якщо Аліса виявить, що коли вона бачить, що її мармур білий, вона описує стан мармуру Боба як чорний. Виходячи з налаштування цього експерименту, Аліса миттєво знає, який стан мармуру Боба, як тільки вона дивиться на власний мармур. У цьому немає нічого страшного; це просто показує, що кульки, що утримуються Алісою і Бобом, співвідносяться.

Далі розглянемо другий експеримент: За деякою процедурою, деталі якої зараз не важливі, Аліса і Боб утримують в чистому стані дворівневу систему (кубіт)

\[|\Psi\rangle_{A B}=\frac{|0,1\rangle+|1,0\rangle}{\sqrt{2}}\tag{5.8}\]

Оскільки\(|1,0\rangle\) і\(|0,1\rangle\) є дійсними квантові стани, в силу першого постулату квантової механіки також\(|\Psi\rangle_{A B}\) є дійсним квантово-механічним станом. Неважко помітити, що ці системи також співвідносяться в станах\(|0\rangle\) і\(|1\rangle\): Коли Аліса знаходить значення «0», Боб повинен знайти значення «1», і навпаки. Ми можемо записати цей стан як оператор щільності

\ [\ почати {вирівняний}
\ rho &=\ гідророзриву {1} {2} (|0,1\ діапазон+|1,0\ діапазон) (\ кут 0,1|+\ кут 1,0|)\\
&=\ frac {1} {2} (|0,1\ діапазон\ кут 0,1|+| 0,1\ діапазон\ langle 1,0|+1,0\ діапазон\ кут 0,1|+| 1,0\ діапазон\ кут 1,0|).
\ end {вирівняний}. \ тег {5.9}\]

Зверніть увагу на два додаткових умови щодо Eq. (5.5). Якщо Аліса тепер простежує систему Боба, вона виявляє, що стан її мармуру

\[\rho_{A}=\operatorname{Tr}_{B}(\rho)=\frac{1}{2}|0\rangle\left\langle 0\left|+\frac{1}{2}\right| 1\right\rangle\langle 1|.\tag{5.10}\]

Іншими словами, навіть незважаючи на те, що загальна система була в чистому стані, підсистема, яку утримує Аліса (і Боб, перевірте це) змішана! Ми можемо спробувати поєднати два стани разом:

\ [\ почати {вирівняний}
\ rho_ {A}\ otimes\ rho_ {B} &=\ лівий (\ frac {1} {1} {2} |0\ діапазон\ лівий\ кут 0\ ліворуч | +\ frac {1} {2}\ праворуч\ кут 1 |\ правий)\ час\ лівий (\ frac {1} {2} |0\ діапазон\ лівий\ кут 0\ ліворуч | +\ розриву {1} {2}\ праворуч | 1\ вправо\ діапазон\ кут 1 |\ праворуч)\\
&=\ frac {1} {4} (|0,0\ діапазон\ лангл 0,0|+| 0,1\ діапазон\ лангл 0,1|+| 1,0\ діапазон\ лангл 1,0|+| 1,1\ діапазон\ кут 1,1|)
\ кінець {вирівняний},\ tag {5.11}\]

але це не та держава, з якої ми починали! Це також змішаний стан, замість чистого стану, з якого ми почали. Оскільки змішані стани означають неповне знання, в об'єднаній системі повинна бути певна інформація, яка не проживає лише в підсистемах! Це називається заплутаністю.

Заплутаність виникає тому, що такі держави\((|0,1\rangle+|1,0\rangle) / \sqrt{2}\) не можуть бути записані як тензорний добуток двох чистих станів\(|\psi\rangle \otimes|\phi\rangle\). Ці останні стани називаються роздільними. Загалом стан відокремлюється тоді і лише тоді, коли його можна записати як

\[\rho=\sum_{j} p_{j} \rho_{j}^{(A)} \otimes \rho_{j}^{(B)}\tag{5.12}\]

Класичні кореляції, такі як чорний і білий мармур вище, потрапляють в категорію відокремлюваних станів.

Поки що ми розглядали квантові стани в основі\(\{|0\rangle,|1\rangle\}\). Однак ми також можемо описати ту ж систему в обертованій основі\(\{|\pm\rangle\}\) відповідно до

\[|0\rangle=\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt{2}} \quad \text { and } \quad|1\rangle=\frac{|+\rangle-|-\rangle}{\sqrt{2}}\tag{5.13}\]

Потім заплутаний стан\(|\Psi\rangle_{A B}\) може бути записаний як

\[\frac{|0,1\rangle+|1,0\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{|+,+\rangle-|-,-\rangle}{\sqrt{2}},\tag{5.14}\]

що означає, що ми знову маємо ідеальні кореляції між двома системами стосовно держав\(|+\rangle\) і\(|-\rangle\). Давайте зробимо те ж саме для держави\(\rho\) в еквалайзері (5.5) для класично корельованих мармуру. Після трохи алгебри ми знаходимо, що

\ [\ почати {вирівняний}
\ rho=&\ гідророзриву {1} {4} (|++\ діапазон\ лангл+++|+-\ діапазон\ лангл+-|||-+\ діапазон\ лангл-+||\ діапазон\ лангл—|\\
&-|++\ діапазон\ лангле - |-| -\ діапазон\ лангле ++||-|+-\ діапазон\ langle-+|-|-+\ діапазон\ langle+-|).
\ end {вирівняний}. \ тег {5.15}\]

Тепер у сполученому базисі немає\(\{|\pm\rangle\}\) кореляцій, які можна перевірити, обчисливши умовні ймовірності стану Боба з урахуванням результатів вимірювання Аліси. Це ще одна ключова відмінність між класично корельованими станами і заплутаними станами. Хороша інтерпретація заплутаності полягає в тому, що заплутані системи виявляють кореляції, які сильніші за класичні кореляції. Незабаром ми побачимо, як ці більш сильні кореляції можуть бути використані при обробці інформації.

Ми бачили, що оператори, як і стани, можуть бути об'єднані в тензорні продукти:

\[A \otimes B|\phi\rangle \otimes|\psi\rangle=A|\phi\rangle \otimes B|\psi\rangle.\tag{5.16}\]

І так само, як стани, деякі оператори не можуть бути записані як\(A \otimes B\):

\[C=\sum_{k} A_{k} \otimes B_{k}\tag{5.17}\]

Це найзагальніший вираз оператора в гільбертовому просторі\(\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}\). У позначеннях Дірака це стає

\[C=\sum_{j k l m} \phi_{j k l m}|\phi_{j}\rangle\langle\phi_{k}|\otimes| \phi_{l}\rangle\langle\phi_{m}|=\sum_{j k l m} \phi_{j k l m}| \phi_{j}, \phi_{l}\rangle\langle\phi_{k}, \phi_{m}|.\tag{5.18}\]

Як приклад, оператор Bell діагональний на основі Bell:

\[\left|\Phi^{\pm}\right\rangle=\frac{|0,0\rangle \pm|1,1\rangle}{\sqrt{2}} \text { and }\left|\Psi^{\pm}\right\rangle=\frac{|0,1\rangle \pm|1,0\rangle}{\sqrt{2}}.\tag{5.19}\]

Власні значення оператора Белла не важливі, якщо вони не вироджені (чому?). Вимірювання оператора Белла проектує на власний стан оператора, який є заплутаним станом. Отже, ми не можемо реалізувати такі композитні вимірювання, вимірюючи кожну підсистему окремо, оскільки ці індивідуальні вимірювання проектуватимуться на чисті стани підсистем. І ми бачили, що підсистеми чистих заплутаних станів - це змішані стани.

Особливо корисним прийомом при роботі з двома системами є так звана декомпозиція Шмідта. Загалом, ми можемо записати будь-який чистий стан над двома системами як суперпозицію базових станів:

\[|\Psi\rangle=\sum_{j=1}^{d_{A}} \sum_{k=1}^{d_{B}} c_{j k}\left|\phi_{j}\right\rangle_{A}\left|\psi_{k}\right\rangle_{B},\tag{5.20}\]

де\(d_{A}\) і\(d_{B}\) є розміри гільбертових просторів системи\(A\) і\(B\), відповідно, і упорядковуємо системи такі, що\(d_{B} \geq d_{A}\). Виявляється, ми завжди можемо спростити цей опис і записати\(|\Psi\rangle\) як єдину суму над базисними станами. Ми стверджуємо це як теорему:

Теорема\(\PageIndex{1}\)

\(|\Psi\rangle\)Дозволяти бути чистим станом двох систем,\(A\) а\(B\) з гільбертовими просторами\(\mathscr{H}_{A}\) і\(\mathscr{H}_{B}\)\(d_{A}\) розмірністю і\(d_{B} \geq d_{A}\), відповідно. Існують ортонормальні базисні вектори\(\left|a_{j}\right\rangle_{A}\) для системи\(A\) і\(\left|b_{j}\right\rangle_{B}\) для системи B такі, що

\[|\Psi\rangle=\sum_{j} \lambda_{j}\left|a_{j}\right\rangle_{A}\left|b_{j}\right\rangle_{B},\tag{5.21}\]

з реальними, позитивними коефіцієнтами Шмідта\(\lambda_{j}\), і\(\sum_{j} \lambda_{j}^{2}=1\). Це розкладання є унікальним, і сума проходить максимум до\(d_{A}\), розмірності найменшого гільбертового простору. Традиційно упорядковуємо коефіцієнти Шмідта в порядку спадання:\(\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \ldots\) Загальна кількість ненульових\(\lambda_{i}\) - це число Шмідта.

Доказ

Доказ можна знайти в багатьох текстах випускників з квантової механіки та квантової теорії інформації.

З огляду на розкладання Шмідта для двочасткової системи, ми можемо відразу записати матриці зниженої щільності для підсистем:

\[\rho_{A}=\operatorname{Tr}_{B}(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\sum_{j} \lambda_{j}^{2}\left|a_{j}\right\rangle_{A}\left\langle a_{j}\right|,\tag{5.22}\]

і

\[\rho_{B}=\operatorname{Tr}_{A}(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\sum_{j} \lambda_{j}^{2}\left|b_{j}\right\rangle_{B}\left\langle b_{j}\right|.\tag{5.23}\]

Основа стверджує\(\left|a_{j}\right\rangle_{A}\) і\(\left|b_{j}\right\rangle_{B}\) може мати абсолютно різні фізичні значення; тут ми дбаємо лише про те, що стани розкладання можуть бути позначені одним індексом, на відміну від двох індексів.

І навпаки, коли ми маємо єдину систему в змішаному стані

\[\rho=\sum_{j} p_{j}\left|a_{j}\right\rangle\left\langle a_{j}\right|,\tag{5.24}\]

ми завжди можемо побудувати чистий стан\(|\Psi\rangle\), який підпорядковується\(\left(\lambda_{j}=\sqrt{p_{j}}\right)\)

\[|\Psi\rangle=\sum_{j} \lambda_{j}\left|a_{j}, b_{j}\right\rangle,\tag{5.25}\]

В силу розкладання Шмідта. Стан\(|\Psi\rangle\) називається очищенням\(\rho\). Оскільки багато теорем легше довести для чистих станів, ніж для змішаних станів, очищення можуть зробити наше робоче навантаження значно легше.

Коли\(\lambda_{j}\) в еквалайзері більше одного ненульового значення (5.25), стан\(|\Psi\rangle\) явно заплутується: немає альтернативного вибору\(\lambda_{j}\) через унікальність розкладання Шмідта, яке призвело б до нуля\(\lambda_{1}^{\prime}=1\) та всіх інших. Причому, чим рівномірніше значення\(\lambda_{j}\), тим більше стан заплутується. Однією з можливих мір для кількості заплутування в\(|\Psi\rangle\) є ентропія Шеннона H.

\[H=-\sum_{j} \lambda_{j}^{2} \log _{2} \lambda_{j}^{2}\tag{5.26}\]

Це ідентично ентропії фон Неймана матриці\(S\) зниженої щільності\(\rho\)\(|\Psi\rangle\) наведеної в еквалайзері (5.24):

\[S(\rho)=-\operatorname{Tr}\left(\rho \log _{2} \rho\right)\tag{5.27}\]

Обидві ентропії вимірюються в класичних бітах.

Як ми знаходимо розкладання Шмідта? Розглянемо стан\(|\Psi\rangle\) з ур. (5.20). (не обов'язково квадратну) матрицю\(C\) з елементами\(c_{j k}\) потрібно перетворити в єдиний масив чисел\(\lambda_{j}\). Це досягається шляхом застосування сингулярного розкладання:

\[c_{j k}=\sum_{i} u_{j i} d_{i i} v_{i k},\tag{5.28}\]

де\(u_{j i}\) і\(v_{i k}\) є елементами унітарних матриць\(U\) і\(V\), відповідно, і\(d_{i i}\) являє собою діагональну матрицю з сингулярними значеннями\(\lambda_{i}\). Вектори в розкладанні Шмідта стають

\[\left|a_{i}\right\rangle=\sum_{j} u_{j i}\left|\phi_{j}\right\rangle \quad \text { and } \quad\left|b_{i}\right\rangle=\sum_{k} v_{i k}\left|\psi_{k}\right\rangle.\tag{5.29}\]

Це, мабуть, вдалий час, щоб нагадати собі про розкладання сингулярних значень. Все, що нам потрібно зробити, це знайти\(U\) і\(V\), решта просто множення матриці. Щоб знайти\(U\), ми діагоналізуємо\(C C^{\dagger}\) і знаходимо його власні вектори. Вони утворюють стовпчики\(U\). Аналогічно ми діагоналізуємо\(C^{\dagger} C\) і організуємо власні вектори в стовпцях, щоб знайти\(V\). Якщо\(C\)\(n \times m\) матриця,\(U\) повинна бути\(n \times n\) і\(V\) повинна бути\(m× m\).