9.1: Гармонічні осцилятори

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77366

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Одним з основних ігрових полів для операційних методів є гармонічний осцилятор. Незважаючи на те, що вони виглядають дуже штучно, гармонійні потенціали відіграють надзвичайно важливу роль у багатьох областях фізики. Це пов'язано з тим, що навколо точки рівноваги, де сили зникають, будь-який потенціал поводиться як гармонійний (плюс невеликі поправки). Найкраще це можна побачити, зробивши розширення серії Тейлора про таку точку,

\[V( x ) = V_0 + \dfrac{1}{2} m ω^2 x^2 + O( x^3 ) . \label{9.1}\]

Питання

Чому в рівнянні\ ref {9.1} немає лінійного члена?

Для досить\(x\) малих квадратичний термін домінує, і ми можемо ігнорувати інші терміни. Такі ситуації виникають у багатьох фізичних проблемах, і роблять гармонійний генератор такою важливою проблемою.

Як пояснюється в нашому першому обговоренні гармонічних осциляторів, ми масштабуємо до безрозмірних змінних («чистих чисел»)

\[y = \sqrt{ \dfrac{m ω}{ \hbar }} x \label{9.2}\]

с\(\epsilon = E ∕ ℏω\).

У цих нових змінних рівняння Шредінгера стає

\[\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{-d^2}{dy^2} + y^2 \right) u ( y ) = \epsilon u ( y ) . \label{9.3}\]