4.4: Деякі наслідки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77282

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Є кілька вагомих причин, чому залежність в розв'язку знаходиться від\(k a\),\(κ a\) і\(κ_0a\): Це все безрозмірні числа, і математичні відносини ніколи не можуть залежати від параметрів, які мають розмірність! Для випадку парних розв'язків, ті з\(B_2= 0\), ми знаходимо, що кількість зв'язаних станів визначається тим, скільки разів ми можемо\(2π\) вписатися в\(κ_0 a\). Оскільки\(κ_0\) пропорційно (квадратний корінь)\(V_0\), ми виявляємо, що збільшення кількості зв'язаних станів\(V_0\) збільшується, і те саме відбувається, коли ми збільшуємо ширину\(a\). \(κ_0\)Переписуючи трохи, виявляємо, що керуючим параметром є

\[\sqrt{ \dfrac{2 m}{ℏ^2} V_0 a^2}\]

так що коефіцієнт двох змін в\(a\) такий же, як фактор чотири зміни в\(V_0\).

Якщо ми поставимо два набори рішень один на одного, ми бачимо, що після кожного парного рішення ми отримуємо непарне рішення, і навпаки. Завжди є хоча б одне рішення (найнижче парне), але перше непарне рішення виникає лише тоді, коли\(κ_0 a=π\).