4.1: Зв'язані держави
- Page ID
- 77277
Одним з найпростіших потенціалів для вивчення властивостей є так званий потенціал квадратної свердловини (рис.\(\PageIndex{1}\)),
\ [V (x) =\ ліворуч\ {\ почати {вирівняний}
&0 && | x | > a\\
&-V_0 && | x | < a
\ end {вирівняний}
\ праворуч. \ етикетка {4.1}\]
Малюнок\(\PageIndex{1}\) : Квадратний потенціал свердловини
Визначимо три області, зліва направо на малюнку\(\PageIndex{1}\): I, II і III. У областях I та III ми маємо рівняння Шредінгера для вільної частинки.
\[− \dfrac{ℏ^2}{2 m} \dfrac{d^2}{d x^ 2} ψ ( x ) = E ψ ( x ) \label{4.2}\]
тоді як в області II ми маємо рівняння
\[− \dfrac{ℏ^2}{2 m} \dfrac{d^2}{d x^ 2} ψ ( x ) = ( E + V_0 ) ψ ( x ) \label{4.3}\]
У цьому класі ми досить часто стикаємося зі звичайними диференціальними рівняннями.
\[ \dfrac{d^2}{d x^2} f( x)=−α^2 f( x) \label{4.4}\]
який має як рішення
\[\begin{align} f( x) &= A_1 \cos (α x)+ B_1 \sin (α x) \\[5pt] &= C_1 e^{iα x} + D_1 e^{− iα x}, \label{4.5} \end{align}\]
і
\[ \dfrac{d^2}{d x^ 2} g( x)=+α^2 g( x) \label{4.6}\]
який має як рішення
\[\begin{align} g( x) &= A_2 \cosh (α x)+ B_2 \sinh (α x) \\[5pt] &= C_2 e^{α x} + D_2 e^{−α x}. \label{4.7} \end{align}\]
Випадок 1: Е> 0
Давайте спочатку розглянемо\(E> 0\). У цьому випадку рівняння в регіонах I та III можна записати як
\[\dfrac{d^2}{d x^2} ψ ( x ) = − \dfrac{2 m}{ℏ^2} E ψ ( x ) = − k^2 ψ (x), \label{4.8}\]
де
\[k = \sqrt{ \dfrac{2 m}{ℏ^2}} E \label{4.9}\]
Розв'язком цього рівняння є сума синусів і косинусів\(k x\), які неможливо нормалізувати: Write
\[ψ_{III}( x)= A \cos ( k x)+ B \sin ( k x)\]
де (\(A\)і\(B\) може бути комплексним) і обчислити частину норми, що бере початок в регіоні III,
\[ \begin{align} \int_a^{∞} |ψ(x)|^2 dx &= \int_a^∞ |A|^2 \cos^2 kx + |B|^2 \sin^2 k x + 2 ℜ ( A B^∗ ) \sin (kx) \cos (kx) dx \\[5pt] &= \lim_{N → ∞} N \int_a^{2 π ∕ k} | A |^2 \cos^2 (kx) + | B |^2 \sin^2 (kx) \\[5pt] &= \lim_{N → ∞} N \left( \dfrac{| A |^ 2}{ 2} + \dfrac{| B |^2}{2} \right ) = ∞ . \label{4.10} \end{align} \]
Ми також виявляємо, що енергія не може бути меншою\(−V_0 \), оскільки ми не можемо побудувати рішення для цієї цінності енергії. Таким чином, ми обмежуємося\(− V_0< E< 0\). пишемо
\[E = − \dfrac{ ℏ^2}{ k^2 2 m} \]
і
\[E + V_0 = \dfrac{ℏ^2κ^2}{2 m} . \label{4.11}\]
Розчини в областях I та III мають форму (\(i=1,\,3\))
\[ψ ( x ) = A_i e^{k x} + B_i e^{− k x}. \label{4.12}\]
У II області ми маємо коливальний розчин.
\[ψ ( x ) = A_2 \cos ( κ x ) + B_2 \sin ( κ x ). \label{4.13}\]
Тепер ми повинні нав'язати умови на хвильові функції, про які ми говорили раніше, безперервності\(ψ\) та її похідних. Власне нам теж доводиться нав'язувати нормалізуваність, а це значить, що\(B_1= A_3= 0\) (експоненціально зростаючі функції неможливо нормалізувати). Як ми побачимо, ми маємо рішення лише в певних енергіях. Безперервність означає, що
\[ \begin{align} A_1 e^{ − k a} + B_1 e^{ k a} &= A_2 \cos ( κ a ) − B_2 \sin ( κ a ) \label{4.14A} \\[5pt] A_3 e^{k a} + B_3 e^{− k a} &= A_2 \cos ( κ a ) + B_2 \sin ( κ a ) \label{4.14B} \\[5pt] k A_1 e^{k a} − k B_1 e^{k a} &= κ A_2 \sin ( κ a ) + κ B_2 \cos ( κ a ) \label{4.14C} \\[5pt] k A_3 e^{ k a} − k B_3 e^{− k a} &= − κ A_2 \sin ( κ a ) + κ B_2 \cos ( κ a ) \label{4.14D} \end{align}\]
Тактичний підхід
Ми хочемо знайти зв'язок між\(k\) і\(κ\) (чому?) , видаляючи як багато констант\(A\) і B. Хитрість полягає в тому, щоб спочатку знайти рівняння, яке містить тільки\(A_2\) і\(B_2\). Для цього візьмемо співвідношення рівнянь\ ref {4.14A} і\ ref {4.14C}, а потім співвідношення рівнянь\ ref {4.14B} і\ ref {4.14D}:
\[\begin{align} k &= \dfrac{κ [ A_2 \sin ( κ a ) + B_2 \cos ( κ a ) ]}{ A_2 \cos ( κ a ) − B_2 \sin ( κ a )} \label{4.15A} \\[5pt] k &= \dfrac{κ [ A_2 \sin ( κ a ) − B_2 \cos ( κ a ) ]}{ A_2 \cos ( κ a ) + B_2 \sin ( κ a )} \label{4.15B} \end{align}\]
Ми можемо об'єднати рівняння\ ref {4.15A} і\ ref4.15b} в одне, прирівнюючи праві сторони. Після видалення загального коефіцієнта\(κ\), і множення на знаменники знаходимо
\[[ A_2 \cos ( κ a ) + B_2 \sin ( κ a ) ] [ A_2 \sin ( κ a ) − B_2 \cos ( κ a ) ] = [ A_2 \sin ( κ a ) + B_2 \cos ( κ a ) ] [ A_2 \cos ( κ a ) − B_2 \sin ( κ a ) ] , \label{4.16}\]
що спрощує
\[A_2 B_2 = 0 \label{4.17}\]
Таким чином, ми маємо дві сім'ї рішень, ті, що характеризуються\(B_2= 0\) та ті, які мають\(A_2= 0\).