10.8: Метали на радіочастотах
- Page ID
- 78264
Нас цікавить практичний випадок металів при кімнатній температурі і частотах менше 1000 ГГц, так що металева реакція на електричне поле може характеризуватися його провідністю постійного струму, σ 0. Нас цікавить і загальний випадок випромінювання при косому падінні. У цьому відносно низькочастотному режимі густина струму провідності в металі значно більша за густину струму зсуву; тобто для часової залежності exp (−iωt) виявляється, що\(\sigma_{0} \gg \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0}\) в рівнянні Максвелла
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\sigma_{0} \vec{\text{E}}-i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \vec{\text{E}}. \nonumber \]
Відповідними рівняннями Максвелла для низькочастотних полів у немагнітному металі\(\mu \cong \mu_{0}\), стали
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\mu_{0} \frac{\partial \vec{\text{H}}}{\partial \text{t}} \label{10.68}\]
і
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\sigma_{0} \vec{\text{E}}. \label{10.69}\]
Візьміть завиток (10.68) і використайте варіацію часу, exp (−iωt) для отримання
\[\operatorname{curlcurl}(\vec{\text{E}})=i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \vec{\text{E}}, \nonumber\]
або
\[-\nabla^{2} \vec{\text{E}}+g r a d d i v(\vec{\text{E}})=i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \vec{\text{E}}. \label{10.70}\]
Однак розбіжність будь-якого завитка вектора дорівнює нулю, а отже div (\(\vec E\)) = 0 з Рівняння (\ ref {10.69}). Звідси випливає, що для металу на низьких частотах компоненти електричного поля повинні задовольняти рівнянню.
\[\nabla^{2} \text{E}_{\alpha}=-i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \text{E}_{\alpha}, \label{10.71}\]
де\(\alpha\) позначає кожну з трьох декартових складових x, y або z.
Розв'язування задачі плоской хвилі, що падає під косим кутом на плоску металеву поверхню, триває так само, як і для загального випадку косого падіння, розглянутого в розділі (10.5). Цікаві два випадки: (1) S-поляризація, в якій електричний вектор падаючої хвилі паралельний плоскому інтерфейсу, див. Рис. (10.4.6), і (2) P-поляризація, при якій електричний вектор падаючої хвилі лежить в площині падіння, а магнітний вектор тому лежить паралельно з інтерфейс див. Рис. (10.5.7).
10.8.1 S-поляризація.
За допомогою системи координат рисунка (10.4.6) поля в металі можуть бути записані
\ [\ почати {вирівняти}
\ текст {E} _ {\ текст {y}} =\ текст {E} _ {\ текст {T}}\ exp\ ліворуч (я\ лівий [\ текст {xk}\ sin\ theta+\ текст {zk} _ {\ текст {z}}} -\ омега\ текст {t}\ праворуч]\\\ етикетка {10.72}
\ текст {H} _ {\ текст {x}} =-\ frac {\ текст {k} _ {\ текст {z}}} {\ омега\ mu_ {0}}\ текст {E} _ {\ текст {T}}\ exp\ left (i\ left [\ text {xk}\ sin\ тета+\ текст {zk} _ {\ текст {z}} -\ омега\ текст {t}\ праворуч]\ право),\ nonumber\
\ текст {H} _ {\ текст {z}} =\ frac {\ sin\ тета} {\ текст {Z} _ {0}}\ текст {E} _ {\ текст {T}}\ exp\ ліворуч (я\ лівий [\ текст {xk}\ sin\ тета+\ текст {zk} _ {\ текст {z}} -\ омега\ текст {t}\ право]\ правий),\ nonumber
\ end {вирівнювання}\]
де Z 0 = cμ 0 = 377 Ом, а k = ω/c. хвильово-векторну складову k z в металі потрібно вибрати так, щоб E y задовольняв рівнянню (\ ref {10.71}), тобто
\[\text{k}_{\text{z}}^{2}=i \omega \mu_{0} \sigma_{0}-\left(\frac{\omega \sin \theta}{\text{c}}\right)^{2}. \nonumber \]
Мабуть, хвильово-векторна складова k z залежить від кута падіння рушійної падаючої площини хвилі. Ця залежність є ілюзорною, оскільки μ 0 σ 0 набагато більше, ніж\(w / c^{2}\): для міді на 100 ГГц\(w / c^{2}\) = 7×10 −6, тоді як μ 0 σ 0 = 81. Для діапазону частот і провідності, які представляють інтерес тут термін в\(\sin ^{2} \theta\) незначний порівняно з терміном, пропорційним провідності, і для будь-якого кута падіння можна використовувати
\[\text{k}_{2}^{2}=i \omega \mu_{0} \sigma_{0}, \nonumber \]
і
\[\text{k}_{\text{z}}=\sqrt{\frac{\omega \mu_{0} \sigma_{0}}{2}}(1+i)=\frac{(1+i)}{\delta}, \label{10.73}\]
де\(\delta\) - довжина, обернено пропорційна квадратному кореню частоти. Зручно пам'ятати, що\(\delta\) = 2 мкм для міді на 1 ГГц і при кімнатній температурі.
На межі розділу метал-вакуум тангенціальні компоненти\(\vec E\) і\(\vec H\) повинні бути безперервними через поверхню. Ці граничні умови при z=0 призводять до двох рівнянь для двох невідомих амплітуд електричного поля E R і E T; E R - амплітуда хвилі, відбитої від поверхні металу, а Е Т - амплітуда електричного поля, що передається в метал. Розв'язками цих рівнянь є
\ [\ почати {вирівняти}
&\ розрив {E_ {R}} {E_ {0}} =\ лівий (\ frac {(\ омега/c)\ cos\ тета-k_ {z}} {(\ омега/c)\ cos\ theta+k_ {z}}\ праворуч),\ етикетка {10.74}\
&\ frac {\ текст {E} {_}\ текст {T}}} {\ текст {E} _ {0}} =\ лівий (\ frac {2 (\ омега/\ текст {c})\ cos\ тета} {(\ омега/\ текст {c})\ cos\ theta+\ текст {k} _ {z}}\ праворуч ). \ nonumber\ кінець {вирівняти}\]
Хвильовий вектор k z дуже великий порівняно з (ω/c) cos θ так що якщо розділити рівняння в (10,74) на k z зверху і знизу, коефіцієнти відбиття і передачі можуть бути виражені як розширення рядів потужності в малому параметрі ω cos θ/(ck z): наприклад
\[\frac{\text{E}_{\text{R}}}{\text{E}_{0}}=\frac{-1+\frac{\omega \cos \theta}{\text{ck}_{\text{z}}}}{1+\frac{\omega \cos \theta}{\text{ck}_{\text{z}}}} \cong-1+\left(\frac{2 \omega \cos \theta}{\text{ck}_{\text{z}}}\right) . \nonumber \]
З точки зору\(\left(1 / \text{k}_{\text{z}}\right)=\frac{\delta}{2}(1-i)\) однієї знахідки
\ [\ почати {вирівняти}
&\ розрив {\ текст {E} _ {\ текст {R}}} {\ текст {E} _ {0}}\ cong-1+\ ліворуч (\ frac {\ дельта\ омега\ cos\ тета} {\ текст {c}}\ праворуч) (1-i),\ етикетка {10.75}\
&\ frac {\ текст {E} {_}\ текст {T}}} {\ текст {E} _ {0}}\ cong\ лівий (\ frac {\ дельта\ омега\ cos\ тета} {\ текст {c}}\ праворуч) (1-i).
\ end {вирівняти}\]
Швидкість, з якою енергія переноситься через поверхню на метр в квадраті для розсіювання як джоульське тепло в металі, задається середнім часом вектора Пойнтінга при z=0.
\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(-\text{E}_{\text{y}} \text{H}_{\text{x}}^{*}\right) \nonumber \]
щоб
\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{T}}\left(\frac{\text{k}_{\text{z}}^{*}}{\omega \mu_{0}}\right) \text{E}_{\text{T}}^{*}\right)=\frac{1}{2 \delta \omega \mu_{0}}\left|\text{E}_{\text{T}}\right|^{2}, \nonumber \]
або
\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{\delta \omega}{\text{c}} \cos ^{2} \theta\left(\frac{\text{E}_{0}^{2}}{\text{Z}_{0}}\right). \label{10.76}\]
Усереднена за часом швидкість, з якою падаюча хвиля транспортує енергію в z-напрямку, задається z-складовою вектора Пойнтінга падаючої хвилі:
\[<\text{S}_{0}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(-\text{E}_{\text{y}} \text{H}_{\text{x}}^{*}\right)=\frac{\text{E}_{0}^{2}}{2 \text{Z}_{0}} \cos \theta. \label{10.77}\]
Коефіцієнт поглинання, пов'язаний з металевою поверхнею, задається
\[\alpha=\frac{<S_{z}>}{<S_{0}>}=2\left(\frac{\delta \omega}{c}\right) \cos \theta, \label{10.78}\]
де\(\delta=\sqrt{2 /\left(\omega \mu_{0} \sigma_{0}\right)}\). Коефіцієнт поглинання дуже малий і збільшується з частотою подібної\(\sqrt{\omega}\), і зменшується пропорційно збільшенню квадратного кореня провідності. Зверніть увагу, що на поверхні металу компоненти магнітного поля H x в падаючій і відбитій хвиль додають по фазі так, що при z=0
\[\text{H}_{\text{x}}=-\text{H}_{0} \cos \theta-\text{H}_{\text{R}} \cos \theta, \nonumber \]
або
\[\text{H}_{\text{x}}=\frac{\text{E}_{0} \cos \theta}{\text{Z}_{0}}\left(-2+\frac{\delta \omega \cos \theta}{\text{c}}(1-i)\right). \label{10.79}\]
Оскільки\(\delta \omega / \text{c}=2 \pi(\delta / \lambda)\) дуже малий, то робить дуже мало помилок, приймаючи паралельну складову магнітного поля на поверхні металу, щоб бути лише вдвічі більшою паралельною складовою магнітного поля падаючої хвилі. У межі нескінченної провідності параметром\(\delta\) → 0 електричне поле в металі стає нульовим, а складова H x на поверхні металу має вдвічі більшу амплітуду Н х в падаючій хвилі. Компонент H z також стає нулем на поверхні металу в межі нескінченної провідності, так що нормальна складова\(\vec B\), B z = μ 0 H z, безперервна через вакуумно-металевий інтерфейс, як того вимагає Рівняння div (\(\vec B\)) = 0.
10.8.2 Р-поляризація.
Магнітний вектор падаючої хвилі паралельний поверхні металу, рис. (10.5.7). Для цього випадку хвилі в металі описуються
\ [\ почати {вирівняти}
\ текст {H} _ {\ текст {y}} &=\ текст {H} _ {\ текст {T}}\ exp\ лівий (я\ лівий [\ текст {xk}\ sin\ theta+\ текст {zk} _ {\ текст {z}}} -\ омега\ текст {t}\ праворуч]\\ мітка {10.80}\
\ текст {E} _ {\ текст {x}} &=-\ розрив {i\ текст {k} _ {\ текст {z}}} {\ сигма_ {0}}\ текст {H} _ {\ текст {T}}\ exp\ left (i\ left [\ text {x }\ текст {k}\ sin\ тета+\ текст {zk} _ {\ текст {z}} -\ омега\ текст {t}\ право]\ право),\ номер\
\ текст {E} _ {\ текст {z}} &=\ frac {i\ омега\ sin\ тета} {\ текст {c}\ сигма_ {0}}\ текст {H} {\ текст {T}}\ exp\ лівий (я\ лівий [\ текст {xk}\ sin\ тета+\ текст {z}\ текст {k} _ {\ текст {z}} -\ омега\ текст {t}\ справа]\ праворуч),\ nonumber
\ end {вирівняти}\]
де
\[\text{k}_{\text{z}}^{2}=i \omega \mu_{0} \sigma_{0}-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \sin ^{2} \theta \cong i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \nonumber\]
і тому
\[\text{k}_{\text{z}}=\sqrt{\frac{\omega \mu_{0} \sigma_{0}}{2}}(1+i)=\frac{(1+i)}{\delta}. \label{10.81}\]
Граничні умови на H y і на E x на інтерфейсі z=0 (неперервність тангенціальних компонентів\(\vec E\) і\(\vec H\)), плюс трохи алгебри, легко дають результати
\ [\ почати {вирівняти}
\ розрив {\ текст {H} _ {\ текст {R}}} {\ текст {H} _ {0}} &=\ frac {\ лівий (\ cos\ тета-\ лівий (\ frac {\ омега\ дельта} {2\ текст {c}}\ праворуч) (1-i)\ праворуч)} {\ лівий (\ cos\ theta+\ лівий (\ frac {\ омега\ дельта} {2\ текст {c}}\ праворуч) (1-i)\ праворуч)},\ етикетка {10.82}
\\ frac {\ текст {H} _ {\ текст {T}}} {\ текст {H} _ {0}} & амп; =\ frac {2\ cos\ тета} {\ лівий (\ cos\ theta+\ лівий (\ frac {\ омега\ дельта} {2\ текст {c}}\ праворуч) (1-i)\ праворуч)},\ nonumber
\\ frac {\ текст {E} _ {\ текст {x}}} {\ текст {H} _ {0}} &= c {\ текст {Z} _ {0}\ лівий (\ frac {\ омега\ дельта} {\ текст {c}}\ праворуч)\ cos\ тета (1-i)} {\ лівий (\ cos\ theta+\ лівий (\ frac {\ омега\ дельта} {2\ текст {c} }\ праворуч) (1-i)\ право)}. \ nonumber\ кінець {вирівняти}\]
У наведених вище виразах Z 0 = 377 Ом, імпеданс вільного простору. Співвідношення\(\omega \delta / \text{c}=2 \pi \delta / \lambda\) дуже мало, приблизно 4 × 10 −5 для міді на 1 ГГц і 300К. Тому випливає, що
\[\frac{\text{H}_{\text{R}}}{\text{H}_{0}} \cong 1 \nonumber\]
і
\[\frac{\text{H}_{\text{T}}}{\text{H}_{0}} \cong 2, \nonumber\]
і
\[\frac{\text{E}_{\text{x}}}{\text{H}_{0}} \cong \text{Z}_{0}\left(\frac{\omega \delta}{\text{c}}\right)(1-i) \sim 0. \nonumber \]
Насправді, для ідеального металу, того, для якого провідність стає нескінченно великою, параметр довжини\(\delta\), йде в нуль і електричне поле не проникає в метал.
Швидкість, з якою енергія переноситься в поверхню металу при z=0, задається
\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{x}} \text{H}_{\text{y}}^{*}\right)=\left(\frac{2 \omega \delta}{\text{c}}\right) \frac{\text{Z}_{0}}{2}\left|\text{H}_{0}\right|^{2} \quad \text { Watts } / m^{2}. \nonumber \]
Швидкість, з якою енергія переноситься на поверхню падаючою хвилею, задається
\[<\text{S}_{0}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{x}} \text{H}_{\text{y}}^{*}\right)=\frac{\text{Z}_{0}}{2} \cos \theta\left|\text{H}_{0}\right|^{2} \quad \text { Watts } / m^{2}. \nonumber \]
Звідси випливає, що коефіцієнт поглинання, пов'язаний з металевою поверхнею, дорівнює
\[\alpha=\frac{<\text{S}_{\text{z}}>}{<\text{S}_{0}>}=\frac{2 \omega \delta}{\operatorname{ccos} \theta}. \label{10.83}\]
Рівняння (10.83) дійсне лише в тому випадку, якщо cos θ ⦁ (ω\(\delta\) /c). У протилежній межі, для кутів, дуже близьких до\(\pi\) /2, так що cos θ (ω\(\delta\) /c), можна показати, що
\[\alpha \rightarrow 4 \cos \theta /(\omega \delta / \text{c}), \nonumber\]
так що коефіцієнт поглинання йде до нуля при наближенні кута падіння\(\pi\) /2.