7.E: Моменергія (вправи)

ПРАКТИКА

7-1 енергія 4-вектор

Для кожного з наступних випадків запишіть чотири складові імпульсу-енергії (моменергія) 4-вектора в заданому кадрі у вигляді$\left[E, p_{x}, p_{y}\right.$,$p_{z}$]. Припустимо, що кожна частинка має масу$m$. Ви можете використовувати квадратні корені у своїй відповіді.

a Частка рухається в позитивному$x$ напрямку в лабораторії з сумарною енергією, рівною п'ятикратній її енергії спокою.

b Ті ж частинки, що спостерігаються в кадрі, в якому вона знаходиться в стані спокою.

c Інша частинка рухається в$z$ -напрямку з імпульсом, рівним триразовому її масі.

d Ще одна частинка рухається в негативному$y$ -напрямку з кінетичною енергією, рівною в чотири рази її масі.

е Ще одна частинка рухається з сумарною енергією, рівною в десять разів її масі і$x-, y$ -, і$z$ -складових імпульсу в співвідношенні 1 до 2 до$3 .$

7-2 маса системи

Визначте масу системи частинок, показану на малюнку 7-6. Чи дорівнює ця маса системи сумі мас окремих частинок в системі? Чи змінюється маса цієї системи в результаті взаємодії? Чи змінюється моменергія 4-вектор системи в результаті взаємодії? (У розділі 8 є набагато більше дискусій про масу системи частинок.)

7-3 багато гадоти про маленьку

Два вантажних поїзда, кожен з масових$5 \times 10^{6}$ кілограмів (5000 метричних тонн) рухаються в протилежних напрямках по одній колії з однаковою швидкістю 42 метрів/секунду (близько 100 миль/год). Вони стикаються з головою і приходять відпочивати.

a Обчислити в міліграмах кінетичну енергію для кожного поїзда$(1 / 2) m v^{2}$ перед зіткненням. (Ньютонівський вираз OK для$100 \mathrm{mph} !$) (1$=10^{-3}$$=10^{-6}$ кілограм міліграм)

б Після зіткнення маса поїздів плюс маса колії плюс маса дорожнього полотна збільшилася на яку кількість міліграмів? Нехтувати енергією, втраченою у формах звуку і світла.

7-4 швидких профонів

Кожен з описаних в таблиці протонів випромінює спалах світла кожен метр свого (належного) часу$d \tau$. Між послідовними викидами спалаху кожен протон проходить відстань, вказану в лівій колонці. Доповніть таблицю. Візьміть решту енергії протона, щоб дорівнювати$1 \mathrm{GeV}=10^{9} \mathrm{eV}$ і висловити імпульс в тих же одиницях. Підказки: Уникайте обчислення або використання швидкості$v$ в задачах релятивістських частинок; це занадто близько до єдності, щоб розрізняти протони радикально різних енергій. Точність двох значущих рис-

ВПРАВА 7-4

ШВИДКІ ПРОТОНИ

Лабораторна відстань,$\Delta x$ пройдена між спалахами (метри)

0	Лабораторний час між спалахами (метри)
$0.1$	Таймерія (GeV)
1
10
$10^{3}$
$10^{6}$
фактор$\gamma$

Ures - це нормально; не давайте більше. Нагадаємо:$E^{2}-p^{2}=m^{2}$ і$E=m d t / d \tau=m \gamma$ [примітка тау!].

ЗАДАЧІ 7-5 Трансформація Лоренца для енергетичних складових

Ракетний спостерігач вимірює енергетичні та імпульсні компоненти частинки, щоб мати значення$E^{\prime}$ і$p_{x}{ }^{\prime}$$p_{y}^{\prime}$, і$p_{z}^{\prime}$. Які відповідні значення енергії та імпульсу вимірюється лабораторним спостерігачем? Відповідь походить від перетворення Лоренца, рівняння (L-10) у спеціальній темі після глави 3.

Рухома частинка випромінює пару іскор, близько розташованих у часі, як вимірюється на наручному годиннику. Ракетна решітка годинників фіксує ці емісійні події; так само і лабораторна решітка годинників. Ракетний спостерігач будує компоненти імпульсу та енергії частинок$(7-2)$, рівняння$m$, виходячи зі знання маси частинок$d t^{\prime}, d x^{\prime}, d y^{\prime}$, переміщень простору-часу та$d z^{\prime}$ отриманих від записів подій та належного часу $d \tau$обчислюється з цих компонентів простору-часу. Лабораторні компоненти моменергії походять від перетворення простору-часових переміщень. Перетворення Лоренца, рівняння (L-10), для інкрементних переміщень дає

\ [\ почати {вирівняний} д т &= v\ гамма д х ^ {\ прайм} +\ гамма д t^ {\ прайм}\\ d x &=\ гамма d x^ {\ прайм} +v\ гамма d t^ {\ прайм}\ d y &= d y^ {\ прайм}\ d z &= d z^ {\ прайм} \ кінець {\ прайм}\

a Помножте обидві сторони кожного рівняння на інваріантну масу$m$ і розділіть на інваріантний належний час$d \tau$. Розпізнаючи складові моенергійного 4-вектора в рівнянні (7-2), показують, що рівняння перетворення для моменергії

\ [\ почати {вирівняний} &Е = V\ гамма р^ {\ прайм} {} _ {x} +\ гамма Е^ {\ прайм}\\ &p_ {x} =\ гамма р^ {\ прайм} {} _ {х} +v\ гамма E^ {\ прайм}\ &p_ {y} =p^ {\ прайм} {} _ {y}\\\ p_ {z} =p_ {z} ^ {\ прайм} \ кінець {вирівняний}\]

$\mathbf{b}$Повторіть процес переміщення частинок і$d z$ записуйте в лабораторному кадрі$d t, d x, d y$, щоб отримати зворотні перетворення з лабораторії в ракету.

\ [\ почати {вирівняний} &Е^ {\ прайм} =-v\ гамма p_ {x} +\ гамма Е\\ &p_ {x_ {x}} ^ {\ прайм} =\ гамма p_ {x} -v\ гамма Е\\ &p^ {\ прайм} {} ^ {\ прайм} =p_ {y}\ &p_ {z} ^ {прайм} =p_ {z} \ кінець {вирівняний}\]

7-6 швидких електронів

Двомильний Стенфордський лінійний прискорювач прискорює електрони до кінцевої кінетичної енергії$47 \mathrm{GeV}(47 \times$$10^{9}$ електрон-вольт; один електрон-вольт$=1.6 \times 10^{-19}$ джоуль). Отримані високоенергетичні електрони використовуються для експериментів з елементарними частинками. Електромагнітні хвилі, що утворюються у великих вакуумних трубках («клістронові трубки»), прискорюють електрони вздовж прямої трубчастої структури довжиною 10 000 футів (приблизно 3000 метрів завдовжки). Візьміть решту енергії електрона, щоб бути$m \approx 0.5 \mathrm{MeV}=0.5 \times 10^{6}$ електронвольтами.

a Електрони збільшують свою кінетичну енергію приблизно на рівні кількості для кожного метра, пройденого по трубі прискорювача, як це спостерігається в лабораторному кадрі. Що це за приріст енергії в$\mathrm{MeV} /$ лічильнику? Припустимо, ньютонівський вираз для кінетичної енергії були правильними. У цьому випадку як далеко б проїхав електрон вздовж прискорювача до того, як його швидкість дорівнювала швидкості світла?

b В реальності, звичайно, навіть електрони 47-геВ, що виходять з кінця прискорювача, мають швидкість$v$, меншу за швидкість світла. Яке значення різниці$(1-v)$ між швидкістю світла і швидкістю цих електронів вимірюється в лабораторному кадрі? [Підказка: Для$v$ дуже близької одиниці значення,$\left.1-v^{2}=(1+v)(1-v) \approx 2(1-v) .\right]$ Нехай 47-гев електрон з цього прискорювача гонки спалах світла вздовж евакуйованої трубки прямо через Землю з одного боку на інший (діаметр Землі 12,740 кілометрів). Наскільки далеко попереду електрона світловий спалах в кінці цієї гонки? Висловіть свою відповідь в міліметрах.

c Як довго «3000 -метр» прискорювальна трубка, записана на решітці ракетного годинника, що рухається разом з$47-\mathrm{GeV}$ електроном, що виходить з прискорювача?

7-7 супер космічних променів

У парку Хавера великий масив повітряного душу поблизу Лідса, Англія, виявляє енергію окремих частинок космічних променів опосередковано внаслідок зливу частинок, які цей космічний промінь створює в атмосфері. У період з 1968 по 1987 рік масив Haverah Park виявив понад 25 000 космічних променів з енергіями більше$4 \times 10^{17}$ електрон-вольт, в тому числі 5 з енергією приблизно$10^{20}$ електрон-вольт. (енергія спокою протона$\approx 10^{9}$ електрон-вольт$=$$1.6 \times 10^{-10}$ джоуля)

a Припустимо, космічний промінь - це протон енергії$10^{20}$ електрон-вольт. Скільки часу знадобиться цьому протону, щоб перетнути нашу галактику, як вимірюється на наручних годинниках протона? Діаметр нашої галактики приблизно

ВПРАВА 7-8 РАКЕТНОГО ЯДРА

$10^{5}$світлових років. Скільки століть займе, як це спостерігається в нашій земній зв'язаній рамці?

b Дослідники парку Хавера не знаходять доказів верхньої межі енергій космічних променів. Протон повинен мати енергію того, скільки разів його енергія спокою, щоб діаметр нашої галактики здавався йому Лоренц-скоротився до діаметра протона (близько 1 фемтометра, що дорівнює$10^{-15}$ метрам)? Скільки метричних тонн маси довелося б перетворити на енергію зі 100-відсотковою ефективністю дорівнює 1000 кілограмам.

Довідка: М. Лоуренс, Р.Дж. Рейд, і А.А. Ватсон, Журнал фізики G: Ядерна фізика і фізика частинок, том 17, сторінки$733-757$ (1991).

7-8 ракетних ядер

Радіоактивний розпад або «зворотне зіткнення» спостерігається в лабораторному кадрі, як показано на малюнку.

Припустимо, що$m_{A}=20$$m_{C}=2$ одиниці, одиниці, і$E_{C}=5$ одиниці.

a Яка загальна енергія$E_{A}$ частинки$A$?

b З збереження енергії знайдіть загальну енергію$E_{D}$ (спокій плюс кінетична) частинки$D$.

c За допомогою виразу$E^{2}-p^{2}=m^{2}$ знайдіть імпульс$p_{C}$ частинки$C$.

d Від збереження$p_{D}$ імпульсу частинки$D$

e Яка маса$m_{D}$ частинок$D$?

f Чи дорівнює$m_{C}+m_{D}$ після зіткнення$m_{A}$ перед зіткненням? Поясніть свою відповідь.

$\mathbf{9}$Намалюйте три діаграми моменергії для цієї реакції, аналогічні показаним на малюнку 7-6: ДО, SYSTEM та AFTER. Побудуйте позитивний і негативний імпульс уздовж позитивного і негативного горизонтального напрямку відповідно і енергії по вертикальному напрямку. На діаграмі AFTER намалюйте вектори моменергії для частинок$C$ і$D$ голова до хвоста так, щоб вони складалися до вектора моменергії для системи. Розмістіть марковані ручки маси на стрілках у всіх трьох діаграмах, включаючи стрілку для системи.

ПЕРЕД

ПІСЛЯ ВПРАВИ 7-8. Радіоактивний розпад частинки тикули$B$.

частинки$A$

частинка B

ПЕРЕД

ПІСЛЯ

ВПРАВА 7-9. Дві частинки стикаються, утворюючи третину в стані спокою в лабораторному кадрі.

7-9 липке зіткнення

У лабораторному кадрі спостерігається нееластичне зіткнення, як показано на малюнку. Припустимо, що$m_{A}=2$ одиниці,$E_{A}=6$ одиниці,$m_{C}=15$ одиниці.

a Від збереження енергії, що таке енергія$E_{B}$ частинки$B$?

$\mathbf{b}$Що таке імпульс$p_{A}$ частинки$A$? Тому який імпульс$p_{B}$ частинки$B$?

c Від$m^{2}=E^{2}-p^{2}$ знаходимо$m_{B}$ масу пар-

d Швидке здогадання: Чи маса частинки$C$ після зіткнення менше або більше суми мас частинок$A$ і$B$ до зіткнення? Перевірте свою здогадку від відповіді до частини$\mathbf{c}$.

7-10 зіткнення шпаклівки кульок

Куля шпаклівки маси$m$ і кінетичної енергії$K$ смуги поперек замерзлого льоду ставка і б'є другий ідентичний куля шпаклівки спочатку в спокої на льоду. Два склеюються і скиттер вперед як одна одиниця. Звертаючись до малюнка, знайдіть масу об'єднаної частинки, використовуючи деталі а-е або який-небудь інший метод.

a Яка загальна енергія системи перед зіткненням? Тримайте кінетичну енергію$K$ явно, і не забувайте про решту енергій обох частинок$A$ і$B$. Отже, яка загальна енергія$E_{C}$ частинки$C$ після зіткнення?

b За допомогою рівняння$m^{2}=E^{2}-p^{2}=(m+$$K)^{2}-p^{2}$ знайдіть імпульс$p_{A}$ частинки$A$ до зіткнення. Який загальний імпульс системи до зіткнення? Тому який імпульс$p_{C}$ частинки$C$ після зіткнення?

ВПРАВА 7-10. Два шпатлевих кульки злипаються між собою. c Знову використовуйте рівняння,$m^{2}=E^{2}-p^{2}$ щоб знайти$m_{C}$ масу частинки$C$. Показати, що результат задовольняє рівнянню

$$m_{C}^{2}=(2 m)^{2}+2 m K=(2 m)^{2}\left(1+\frac{K}{2 m}\right)$$

d Вивчити результат частини$c$ в двох граничних випадках. (1) Значення$m_{C}$ в ньютонівському межі низької швидкості, в якому кінетична енергія дуже набагато менше маси:$K / m<<1$. Це те, чого чекає від повсякденного життя? (2) Яке значення$m_{C}$ в високорелятивістській межі, в якій$K / m>>1$? Яка верхня межа за значенням$m_{C}$? Дискусія: Субмікроскопічні частинки, що рухаються з екстремальними релятивістськими швидкостями, рідко склеюються при зіткненні. Швидше, їх зіткнення часто призводить до створення додаткових частинок. Див. Розділ 8 для прикладів.

e Дискусійне питання: Чи змінюються результати частини c, якщо отримана пляма шпаклівки обертається, кружлячись, як гантель навколо свого центру, коли вона ковзає вздовж?

7-11 меж ньютонівської механіки

a Один електрон-вольт$(\mathrm{eV})$ дорівнює збільшенню кінетичної енергії, яку відчуває одиночно заряджена частинка при прискоренні через різницю потенціалів в один вольт. Один електрон-вольт дорівнює$1.60 X$$10^{-19}$ джоулям. Перевірте інші енергії електрона і протона (маси, перераховані всередині задньої кришки) в одиницях мільйона електрон-вольт ($\mathrm{MeV}$).

$\mathbf{b}$Кінетична енергія частинки заданої швидкості$v$ неправильно задана виразом$1 / 2 m v^{2}$. Помилка

становить один відсоток, коли кінетична енергія Ньютона піднялася до певної частки енергії решти. Яка фракція? Підказка: Застосуйте перші три терміни біноміального розширення

$$(1+z)^{n}=1+n z+\frac{1}{2} n(n-1) z^{2}+\ldots$$

до релятивістського виразу для кінетичної енергії, досить точне наближення якщо$|z|<<1$. Нехай цей пункт - де похибка становить один відсоток - довільно називатися «межею ньютонівської механіки». Яка швидкість частинки на цій межі? При якій кінетичній енергії протон досягає цієї межі (енергії в$\mathrm{MeV}$? Електрон?

c Електрон в сучасній кольоровій телевізійній трубці прискорюється через напругу до 25 000 вольт, а потім направляється магнітним полем до певного пікселя люмінесцентного матеріалу на внутрішній грані трубки. Чи повинен дизайнер кольорових телевізійних трубок використовувати особливу відносність при прогнозуванні траєкторій цих електронів?

7-12 виведення релятивістського вираження для моменфуму - напрацьований приклад

Дуже швидка частинка взаємодіє з дуже повільною частинкою. Якщо зіткнення є поглядовим, повільна частинка може рухатися так само повільно після зіткнення, як і раніше. Враховуйте імпульс тихохідної частинки за допомогою ньютонівського виразу. Тепер вимагайте, щоб імпульс був збережений при зіткненні. З цього виводять релятивістський вираз для імпульсу швидкорухомої частинки.

На верхньому малюнку показано таке поглядове зіткнення. Після зіткнення кожна частинка має таку ж швидкість, як і до зіткнення, але кожна частинка змінила свій напрямок руху.

За цією фігурою ховається історія. Десять мільйонів років тому, і в іншій галактиці, віддаленій майже за десять мільйонів світлових років, вибух наднової запустив протон до Землі. Енергія цього протона набагато перевищила все, що ми можемо дати протонам у наших земних прискорювачах частинок. Дійсно, швидкість протона настільки майже наблизилася до швидкості світла, що наручний годинник протона читав проміжок часу лише в одну секунду між запуском та прибуттям на Землю.

Ми на Землі не звертаємо уваги на наручний годинник протона. Для нашої решітчастої роботи спостерігачів, пов'язаних із Землею, минули століття з моменту запуску протона. Сьогодні наші віддалені форпости попереджають нас, що смугастий протон наближається до Землі. Рівно за одну секунду на наших годинниках перед тим, як протон повинен прибути, ми запускаємо власний протон з повільною швидкістю один метр/секунду майже перпендикулярно напрямку вхідного протона (ПЕРЕД частиною верхньої фігури). Наш протон пробиває один метр до точки удару. Зустрічаються два протони. Настільки досконала наша мета і терміни, що після зустрічі наш протон просто змінює напрямок і повертається з тією ж швидкістю, яку ми дали йому спочатку (ПІСЛЯ частини верхньої фігури). Вхідний протон також не змінює швидкості, але відхиляється вгору під тим же кутом, під яким спочатку був нахилений вниз.

ПЕРЕД Наскільки змінюється$y$ імпульс нашого повільного протона під час цієї зустрічі? Ньютон може нам сказати. При швидкості частинок в один метр/секунду, його вираження для імпульсу,$m v$, є точним. Наш протон просто змінює свій напрямок. Тому зміна його імпульсу є просто$2 m v$, вдвічі більше початкового імпульсу в$y$ -напрямку.

Що таке зміна$y$ -імпульсу вхідного протона, що рухається з екстремальною релятивістською швидкістю? Ми вимагаємо, щоб зміна$y$ -імпульсу швидкого протона була рівною за величиною і протилежною в напрямку зміни$y$ -імпульсу нашого повільного протона. Коротше кажучи,$y$ -імпульс зберігається. Ця вимога, плюс аргумент симетрії, призводить до релятивістського вираження імпульсу.

Ключові події нашої історії пронумеровані в центральній фігурі. Подія 1 - це запуск протона з наднової за десять мільйонів років (в нашому кадрі) до удару. Подія 2 - це тихий запуск нашого місцевого протона за одну секунду (в нашому кадрі) до удару. Подія 0 - це сам вплив. $x$-напрямок вибирається так, щоб$y$ -зсуви обох протонів мали однакову величину між запуском і ударом, а саме один метр.

Тепер перегляньте ті ж події з ракети, що рухається вздовж$x$ -осі з такою швидкістю, що події 1 і 0

Земляний каркас: ПЕРЕД

ВПРАВА 7-12. Верх: Симетричне пружне зіткнення між швидким протоном і повільним протоном, при якому кожен протон змінює напрямок, але не швидкість в результаті зустрічі. Центр: Події та поділи, що спостерігаються в кадрі Землі перед зіткненням. Тут$\mathrm{x}=10$ мільйон світлових років і$\mathrm{y}=1$ метр, тому ці цифри не масштабуються! Внизу: Події та поділи, що спостерігаються в рамі ракети перед зіткненням.

вертикально один над одним (нижня фігура). Для спостерігача ракети поперечні$y$ -розділення такі ж, як і для спостерігача Землі (Розділ 3.6), тому$y=1$ метр в обох кадрах. Порядок подій 1 і 2, однак, точно змінюється в часі: для спостерігача ракети ми випустили наш протон на високій швидкості за десять мільйонів років до удару, і вона випускає її за секунду до зіткнення. В іншому випадку схеми симетричні: щоб нижня фігура була схожа на центральну, обмінюйтеся номерами подій 1 і 2, потім встаньте на голову!

Ракетний спостерігач і спостерігач Землі не погоджуються про час між подіями 1 і 0, але вони домовляються про належний час$\tau_{10}$ між ними, а саме одну секунду. Вони також домовляються про належний час$\tau_{20}$ між подіями 2 і 0. Більше того, через симетрію між центральною та нижньою фігурами ці два належні часи мають однакове значення: Для вибраного нами випадку час наручного годинника (належного) для кожного протона становить одну секунду між запуском та ударом.

$$\tau_{10}=\tau_{20}$$

Ми можемо використовувати ці величини для побудови виразів для$y$ -моментів двох протонів. Обидва є протонами, тому їх маси$m$ однакові і мають однакове інваріантне значення для обох спостерігачів. Через рівність за величиною$y$ зсувів і рівності$\tau_{20}$ і$\tau_{10}$, ми можемо писати

$$m \frac{y}{\tau_{10}}=-m \frac{y}{\tau_{20}}$$

[обидва кадри]

Остаточна ключова ідея у виведенні релятивістського виразу для імпульсу полягає в тому, що повільний протон подорожує між подіями 2 та 0 у час вимірювання Землі, який дуже близький за значенням до належного часу між цими подіями. Вертикальний відрив$y$ між подіями 2 і 0 досить малий: один метр. У тих же одиницях час між ними має велике значення в рамці Землі: одна секунда, або 300 мільйонів метрів світлового часу в дорозі. Тому для такого тихохідного протона належний час$\tau_{20}$ між подіями 2 і 0 дуже близький до Землі часу$t_{20}$ між цими подіями:

$$\tau_{20} \approx t_{20} \quad \text { [Earth frame only] }$$

Звідси перепишіть рівняння обох кадрів для рамки Землі:

$$m \frac{y}{\tau_{10}}=-m \frac{y}{t_{20}} \quad \text { [Earth frame only] }$$

Права сторона цього рівняння дає$y$ -імпульс повільного протона перед зіткненням, правильно розрахований за формулою Ньютона. Зміна імпульсу повільного протона при зіткненні в два рази перевищує величину. Тепер подивіться на ліву сторону. Ми стверджуємо, що вираз з лівого боку - це$y$ -імпульс дуже швидкого протона. $y$-імпульс швидкого протона також змінюється при зіткненні, тому зміна лише вдвічі перевищує значення лівої сторони. Якщо коротко, це рівняння втілює збереження$y$ складової сумарного імпульсу при зіткненні. Кон- клюзія: Ліва сторона цього рівняння дає релятивістський вираз для$y$ -імпульсу: зміщення маси разів, розділене на належний час для цього зміщення.

Що було б неправильно з використанням ньютонівського виразу для імпульсу з лівого боку, а також праворуч? Це означатиме використання земного часу$t_{10}$ замість належного часу$\tau_{10}$ в знаменнику лівої сторони. Але чи$t_{10}$ потрібен час швидкому протону, щоб досягти Землі з далекої галактики, як записано в рамці Землі - десять мільйонів років або 320 мільйонів секунд! При цій заміні рівняння більше не буде рівністю; ліва сторона була б на 320 мільйонів разів меншою за значенням, ніж права сторона (менша, тому що$t_{10}$ буде відображатися в знаменнику). Ніщо не показує більш драматично, ніж це, радикальна різниця між ньютонівськими та релятивістськими виразами для імпульсу - і правильність релятивістського виразу, який має належний час у знаменнику.

Це виведення релятивістського вираження для імпульсу стосується лише його$y$ -складової. Але вибір$y$ -напрямку довільний. Ми могли б поміняти місцями$y$ і$x$ осі. Також вираз було отримано для частинок, що рухаються з постійною швидкістю до і після зіткнення. Коли швидкість змінюється з часом, імпульс краще виражається з точки зору поступових змін простору і часу. Для зміщення частинок$d r$ між двома подіями належний час$d \tau$ один від одного, вираз для величини імпульсу є

$$p=m \frac{d r}{d \tau}$$

Короткий зміст одного речення: Для того, щоб зберегти імпульс для релятивістських зіткнень, просто замініть «універсальний час» Ньютона$t$ у виразі для імпульсу з інваріантним належним часом Ейнштейна$\tau$.