1.E: Просторовий час (вправи)

Вступ до вправ

Важливі напрямки сучасних досліджень можна проаналізувати дуже просто, використовуючи теорію відносності. Цей аналіз сильно залежить від фізичної інтуїції, яка розвивається з досвідом. Широкий досвід непросто отримати в лабораторії - прості експерименти з відносності важкі і дорогі, оскільки швидкість світла настільки велика. Як альтернативи експериментам, вправи та проблеми в цьому тексті викликають широкий спектр фізичних наслідків властивостей простору-часу. Ці властивості простору-часу повторюються тут знову і знову в різних контекстах:

• парадокси

• загадки

• похідні

• технічні програми

• експериментальні результати

• кошторис

• точні розрахунки

• філософські труднощі

У тексті представлені всі формальні інструменти, необхідні для вирішення цих вправ і завдань, але інтуїція - практикується спосіб бачення - найкраще розвивати без поспіху. З цієї причини ми пропонуємо продовжувати робити все більше і більше цих вправ у відносності після того, як ви перейшли до матеріалу поза цією книгою. Математичні маніпуляції у вправах і задачах дуже короткі: лише на кілька відповідей потрібно записати більше п'яти рядків. З іншого боку, вправи вимагають деякого «часу розжовування».

У деяких розділах вправи поділяються на дві категорії: Практика і Проблеми. Вправи Practice допомагають вам звикнути до ідей в тексті. Проблеми застосовують ці ідеї до фізичних систем, думкових експериментів та парадоксів.

ПЕРШИЙ МОРАЛЬНИЙ ПРИНЦИП УІЛЕРА: Ніколи не робіть розрахунок, поки не знаєте відповідь. Складіть оцінку перед кожним розрахунком, спробуйте простий фізичний аргумент (симетрія! незмінність! збереження!) перед кожним виведенням вгадайте відповідь на кожен парадокс і загадку. Сміливість: Нікому більше не потрібно знати, що таке здогадка. Тому зробіть це швидко, інстинктом. Правильне припущення підсилює цей інстинкт. Неправильне припущення приносить освіження несподіванки. У будь-якому випадку життя як експерт простору часу, як би довго, веселіше!

Глава 1 Вправи

Практика

1: порівняння швидкостей

Порівняйте швидкості автомобіля, реактивного літака, супутника Землі, Землі на орбіті навколо Сонця та імпульсу світла. Зробіть це, порівнюючи відносну відстань, яку кожен проїжджає за фіксований час. Довільно вибирайте фіксований час, щоб дати зручні відстані. Автомобіль, що рухається за обмеженням швидкості в США 65 миль/год (105 кілометрів/год), охоплює 1 метр відстані приблизно за 35 мілісекунд\(=35 \times 10^{-3}\) секунди.

а Наскільки далеко йде комерційний реактивний лайнер за 35 мілісекунд? (швидкість: 650 миль/год\(=1046\) кілометри/год)

b Наскільки далеко йде супутник Землі за 35 мілісекунд? (швидкість: 17,000 миль/год\(\approx 27,350\) кілометри/год)

c Наскільки далеко Земля рухається по своїй орбіті навколо Сонця за 35 мілісекунд? (швидкість: 30 кілометрів/секунду)

d Наскільки далеко йде світловий імпульс у вакуумі за 35 мілісекунд? (Швидкість:\(3 \times 10^{8}\) метрів/секунду). Ця відстань приблизно скільки разів перевищує відстань від Бостона до Сан-Франциско (5000 кілометрів)?

2: зображення з Нептуна

О 21:00 за тихоокеанським денним часом 24 серпня 1989 року планетарний зонд Вояджер II пройшов повз планети Нептун. Зображення планети кодувалися і передавалися на Землю за допомогою мікрохвильового реле.

Минуло 4 години 6 хвилин, щоб цей мікрохвильовий сигнал подорожував від Нептуна до Землі. Мікрохвильові хвилі (електромагнітне випромінювання, як світло, але частоти нижче, ніж у видимого світла), поширюючись через міжпланетний простір, рухаються зі «стандартною» швидкістю світла в один метр відстані за один метр часу руху світла, або\(299,792,458\) метрів/секунду. Далі нехтуйте будь-яким відносним рухом серед Землі, Нептуна та Вояджера II.

a. обчислити відстань між Землею і Нептуном при прольоті в одиницях хвилин, секунд, років, метрів і кілометрів.

b Обчисліть час, необхідний мікрохвильовому сигналу для досягнення Землі. Використовуйте ті ж одиниці, що і в частині a.

3: одиниці просторового часу

Світло рухається зі швидкістю\(3.0 \times 10^{8}\) метрів/секунду. Одна миля приблизно дорівнює 1600 метрам. Один фурлонг приблизно дорівнює 200 метрам.

а. скільки метрів часу в один день?

б Скільки секунд відстані в одній милі?

c Скільки годин дистанції в одному фурлонге?

d. скільки тижнів відстані в одному світловому році?

е. скільки фурлонгів часу в одній годині?

4: розтягування часу та просторово-часовий інтервал

Ракетний годинник випромінює два спалахи світла, і спостерігач ракети записує проміжок часу (у секундах) між цими двома спалахами. Лабораторний спостерігач фіксує поділ часу (у секундах) та поділ простору (у світлових секундах) між однією парою спалахів. Результати як для лабораторних, так і для ракетних спостерігачів фіксуються в першому рядку таблиці.

Тепер годинник в іншій ракеті, рухаючись з різною швидкістю по відношенню до лабораторії, випромінюють іншу пару спалахів. Набір лабораторних і ракетних космічних і часових поділів записуються на другому рядку таблиці. І так далі. Повна таблиця\(\PageIndex{1}\).

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Розподіл простору та часу

	Проміжок часу ракети (секунди)	Лабораторний проміжок часу (секунди)	Лабораторна відстань (світлові секунди)
Приклад	20	29	21
a	?	10.72	5.95
б	20	?	99
c	66.8	72.9	?
d	?	8.34	6.58
е	21	22	?

 

5: де і коли?

Дві петарди вибухають на одному і тому ж місці в лабораторії і відокремлюються часом 3 роки, як вимірюється на лабораторному годиннику.

а Яка просторова відстань між цими двома подіями в ракеті, в якій події поділяються за часом на 5 років, як вимірюється на ракетних годинниках?

б. яка відносна швидкість ракети і лабораторних рам?

6: створення карт у космосі

У таблиці наведені відстані між містами. Одиниці - кілометри. Припустимо, що всі міста лежать на одній площині.

a Використовуйте лінійку і циркуль (вид компаса, який робить кола), щоб побудувати карту цих міст. Вибирайте зручний масштаб, наприклад, один сантиметр на карті відповідає десяти кілометрах на Землі.

Дискусія: З чого почати? З трьома довільними рішеннями!

(1) Виберіть будь-яке місто, яке буде в центрі карти.

(2) Виберіть будь-яке друге місто, яке буде «через північ» - тобто вздовж будь-якого довільного напрямку, який ви виберете.

(3) Навіть за допомогою цих варіантів є два місця, де ви можете знайти третє місто; виберіть будь-яке з цих двох місць довільно.

b Якщо ви обертаєте заповнену карту у власній площині - наприклад, повертаючи її, зберігаючи її рівною на столі - чи отримана карта також задовольняє записи відстані вище?

c Тримайте карту між собою та світлом, з позначками на стороні паперу, зверненими до світла. Чи карта, яку ви бачите ззаду, також задовольняє записи таблиці?

Обговорення: У цій вправі ви використовуєте таблицю, що складається лише з відстаней між парами міст, для побудови карти цих міст з точки зору геодезиста, використовуючи заданий напрямок на північ. У Вправі 5-3 ви використовуєте таблицю, що складається тільки з просторово-часових інтервалів між парами подій, щоб намалювати «просторово-часову карту» цих подій з точки зору одного спостерігача з вільним плаванням. Вправа 7 попередній перегляд такого роду просторово-часової карти.

Таблиця\(\PageIndex{2}\): Відстані між містами

	Відстань до міста
	A	Б	C	D	Е	F	Г	Ч
з міста
A	0	20.0	28.3	28.3	28.3	20.0	28.3	44.7
Б		0	20.0	20.0	44.7	40.0	44.7	40.0
C			0	40.0	40.0	44.7	56.6	60.0
D				0	56.6	44.7	40.0	20.0
Е					0	20.0	40.0	72.1
F						0	20.0	56.6
Г							0	44.7
Ч								0

 

7: просторово-часова карта

На малюнку нанесені лабораторні виміри простору і часу подій з 1 по 5. Обчислити значення просторово-часового інтервалу

а. між подією 1 і подією 2.

б. між подією 1 і подією 3.

c. між подією 1 і подією 4.

d. між подією 1 і подією 5.

е. ракета рухається з постійною швидкістю від події 1 до події 2. Тобто події 1 і 2 відбуваються в одному і тому ж місці в цій рамі ракети. Який проміжок часу записується на годиннику ракети між цими двома подіями?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Просторово-часова карта деяких подій.

Проблеми

8: розмір комп'ютера

За одну секунду деякі настільні комп'ютери можуть виконувати один мільйон інструкцій послідовно. Однією з інструкцій може бути, наприклад, множення двох чисел разом. На технічному жаргоні такий комп'ютер працює на «одному мегафлопі». Припустимо, що виконання однієї інструкції вимагає передачі даних з пам'яті (де зберігаються дані) процесору (де проводиться обчислення) і передачі результату назад в пам'ять для зберігання.

а. яке максимальне середнє відстань між пам'яттю і процесором в комп'ютері «одномегафлоп»? Це максимальна відстань збільшується або зменшується, якщо сигнал проходить через провідники з половиною швидкості світла у вакуумі?

б. тепер стають доступними комп'ютери, які працюють на «одному гігафлопі», тобто виконують\(10^{9}\) послідовні інструкції в секунду. Яка максимальна середня відстань між пам'яттю і процесором в машині «одного гігафлопа»?

c Оцініть загальний максимальний розмір машини «один-терафлоп», тобто комп'ютера, який може виконувати\(10^{12}\) послідовні інструкції в секунду.

d Дискусійне питання: На відміну від більшості сучасних персональних комп'ютерів, комп'ютер «паралельної обробки» містить кілька або багато процесорів, які працюють разом над обчислювальним завданням. Можна подумати, що машина з 10000 процесорами виконає задану обчислювальну задачу в\(1 / 10,000\) той час. Однак багато обчислювальних проблем розділити таким чином не можна, і в будь-якому випадку якась частка обчислювальної потужності повинна бути присвячена координації команди процесорів. Які обмеження на фізичний розмір накладає швидкість світла на комп'ютер паралельної обробки?

9: Поїздки на Андромеду на ракеті

Галактика Андромеди знаходиться приблизно на відстані двох мільйонів світлових років від Землі, як вимірюється в зв'язаному з Землею кадрі. Чи можливо вам подорожувати від Землі до Андромеди за життя? Підкрадьтеся до відповіді на це питання, розглядаючи серію подорожей із Землі до Андромеди, кожна з яких швидше, ніж раніше. Для простоти припустимо відстань Земля-Андромеди рівно два мільйони світлових років в рамці Землі, розглядайте Землю і Андромеду як точки і нехтуйте будь-яким відносним рухом між Землею і Андромедою.

a. ПОЇЗДКА 1. Ваша поїздка в один бік займає час 2,01 X\(10^{6}\) років (вимірюється в кадрі, пов'язаному з Землею), щоб подолати відстань\(2.00 \times 10^{6}\) світлових років. Як довго триває поїздка, виміряна у вашій рамі ракети?

б Яка швидкість вашої ракети на поїздці 1 вимірюється в кадрі, пов'язаному з Землею? Висловлюйте цю швидкість як десятковий дріб швидкості світла. Називають цей дріб\(v=v_{\text {conv }} / c\), де\(v_{\text {conv }}\) швидкість в умовних одиницях, таких як метри/секунду.
Обговорення: Якщо ваша ракета рухається з половиною швидкості світла, потрібні\(4 \times 10^{6}\) роки, щоб подолати відстань\(2 \times 10^{6}\) світлових років. У цьому випадку
\[v=\frac{2 \times 10^{6} \text { light-years }}{4 \times 10^{6} \text { years }}=\frac{1}{2} \nonumber \]
Тому...

c. ПОЇЗДКА 2. Ваша одностороння поїздка Земля-Андромеди займає\(2.001 \times 10^{6}\) роки, виміряні в кадрі, пов'язаному з Землею. Як довго триває поїздка, виміряна у вашій рамі ракети? Яка ваша швидкість ракети для Trip 2, виражена у вигляді десяткової частки швидкості світла?

d. ПОЇЗДКА 3. Тепер встановіть ракетний час для поїздки в один бік до 20 років, який весь час ви хочете витратити, добираючись до Андромеди. У цьому випадку, яка ваша швидкість як десяткова частка швидкості світла?
Обговорення: Рішення багатьох вправ у цьому тексті спрощуються за допомогою наступного наближення, яке є першими двома членами в біноміальному розширенні
\[(1+z)^{n} \approx 1+n z \quad \text { if } \quad|z|<<1 \nonumber\]
Тут\(n\) може бути позитивним або негативним, дріб або ціле число;\(z\) може бути додатним або від'ємним, якщо його величина дуже значно менша за одиницю. Це наближення може бути використано двічі в розчині до частини d.

10: поїздка до Андромеди Транспортером

У серії «Зоряний шлях» використовується так званий Транспортер, який «проміняє» людей та їх обладнання з зорельота на поверхню сусідніх планет і назад. Механізм Transporter не пояснюється, але, схоже, він працює лише локально. (Якщо він міг транспортувати у віддалені місця, навіщо взагалі возитися з зорельотом?) Припустимо, що через тисячу років існує Транспортер, який зводить людей і речі до даних (елементарні біти інформації) і передає дані світловим або радіосигналом у віддалені місця. Там приймач використовує дані, щоб зібрати мандрівників та їх обладнання з місцевої сировини.

Один з ваших нащадків, названий Саманта, є першим «транспортернаутом», який промінь від Землі до планети Циркон обертається навколо зірки в Туманності Андромеди, за два мільйони світлових років від Землі. Нехтуйте будь-яким відносним рухом між Землею та Цирконом, і припускайте:
(1) передача виробляє Саманту, ідентичну оригіналу у всіх відношеннях (за винятком того, що вона 2 мільйони світлових років від дому!) ,
і (2) час, необхідний для розбирання Саманти на Землі та повторного складання її на Цирконі, мізерно малий, як вимірюється в загальній рамі відпочинку Транспортера та приймача.

а Скільки старіє Саманта під час своєї зовнішньої поїздки до Циркону?

б Саманта збирає зразки і робить спостереження Цирконійської цивілізації протягом одного земного року, а потім промені назад на Землю. Скільки витримала Саманта протягом усієї поїздки?

c Наскільки старша Земля і її цивілізація, коли Саманта повертається?

d Земля була захоплена тираном, який бажає вторгнутися в Циркон. Він посилає одного воїна і дублює його в атакові батальйони в кінці Приймача. Як довго земному тирану доведеться чекати, щоб дізнатися, чи задовольнилися його амбіції?

е Другий транспортернаут проміняється в набагато більш віддалену галактику, яка віддаляється від Землі на 87 відсотків швидкості світла. Цього разу мандрівник також залишається у віддаленій галактиці протягом одного року, як вимірюється годинниками, що рухаються галактикою, перш ніж повернутися на Землю Транспортером. Скільки витримала транспортернаут, коли вона прибуває назад на Землю? (Обережно!)

11: Час розтягування мюонами

На висоті від 10 до 60 кілометрів над Землею космічні промені безперервно вражають ядра атомів кисню і азоту і виробляють мюони (мюони: елементарні частинки масою, що дорівнює 207 електронним масам, що утворюються в деяких ядерних реакціях). Деякі мюони рухаються вертикально вниз зі швидкістю, майже швидкістю світла. Дотримуйтесь одного з мюонів на своєму шляху вниз. У заданому зразку мюонів половина з них розпадається на інші елементарні частинки (в\(1.5\)\(\left(1.5 \times 10^{-6}\right.\) мікросекундах), виміряні щодо системи відліку, в якій вони знаходяться в стані спокою. Половина залишку розпадається в наступні\(1.5\) мікросекунди і так далі. Проаналізуйте результати цього розпаду, що спостерігаються в двох різних рамках. Ідеалізуйте досить складний фактичний експеримент до наступної приблизно рівнозначної ситуації: Всі мюони виробляються на однаковій висоті (\((60\)кілометри); всі мають однакову швидкість; всі рухаються прямо вниз; жоден не втрачається від зіткнень з молекулами повітря на шляху вниз.

а Приблизно скільки часу знадобиться цим мюонам, щоб досягти поверхні Землі, як вимірюється в рамці Землі?

б Якби час розпаду був таким же для спостерігачів Землі, як і для спостерігача, який подорожує з мюонами, приблизно скільки періоду напіврозпаду пройшло б? Тому яка частка створених на висоті 60 кілометрів залишилася б, коли вони досягли рівня моря на Землі? Ви можете висловити свою відповідь як силу фракції\(1 / 2\).

в Експеримент визначає, що\(1 / 8\) частка мюонів досягає рівня моря. Викликаємо решту кадру мюонів рамою ракети. У цій рамі ракети, скільки періоду напіврозпаду пройшло між створенням даного мюона і його приходом як вижив на рівні моря?

d. в рамі ракети, що таке розділення простору між народженням вцілілого мюона і його приходом на поверхню Землі? (Обережно!)

е. з поділу ракетного простору і часу знайти значення просторово-часового інтервалу між подією народження і подією прибуття для одного вцілілого мюона.

Довідка: Наліні Ісвар та Дуглас А. MacIntire, Американський фізичний журнал, том 59, сторінки 589-592 (липень 1991).

12: час розтягування з\(\pi^{+}\)-mesons

Лабораторні експерименти з розпаду частинок набагато зручніше проводити з\(\pi^{+}\) -мезонами (пі-плюс мезонами), ніж з\(\mu\) -мезонами, як видно з таблиці.

У заданому зразку\(\pi^{+}\) -мезонів половина розпадається на інші елементарні частинки за 18 наносекунд (18 X\(10^{-9}\) секунд), виміряних у системі відліку, в якій\(\pi^{+}\) -мезони знаходяться в стані спокою. Половина залишку розпаде протягом наступних 18 наносекунд і так далі.

Вправа 1.12: розтяжка часу з\(\pi^{+}\) -мезонами

Частинка	Час для половини до занепаду (вимірюється в кадрі спокою)	«Характеристична відстань» (швидкість світла, помножена на вищевказаний час)
мюон (207 разів на масу електронів)	\(1.5 \times 10^{-6}\)другий	450 метрів
\(\pi^{+}\)-mesons (273 times electron mass)	\(18 \times 10^{-9}\)секунд	5,4 метра

а У прискорювачі частинок\(\pi^{+}\) -мезони утворюються, коли протонний промінь вражає алюмінієву ціль всередині прискорювача. Мезони залишають цю мету майже зі швидкістю світла. Якби не було часу розтягування і якби не було вилучено мезонів з отриманого пучка зіткненнями, якою була б найбільша відстань від мети, на якій половина мезонів залишилася б нерозпаденою?

б.\(\pi^{+}\) -мезони, що представляють інтерес в конкретному експерименті\(0.9978\), мають швидкість світла. За яким фактором прогнозована відстань від цілі для напіврозпаду збільшується за часом розширення порівняно з попереднім прогнозом - тобто яким фактором цей ефект розширення дозволяє збільшити розділення між детектуючим обладнанням та ціллю?