31.3: Наукова позначення (Додаток C)

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

В астрономії (та інших науках) часто доводиться мати справу з дуже великими або дуже маленькими числами. Насправді, коли цифри стають справді великими у повсякденному житті, наприклад, державний борг у Сполучених Штатах, ми називаємо їх астрономічними. Серед ідей астрономи повинні регулярно мати справу з тим, що Земля знаходиться в 150 000 000 000 метрів від Сонця, а маса атома водню становить 0.0000000000000000000000000000167 кілограмів. Ніхто в його здоровому розумі не хотів би продовжувати писати стільки нулів!

Натомість вчені домовилися про своєрідне стенографічне позначення, яке не тільки простіше писати, але (як ми побачимо) значно менше ускладнює множення і ділення великих і малих чисел. Якщо ви ніколи не використовували це позначення степень-десять або наукові позначення, може знадобитися трохи часу, щоб звикнути до нього, але незабаром ви знайдете це набагато простіше, ніж відстежувати всі ці нулі.

Написання великих чисел

У науковому позначенні ми, як правило, погоджуємося мати лише одне число ліворуч від десяткової крапки. Якщо номер не в цьому форматі, його необхідно змінити. Число 6 вже в правильному форматі, тому що для цілих чисел, ми розуміємо, що там буде десяткова крапка праворуч від них. Так 6 дійсно 6., І дійсно є тільки одне число зліва від десяткової крапки. Але число 965 (що 965.) має три числа зліва від десяткової крапки, і, таким чином, дозріває для перетворення.

Щоб змінити 965 на належну форму, ми повинні зробити це 9.65, а потім відстежувати зміни, які ми внесли. (Подумайте про це число як щотижневу зарплату, і раптом це робить велику різницю, чи є у нас 965 доларів або 9,65 доларів.) Ми відстежуємо кількість розрядів ми перемістили десяткову крапку, виражаючи її як ступінь десяти. Так 965 стає 9,65 × 10 ² або 9,65 множиться на десять до другої потужності. Маленький піднятий 2 називається експонентою, і він говорить нам, скільки разів ми переміщали десяткову крапку вліво.

Зверніть увагу, що 10 ² також позначає 10 в квадраті, або 10 × 10, що дорівнює 100. І 9.65 × 100 це тільки 965, число, з якого ми почали. Інший спосіб поглянути на наукові позначення полягає в тому, що ми відокремлюємо брудні числа спереду, і залишаємо гладкі одиниці десять для показника для позначення. Таким чином, число, як 1,372,568, стає 1,372568 разів на мільйон (10 ⁶) або 1,372568 разів 10 помножене на себе 6 разів. Нам довелося перемістити десяткову крапку на шість знаків вліво (від її місця після 8), щоб отримати число у вигляді, де ліворуч від десяткової крапки є лише одна цифра.

Причина, по якій ми називаємо це позначення сили десяти, полягає в тому, що наша система підрахунку базується на збільшенні на десять; кожне місце в нашій системі нумерації в десять разів більше, ніж місце праворуч від нього. Як ви, напевно, дізналися, це почалося тому, що люди мають десять пальців, і ми почали рахувати з ними. (Цікаво припустити, що якщо ми коли-небудь зустрінемо розумні форми життя лише з вісьмома пальцями, їх система підрахунку, ймовірно, буде позначенням сили восьми!)

Отже, в прикладі, з якого ми почали, кількість метрів від Землі до Сонця становить 1,5 × 10 ¹¹. В іншому місці в книзі ми згадуємо, що рядок довжиною 1 світловий рік поміститься навколо екватора Землі 236 мільйонів або 236 000 000 разів. У науковому позначенні це стало б 2,36 × 10 ⁸. Тепер, якщо вам подобається висловлювати речі мільйонами, як це роблять щорічні звіти успішних компаній, ви можете написати це число як 236 × 10 ⁶. Однак звичайною умовою є наявність лише одного числа ліворуч від десяткової крапки.

Написання малих чисел

Тепер візьмемо число на кшталт 0.00347, якого теж немає в стандартній (узгодженій) формі для наукового позначення. Щоб помістити його в цей формат, ми повинні зробити першу його частину 3.47, перемістивши десяткову крапку на три розряди вправо. Зверніть увагу, що цей рух вправо є протилежним руху вліво, яке ми розглянули вище. Щоб відстежувати, ми називаємо цю зміну негативною і ставимо знак мінус в експоненті. Таким чином, 0,00347 стає 3,47 × 10 ⁻³.

У прикладі, який ми наводили на початку, маса атома водню тоді буде записана як 1,67 × 10 ⁻²⁷ кг. У цій системі одиницю записують як 10 ⁰, десяту - як 10 ⁻¹, соту як 10 ⁻² тощо. Відзначимо, що будь-яке число, незалежно від того, наскільки велике або наскільки маленьке, може бути виражено в науковому позначенні.

Множення і ділення

Наукова позначення не тільки компактна і зручна, вона ще й спрощує арифметику. Щоб помножити два числа, виражені у вигляді степеней десяти, вам потрібно лише помножити числа спереду, а потім скласти показники. Якщо немає чисел спереду, як в 100 × 100 000, то ви просто додаєте показники (в нашому позначенні 10 ² × 10 ⁵ = 10 ⁷). Коли є цифри спереду, ви повинні їх помножити, але з ними набагато легше мати справу, ніж числа з багатьма нулями в них.

Ось приклад:

$\left( 3 \times 10^5 \right) \times \left( 2 \times 10^9 \right) = 6 \times 10^{14} \nonumber$

А ось ще один приклад:

$\begin{aligned} 0.04 \times 6,000,000 & =\left( 4 \times 10^{−2} \right) \times \left( 6 \times 10^6 \right) \\ & = 24×10^4 \\ & = 2.4×10^5 \end{aligned} \nonumber$

Зауважте у другому прикладі, що коли ми додавали показники, ми розглядали негативні показники так само, як і в звичайній арифметиці (−2 плюс 6 дорівнює 4). Крім того, зверніть увагу, що наш перший результат мав 24 в ньому, який був не в прийнятному вигляді, маючи два місця зліва від десяткової крапки, і тому ми змінили його на 2.4 і відповідно змінили показник.

Щоб розділити, ви ділите числа спереду і відніміть показники. Ось кілька прикладів:

$\begin{array}{l} \frac{1,000,000}{1000} = \frac{10^6}{10^3} = 10^{(6-3)} = 10^3 \\ \frac{9 \times 10^{12}}{2 \times 10^3} = 4.5 \times 10^9 \\ \frac{2.8 \times 10^2}{6.2 \times 10^5} =4.52 \times 10^{−4} \end{array} \nonumber$

В останньому прикладі наш перший результат не був у стандартному вигляді, тому нам довелося змінити 0.452 на 4.52, і відповідно змінити показник.

Якщо ви вперше зустріли наукові позначення, ми закликаємо вас практикувати багато прикладів, використовуючи його. Ви можете почати з вирішення наведених нижче вправ. Як і будь-яка нова мова, позначення спочатку виглядає складним, але стає легше, коли ви практикуєте його.

Вправи

В кінці вересня 2015 року космічний корабель «Нові горизонти» (вперше зіткнувся з Плутоном в липні 2015 року) знаходився на відстані 4,898 млрд км від Землі. Перетворіть це число в наукові позначення. Скільки астрономічних одиниць це? (Астрономічна одиниця - відстань від Землі до Сонця, або близько 150 млн км.)
За перші шість років роботи космічний телескоп «Хаббл» об'їхав Землю 37 000 разів, загалом 1 280 000 000 км. Використовуйте наукові позначення, щоб знайти кількість км на одній орбіті.
У великій університетській кафетерії в якості альтернативи звичайним гамбургерам пропонується соєво-овочевий бургер. Якщо протягом навчального року було з'їдено 889 875 гамбургерів, а 997 з них були овочевими бургерами, яку частку і який відсоток бургерів це представляє?
У 2012 Kelton Research опитування, 36 відсотків дорослих американців вважали, що інопланетні істоти насправді приземлилися на Землі. Кількість дорослих людей в США в 2012 році становила близько 222 000 000. Використовуйте наукові позначення, щоб визначити, скільки дорослих вважають, що інопланетяни відвідали Землю.
У навчальному році 2009—2010 американські коледжі та університети присудили 2 354 678 градусів. Серед них 48 069 докторських ступенів. Яку частку ступенів становили кандидати наук? Висловіть це число у відсотках. (Тепер ідіть і знайдіть роботу для всіх цих кандидатів!)
Зірка за 60 світлових років виявила велику планету, що обертається навколо неї. Ваш дядько хоче знати відстань до цієї планети в старомодних милі. Припустімо, що світло подорожує 186 000 миль в секунду, і є 60 секунд в хвилину, 60 хвилин на годину, 24 години в день і 365 днів у році. Скільки кілометрів знаходиться ця зірка?

Відповіді

4,898 млрд - це 4,898 × 10 ⁹ км. Одна астрономічна одиниця (АС) - 150 млн км = 1,5 × 10 ⁸ км. Розділивши перше число на друге, отримаємо 3,27 × 10 ^{(9 — 8)} = 3,27 × 10 ¹ АС.
$\frac{1.28 \times 10^9 \text{ km}}{3.7 \times 10^4 \text{ orbits}} = 0.346 \times 10^{(9−4)} = 0.346 \times 10^5 = 3.46 \times 10^4 \text{ km per orbit}$ .
$\frac{9.97 \times 10^2 \text{ veggie burgers}}{8.90 \times 10^5 \text{ total burgers}} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{−3}$ (Або приблизно одна тисячна) гамбургерів були вегетаріанськими. Відсоток означає на сто. Отже $\frac{1.12 \times 10^{−3}}{10^{−2}} = 1.12 \times 10^{(−3−(−2))} = 1.12 \times 10^{−1} \text{ percent}$ (що становить приблизно одну десяту частину одного відсотка).
36% становить 36 сотих або 0,36 або 3,6 × 10 ⁻¹. Помножте це на 2,22 × 10 ⁸, і ви отримаєте приблизно 7,99 × 10 ^{(−1 + 8)} = 7,99 × 10 ⁷ або майже 80 мільйонів людей, які вважають, що інопланетяни висадилися на нашу планету. Нам потрібно більше курсів астрономії, щоб навчати всіх цих людей.
$\frac{4.81 \times 10^4}{2.35 \times 10^6} = 2.05 \times 10^{(4−6)} = 2.05 \times 10^{−2} = \text{ about} 2 \%$ . (Зверніть увагу, що в цих прикладах ми округляємо деякі числа так, що ми не маємо більше 2 знаків після коми.)
Один світловий рік - це відстань, яку проїжджає світло за один рік. (Зазвичай ми використовуємо метричні одиниці, а не стару британську систему, яку США все ще використовують, але ми будемо гуморити вашого дядька і дотримуватися миль.) Якщо світло проїжджає 186 000 миль щосекунди, то воно проїде 60 разів більше, ніж за хвилину, і 60 разів більше, ніж за годину, і 24 рази більше за день, і 365 разів більше, ніж за рік. Таким чином, ми маємо 1,86 × 10 ⁵ × 6,0 × 10 ¹ × 6,0 × 10 ¹ × 2,4 × 10 ¹ × 3,65 × 10 ². Таким чином, ми множимо всі числа спереду разом і скласти всі показники. Ми отримуємо 586,57 × ^{10 10} = 5,86 × 10 ¹² миль за світловий рік (що становить приблизно 6 трильйонів миль - чорт багато миль). Отже, якщо зірка знаходиться на відстані 60 світлових років, її відстань у милі становить 6 × 10 ¹ × 5,86 × 10 ¹² = 35,16 × 10 ¹³ = 3,516 × 10 ¹⁴ миль.