7: Методи наближення
Рівняння Шредінгера для реалістичних систем швидко стає громіздким, а аналітичні рішення доступні лише для дуже простих систем - тих, які ми описали як фундаментальні системи в цьому модулі. Чисельні підходи можуть впоратися з більш складними завданнями, але все одно (і залишаться ненадовго) обмежені наявною потужністю комп'ютера. Наближення необхідні, щоб впоратися з реальними системами. У межах, ми можемо використовувати підхід pick and mix, тобто використовувати лінійні комбінації рішень фундаментальних систем, щоб створити щось схоже на реальну систему. Існує два математичні методи, збурень і теорія варіацій, які можуть забезпечити хороше наближення разом з оцінкою його точності. Ці дві методи наближення описані в цьому розділі.
- 7.1: Наближення варіаційного методу
- У цьому розділі ми представимо потужний і універсальний варіаційний метод і використовуємо його для вдосконалення наближених розв'язків, які ми знайшли для атома гелію за допомогою незалежного електронного наближення.
- 7.2: Лінійний варіаційний метод та світський детермінант
- Особливим типом варіації, широко використовуваної при вивченні молекул, є так звана лінійна варіативна функція, лінійна комбінація N лінійно незалежних функцій (часто атомних орбіталів). Досить часто пробна хвильова функція розширюється як лінійна комбінація інших функцій (не власних значень гамільтоніана, так як вони невідомі).
- 7.3: Пробні функції можуть бути лінійними комбінаціями функцій, які також містять варіаційні параметри
- Альтернативним підходом до загальної задачі введення варіаційних параметрів у хвильові функції є побудова хвильової функції як лінійної комбінації інших функцій, кожна з яких має один або декілька параметрів, які можуть бути змінені.
- 7.4: Теорія збурень виражає розв'язки з точки зору розв'язаних задач
- Теорія збурень є єдиним найважливішим методом вирішення задач квантової механіки і широко використовується в атомній фізиці, конденсованому середовищі та фізиці частинок. Теорія збурень - це ще один підхід до пошуку наближених розв'язків задачі, починаючи з точного рішення пов'язаної, простішої задачі. Критичною особливістю методики є середній крок, який розбиває задачу на «розв'язну» і «збурену» частини.
- 7.E: Методи наближення (вправи)
- Це домашні вправи для супроводу глави 7.