5.8: Адіабатична стисливість
- Page ID
- 21102
У розділі 4 ми дізналися про ізотермічної стисливості\(\kappa_T\), яка визначається як
\[ \kappa_T = - \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p} \right)_T\]
\(\kappa_T\)є дуже корисною величиною, оскільки його можна виміряти для багатьох різних речовин і скласти в таблицю. Також, як ми побачимо в наступному розділі, його можна використовувати для оцінки декількох різних часткових похідних за участю термодинамічних змінних.
У своїй насіннєвій праці Філософія Naturalis Principia Mathematica (Ньютон, 1723) Ісаак Ньютон (1643 - 1727) (Doc) обчислював швидкість звуку по повітрю, припускаючи, що звук переноситься ізотермічними хвилями стиснення. Його розрахункове значення 949 м/с було приблизно на 15% менше експериментальних визначень. Він врахував різницю, вказавши на «неідеальні ефекти». Але виявляється, що його помилка, нехай і зрозуміла (так як звукові хвилі, як видається, не змінюють об'ємні температури повітря) полягала в тому, що хвилі стиснення адіабатичні, а не ізотермічні. Таким чином, існують невеликі коливання температури, які виникають внаслідок адіабатичного стиснення з подальшим розширенням газу, що несе звукові хвилі. Нагляд був правильним П'єр-Симон Лаплас (1749 — 1827) (О'Коннор і Робертсон, П'єр-Симон Лаплас, 1999).
LaPlace змоделював хвилі стиснення за допомогою адіабатичної стисливості,\(\kappa_S\) визначеної
\[ \kappa_S =- \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p} \right)_S\]
Так як ентропія визначається
\[ dS = \dfrac{dq_{rev}}{T}\]
з цього випливає, що будь-який адіабатичний шлях (\(dq = 0\)) також є ізентропним (\(dS = 0\)), або протікає при постійній ентропії.
Адіабатичні шляхи також єентропними.
Кілька цікавих висновків можна зробити, слідуючи виразу для швидкості звуку, де звукові хвилі моделюються як адіабатичні хвилі стиснення. Ми можемо почати з розширення опису за\(\kappa_S\) допомогою перетворення часткової похідної типу II. Застосовуючи це, адіабатична стисливість може бути виражена
\[ \kappa_S =\dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial S} \right)_p \left(\dfrac{\partial S}{\partial p} \right)_V\]
або за допомогою перетворення типу I
\[ \kappa_S =\dfrac{1}{V} \dfrac{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial p }\right)_V}{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial V} \right)_p}\]
Використовуючи просте правило ланцюга, часткові похідні можна розширити, щоб отримати щось трохи простіше оцінити:
\[ \kappa_S =\dfrac{1}{V} \dfrac{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial T }\right)_V \left(\dfrac{\partial T}{\partial p }\right)_V }{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial T} \right)_p \left(\dfrac{\partial T}{\partial V }\right)_p} \label{eq10}\]
Утиліта тут полягає в тому, що
\[\left(\dfrac{\partial S}{\partial T }\right)_V = \dfrac{C_V}{T} \label{Note1}\]
\[\left(\dfrac{\partial S}{\partial T }\right)_p = \dfrac{C_p}{T} \label{Note2}\]
Це означає, що Equation\ ref {eq10} спрощує
\[ \kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \left( \dfrac{1}{V} \dfrac{ \left(\dfrac{\partial T}{\partial p }\right)_V }{ \left(\dfrac{\partial T}{\partial V }\right)_p} \right)\]
Спрощення того, що знаходиться в дужках, дає
\[ \kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \left( \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial T}{\partial p }\right)_V \left(\dfrac{\partial V}{\partial T }\right)_p \right)\]
\[ \kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \left( - \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_T \right)\]
\[ \kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \kappa_T\]
Як буде показано в наступному розділі,\(C_p\) завжди більше, ніж\(C_V\),\(\kappa_S\) тому завжди менше, ніж\(\kappa_T\).
Але є ще! Ми можемо використовувати цю методологію, щоб переглянути, як тиск впливає на об'єм уздовж адіабату. Для того щоб це зробити, ми хотіли б оцінити часткову похідну
\[ \left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S \]
Це можна розширити так само, як і вище
\[ \left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S = - \dfrac{ \left(\dfrac{\partial V}{\partial S}\right)_p }{ \left(\dfrac{\partial p}{\partial S }\right)_V } \]
І далі розширюємо
\[ \left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S = - \dfrac{ \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p \left(\dfrac{\partial T}{\partial S}\right)_p}{ \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\dfrac{\partial T}{\partial S}\right)_V} \label{eq20}\]
І як і раніше, зазначивши, що відносини в рівняннях\ ref {Note1} і\ ref {Note2}, Equation\ ref {eq20} можна спростити до
\[ \left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S= - \dfrac{C_V}{C_p} \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p \left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_V \]
\[ = \dfrac{C_V}{C_p} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T \label{eq22}\]
Або визначаючи\(\gamma = C_p/C_V\), Equation\ ref {eq22} можна легко переставити на
\[ \gamma \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_S = \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T \]
Праву похідну легко оцінити, якщо припустити конкретне рівняння стану. Для ідеального газу,
\[ \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T = - \dfrac{nRT}{p^2} = - \dfrac{V}{p}\]
Заміна врожайності
\[ \gamma \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_S = - \dfrac{V}{p}\]
який зараз виглядає як форма, яка може бути інтегрована. Поділ змінних дає
\[ \gamma \dfrac{dV}{V} = \dfrac{dP}{p}\]
І інтеграція (якщо припустити, що g не залежить від обсягу) дає
\[ \gamma \int_{V_1}^{V_2} \dfrac{dV}{V} = \int_{p_1}^{p_2} \dfrac{dP}{p}\]
або
\[ \gamma \ln \left( \dfrac{V_2}{V_1} \right) =\ln \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right) \]
який легко маніпулювати, щоб показати, що
\[p_1V_1^{\gamma} = p_2V_2^{\gamma}\]
або
\[pV^{\gamma} = \text{constant}\]
це те, що ми раніше визначили для поведінки ідеального газу вздовж адіабату.
Наостанок слід зазначити, що правильне вираз для швидкості звуку дається
\[v_{sound} = \sqrt{\dfrac{1}{\rho \, \kappa_S}}\]
де\(\rho\) - щільність середовища. Для ідеального газу цей вислів стає
\[v_{sound} = \sqrt{\dfrac{\gamma RT}{M}}\]
де\(M\) - молярна маса газу. Виведення Ісаака Ньютона, засноване на ідеї про те, що звукові хвилі беруть участь ізотермічні стиснення, дасть результат, в якому відсутній фактор\(\gamma\), враховуючи систематичне відхилення від експерименту, який він спостерігав.
Дописувачі