5.8: Адіабатична стисливість

У розділі 4 ми дізналися про ізотермічної стисливості$\kappa_T$, яка визначається як

$$\kappa_T = - \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p} \right)_T$$

$\kappa_T$є дуже корисною величиною, оскільки його можна виміряти для багатьох різних речовин і скласти в таблицю. Також, як ми побачимо в наступному розділі, його можна використовувати для оцінки декількох різних часткових похідних за участю термодинамічних змінних.

У своїй насіннєвій праці Філософія Naturalis Principia Mathematica (Ньютон, 1723) Ісаак Ньютон (1643 - 1727) (Doc) обчислював швидкість звуку по повітрю, припускаючи, що звук переноситься ізотермічними хвилями стиснення. Його розрахункове значення 949 м/с було приблизно на 15% менше експериментальних визначень. Він врахував різницю, вказавши на «неідеальні ефекти». Але виявляється, що його помилка, нехай і зрозуміла (так як звукові хвилі, як видається, не змінюють об'ємні температури повітря) полягала в тому, що хвилі стиснення адіабатичні, а не ізотермічні. Таким чином, існують невеликі коливання температури, які виникають внаслідок адіабатичного стиснення з подальшим розширенням газу, що несе звукові хвилі. Нагляд був правильним П'єр-Симон Лаплас (1749 — 1827) (О'Коннор і Робертсон, П'єр-Симон Лаплас, 1999).

LaPlace змоделював хвилі стиснення за допомогою адіабатичної стисливості,$\kappa_S$ визначеної

$$\kappa_S =- \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p} \right)_S$$

Так як ентропія визначається

$$dS = \dfrac{dq_{rev}}{T}$$

з цього випливає, що будь-який адіабатичний шлях ($dq = 0$) також є ізентропним ($dS = 0$), або протікає при постійній ентропії.

Адіабатичні шляхи також єентропними.

Кілька цікавих висновків можна зробити, слідуючи виразу для швидкості звуку, де звукові хвилі моделюються як адіабатичні хвилі стиснення. Ми можемо почати з розширення опису за$\kappa_S$ допомогою перетворення часткової похідної типу II. Застосовуючи це, адіабатична стисливість може бути виражена

$$\kappa_S =\dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial S} \right)_p \left(\dfrac{\partial S}{\partial p} \right)_V$$

або за допомогою перетворення типу I

$$\kappa_S =\dfrac{1}{V} \dfrac{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial p }\right)_V}{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial V} \right)_p}$$

Використовуючи просте правило ланцюга, часткові похідні можна розширити, щоб отримати щось трохи простіше оцінити:

$$\kappa_S =\dfrac{1}{V} \dfrac{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial T }\right)_V \left(\dfrac{\partial T}{\partial p }\right)_V }{ \left(\dfrac{\partial S}{\partial T} \right)_p \left(\dfrac{\partial T}{\partial V }\right)_p} \label{eq10}$$

Утиліта тут полягає в тому, що

$$\left(\dfrac{\partial S}{\partial T }\right)_V = \dfrac{C_V}{T} \label{Note1}$$

$$\left(\dfrac{\partial S}{\partial T }\right)_p = \dfrac{C_p}{T} \label{Note2}$$

Це означає, що Equation\ ref {eq10} спрощує

$$\kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \left( \dfrac{1}{V} \dfrac{ \left(\dfrac{\partial T}{\partial p }\right)_V }{ \left(\dfrac{\partial T}{\partial V }\right)_p} \right)$$

Спрощення того, що знаходиться в дужках, дає

$$\kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \left( \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial T}{\partial p }\right)_V \left(\dfrac{\partial V}{\partial T }\right)_p \right)$$

$$\kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \left( - \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_T \right)$$

$$\kappa_S = \dfrac{C_V}{C_p} \kappa_T$$

Як буде показано в наступному розділі,$C_p$ завжди більше, ніж$C_V$,$\kappa_S$ тому завжди менше, ніж$\kappa_T$.

Але є ще! Ми можемо використовувати цю методологію, щоб переглянути, як тиск впливає на об'єм уздовж адіабату. Для того щоб це зробити, ми хотіли б оцінити часткову похідну

$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S$$

Це можна розширити так само, як і вище

$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S = - \dfrac{ \left(\dfrac{\partial V}{\partial S}\right)_p }{ \left(\dfrac{\partial p}{\partial S }\right)_V }$$

І далі розширюємо

$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S = - \dfrac{ \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p \left(\dfrac{\partial T}{\partial S}\right)_p}{ \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V \left(\dfrac{\partial T}{\partial S}\right)_V} \label{eq20}$$

І як і раніше, зазначивши, що відносини в рівняннях\ ref {Note1} і\ ref {Note2}, Equation\ ref {eq20} можна спростити до

$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial p }\right)_S= - \dfrac{C_V}{C_p} \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p \left(\dfrac{\partial T}{\partial p}\right)_V$$

$$= \dfrac{C_V}{C_p} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T \label{eq22}$$

Або визначаючи$\gamma = C_p/C_V$, Equation\ ref {eq22} можна легко переставити на

$$\gamma \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_S = \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T$$

Праву похідну легко оцінити, якщо припустити конкретне рівняння стану. Для ідеального газу,

$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T = - \dfrac{nRT}{p^2} = - \dfrac{V}{p}$$

Заміна врожайності

$$\gamma \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_S = - \dfrac{V}{p}$$

який зараз виглядає як форма, яка може бути інтегрована. Поділ змінних дає

$$\gamma \dfrac{dV}{V} = \dfrac{dP}{p}$$

І інтеграція (якщо припустити, що g не залежить від обсягу) дає

$$\gamma \int_{V_1}^{V_2} \dfrac{dV}{V} = \int_{p_1}^{p_2} \dfrac{dP}{p}$$

або

$$\gamma \ln \left( \dfrac{V_2}{V_1} \right) =\ln \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right)$$

який легко маніпулювати, щоб показати, що

$$p_1V_1^{\gamma} = p_2V_2^{\gamma}$$

або

$$pV^{\gamma} = \text{constant}$$

це те, що ми раніше визначили для поведінки ідеального газу вздовж адіабату.

Наостанок слід зазначити, що правильне вираз для швидкості звуку дається

$$v_{sound} = \sqrt{\dfrac{1}{\rho \, \kappa_S}}$$

де$\rho$ - щільність середовища. Для ідеального газу цей вислів стає

$$v_{sound} = \sqrt{\dfrac{\gamma RT}{M}}$$

де$M$ - молярна маса газу. Виведення Ісаака Ньютона, засноване на ідеї про те, що звукові хвилі беруть участь ізотермічні стиснення, дасть результат, в якому відсутній фактор$\gamma$, враховуючи систематичне відхилення від експерименту, який він спостерігав.

Дописувачі

• Template:ContribFleming