Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.14.27: Теорема Ейлера

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    28498

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ця теорема випливає з теорій, пов'язаних з диференціальними рівняннями. Теорема знаходить багато застосувань в термодинаміці. Зокрема, важлива теорема, що стосується однорідних функцій першого ступеня. Цю теорему можна констатувати наступним чином [1].

    \[\mathrm{f}(\mathrm{k} \, \mathrm{x}, \mathrm{k} \, \mathrm{y}, \mathrm{k} \, \mathrm{z})=\mathrm{k} \, \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \label{a}\]

    В якості ілюстрації розглянемо обсяг рідкої суміші,\(\mathrm{V}\) приготовану з використанням\(\mathrm{n}_{1}\) і\(\mathrm{n}_{2}\) молі рідини 1 і 2. Якби ми використовували\(2 . \mathrm{n}_{1}\) і\(2 . \mathrm{n}_{2}\) родимки рідин 1 і 2, то остаточний обсяг був би\(2 . \mathrm{V}\). Важлива теорема дозволяє встановити наступні описи.

    Для системи, що містить\(\mathrm{i}\) -хімічні речовини, слід, що

    \[\mathrm{V}=\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{j}=\mathrm{i}} \mathrm{n}_{\mathrm{j}} \, \mathrm{V}_{\mathrm{j}}\label{b}\]

    де частковий молярний об'єм

    \[\mathrm{V}_{\mathrm{j}}=\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{n}_{\mathrm{j}}}\right)_{\mathrm{T}, \mathrm{p}, \mathrm{n}(\mathrm{i} \neq \mathrm{j})} \label{c}\]

    Слід зазначити, що деякі термодинамічні монографії при цитуванні Equation\ ref {b} містять словосполучення «при постійній температурі і тиску». Інші монографії не включають цю фразу на тій підставі, що ізобарно - ізотермічний стан включено до визначення часткової похідної в Equation\ ref {c}. На практиці нічого не втрачається, включивши цю фразу просто для вказівки на те, що аналіз стосується властивостей систем в області\(\mathrm{T} – \mathrm{p}\) - композиції.

    Подібний аналіз в контексті енергій Гіббса призводить до наступних двох рівнянь і визначення хімічних потенціалів.

    \[G=\sum_{j=1}^{j=i} n_{j} \, \mu_{j} \label{d}\]

    де хімічний потенціал

    \[\mu_{j}=\left(\frac{\partial G}{\partial n_{j}}\right)_{T, p, n(i \neq j)} \label{e}\]

    Виноски

    [1] Тикоді Р.Дж., Хім Дж. Едук., 1982, 59 557.