1.17.2: Ізентропний коефіцієнт теплового тиску

Обсяг заданої замкнутої системи визначається наступним набором незалежних змінних, де\(\xi\) є загальною змінною складу.

\[\mathrm{V}=\mathrm{V}\left[\mathrm{T}, \mathrm{p}, \xi^{\mathrm{eq}} ; \mathrm{A}=0\right]\]

Ми досить перевизначили систему. Метою є виявлення змінної складу при рівновазі і умови, що спорідненість до спонтанної зміни дорівнює нулю. Залежна змінна ентропія для цієї системи визначається аналогічно; рівняння (b).

\[\mathrm{S}=\mathrm{S}\left[\mathrm{T}, \mathrm{p}, \xi^{\mathrm{eq}} ; \mathrm{A}=0\right]\]

Система збуджена зміною температури по шляху, для якого спорідненість до спонтанної зміни дорівнює нулю. Причому ентропія системи залишається такою ж, як та, що наведена в рівнянні (b). Для того щоб утримувати останню умову, рівноважний тиск має змінюватися. У стані, визначеному незалежними змінними\(\left[\mathrm{T}, \mathrm{p}, \xi^{e q} ; \mathrm{A}=0\right]\), (\(\mathrm{p}\)рівноважна) іентропна диференціальна залежність тиску від температури - ізентропний коефіцієнт теплового тиску\(\beta_{\mathrm{S}}\); рівняння. (c).

\[\beta_{\mathrm{s}}=(\partial \mathrm{p} / \partial \mathrm{T})_{\mathrm{s}}\]

Далі [1]

\[\beta_{\mathrm{S}}=(\partial \mathrm{S} / \partial \mathrm{V})_{\mathrm{T}}\]

Також [2],

\[\beta_{\mathrm{s}}=\sigma /\left(\mathrm{T} \, \alpha_{\mathrm{p}}\right)\]

\(\sigma\)Ось ізобарна теплоємність на одиницю об'єму (теплоємність) системи,\(\mathrm{C}_{\mathrm{p}} / \mathrm{~V}\). Три\(\alpha_{\mathrm{S}}\) ізентропні властивості\(\kappa_{\mathrm{S}}\) і\(\beta_{\mathrm{S}}\) пов'язані за допомогою рівняння (f); [3].

\[\beta_{\mathrm{s}}=-\alpha_{\mathrm{s}} / \kappa_{\mathrm{s}}\]

Що стосується (рівноважної) теплової експансивності\(\alpha_{\mathrm{S}}\), ми передбачаємо, що температура змінюється, щоб створити зміну об'єму вздовж шляху, для якого ентропія залишається такою ж, як у рівнянні (b), а спорідненість до спонтанної зміни залишається на нулі.

\[\alpha_{\mathrm{s}}(\mathrm{A}=0)=\frac{1}{\mathrm{~V}} \,\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{s} ; \mathrm{A}=0}\]

Аналогічним чином,\(\kappa_{\mathrm{S}}\) це міра зміни обсягу, виробленого зміною тиску.

\[\kappa_{\mathrm{S}}(\mathrm{A}=0)=-\frac{1}{\mathrm{~V}} \,\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{S} ; \mathrm{A}=0}\]

Виноски

[1] Від

\[\left[\frac{\partial}{\partial \mathrm{p}}\left(\frac{\partial \mathrm{H}}{\partial \mathrm{S}}\right)_{\mathrm{p}}\right]_{\mathrm{s}}=\left[\frac{\partial}{\partial \mathrm{S}}\left(\frac{\partial \mathrm{H}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{s}}\right]_{\mathrm{p}}\]

Але при рівновазі де\(\mathrm{A}=0\),\(T=\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P}\) і\(\mathrm{V}=\left(\frac{\partial \mathrm{H}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{s}}\)

Тоді

\[\left(\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{p}}\right)_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{S}}\right)_{\mathrm{p}}\]

.

З\(\beta_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\partial \mathrm{p}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{s}}\), Використовуючи вищезазначене відношення Максвелла,

\[\beta_{\mathrm{S}}=\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial \mathrm{V}}\right)_{\mathrm{T}}\]

[2] З визначення,

\[\beta_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\partial \mathrm{p}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{s}}\]

Використання операції обчислення

\[\beta_{\mathrm{s}}=-\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{p}} \,\left(\frac{\partial \mathrm{p}}{\partial \mathrm{S}}\right)_{\mathrm{T}}\]

З рівняння Гіббса - Гельмгольца

\[\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p}=\frac{C_{p}}{T}\]

З рівняння Максвелла,\(\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{p}}=-\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{p}}\). Тоді

\[\beta_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{T}} \, \frac{1}{\mathrm{E}_{\mathrm{p}}}\]

Але

\[E_{p}=V \, \alpha_{p}\]

Потім,

\[\beta_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{V}} \, \frac{1}{\mathrm{~T} \, \alpha_{\mathrm{p}}}\]

Або,

\[\beta_{\mathrm{s}}=\sigma / \mathrm{T} \, \alpha_{\mathrm{p}}\]

[3] З визначення\(\beta_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{\mathrm{s}}\), потім,\(\beta_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\partial \mathrm{p}}{\partial \mathrm{V}}\right)_{\mathrm{s}} \,\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial \mathrm{T}}\right)_{\mathrm{s}}\) Потім,

\[\beta_{\mathrm{S}}=-\mathrm{E}_{\mathrm{S}} / \mathrm{K}_{\mathrm{s}}=-\left(\mathrm{E}_{\mathrm{S}} / \mathrm{V}\right) /\left(\mathrm{K}_{\mathrm{s}} / \mathrm{V}\right)=-\alpha_{\mathrm{S}} / \kappa_{\mathrm{S}}\]

Також з [2] і [3],

\[\mathrm{E}_{\mathrm{s}} / \mathrm{K}_{\mathrm{s}}=-\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{V}} \, \frac{1}{\mathrm{~T} \, \alpha_{\mathrm{p}}}\]

Тоді

\[\alpha_{\mathrm{s}} / \kappa_{\mathrm{s}}=-\sigma / \mathrm{T} \, \alpha_{\mathrm{p}}\]