Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3: Розмірний аналіз

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    26287

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:DeVoeMathJax

    Іноді можна вловити помилку у вигляді рівняння або виразу, або в розмірах величини, використовуваної для розрахунку, шляхом перевірки на відповідність розмірів. Ось деякі правила, які повинні бути виконані:

    • У цій електронній книзі диференціал функції, наприклад\(\df\), відноситься до нескінченно малої кількості. Якщо одна сторона рівняння є нескінченно малою величиною, інша сторона також повинна бути. Таким чином, рівняння\(\df = a\dx + b\dif y\) (де\(ax\) і\(by\) мають ті ж розміри, що і\(f\)) має математичний сенс, але\(\df = ax+b\dif y\) не має.

      Похідні, часткові похідні та інтеграли мають розміри, які ми повинні враховувати при визначенні габаритних розмірів виразу, що включає їх. Наприклад:

      • Деякі приклади застосування цих принципів наведені тут з використанням символів, описаних в п. 1.2.

        Приклад 1. Оскільки газова константа\(R\) може бути виражена в одиницях J K\(^{-1}\) моль\(^{-1}\), вона має розміри енергії, розділені на термодинамічну температуру і кількість. Таким чином,\(RT\) має розміри енергії, розділені на кількість, і\(nRT\) має розміри енергії. Продукти\(RT\) і часто\(nRT\) з'являються в термодинамічних виразах.

        Приклад 3. Знайдіть розміри констант\(a\) і\(b\) в рівнянні ван дер Ваальса\[ p = \frac {nRT}{V-nb} - \frac {n^{2}a} {V^2} \] Розмірний аналіз говорить нам, що, оскільки\(nb\) віднімається від\(V\),\(nb\) має розміри об'єму і, отже,\(b\) має розміри об'єму/суми. Крім того, оскільки права частина рівняння є різницею двох членів, ці терміни мають ті ж розміри, що і ліва сторона, яка є тиском. Тому другий термін\(n^{2}a/V^{2}\) має розміри тиску і\(a\) має розміри\(\times\)\(^{2}\)\(\times\) обсягу тиску\(^{-2}\).

        Приклад 4. Розглянемо рівняння виду\[ \Pd{\ln x}{T}{\!p} = \frac {y}{R} \] Що таке одиниці СІ\(y\)? \(\ln x\)безрозмірна, тому ліва частина рівняння має розміри\(1/T\), а його одиниці СІ - K\(^{-1}\). Таким чином, одиниці СІ правої сторони також K\(^{-1}\). Оскільки\(R\) має одиниці J K\(^{-1}\) моль\(^{-1}\), одиниці СІ\(y\) є J K\(^{-2}\) моль\(^{-1}\).