1.2: Обчислення кількості

Template:DeVoeMathJax

У цьому розділі наведено приклади того, як ми можемо маніпулювати фізичними величинами за правилами алгебри. Метод називається кількісним обчисленням, хоча кращим терміном може бути «кількісна алгебра».

Кількісне обчислення базується на концепції, що фізична величина, якщо вона не безрозмірна, має значення, рівне добутку числового значення (чистого числа) і однієї або декількох одиниць:\ begin {рівняння}\ tx {фізична кількість = числові\(\times\) одиниці значення}\ tag {1.2.1}\ end { рівняння} (Якщо величина безрозмірна, вона дорівнює чистому числу без одиниць.) Фізичне властивість може позначатися символом, але символ не має на увазі особливого вибору одиниць. Наприклад, ця\(\rho\) електронна книга використовує символ щільності, але\(\rho\) може бути виражений у будь-яких одиницях, що мають розміри маси, розділені на обсяг.

Простий приклад ілюструє використання кількісного числення. Ми можемо висловити щільність води на\(25\units{\(\degC\)}\) до чотирьох значущих цифр в базових одиницях СІ рівнянням\ begin {рівняння}\ rho = 9.970\ timesten {2}\ одиниць {кг м\(^{-3}\)}\ tag {1.2.2}\ end {рівняння} і в різних одиницях щільності рівнянням\ begin {рівняння}\ rho = 0.9970\ одиниці {g cm\(^{-3}\)}\ tag {1.2.3}\ end {рівняння} Ми можемо розділити обидві сторони останнього рівняння на\(1\units{g cm\(^{-3}\)}\), щоб отримати нове рівняння\ begin {рівняння}\ rho/\ tx {g cm\(^{-3}\)} =0.9970\ tag {1.2.4}\ end {рівняння} Тепер чисте число,\(0.9970\) що з'являється в цьому рівнянні, є кількістю грам в одному кубічному сантиметрі води, тому ми може називати співвідношення\(\rho/\) g см\(^{-3}\) «кількість грам на кубічний сантиметр». З цих же міркувань,\(\rho/\) кг м\(^{-3}\) - це кількість кілограмів на кубічний метр. Загалом, фізична величина, розділена на певні одиниці для фізичної величини, є чистим числом, що представляє кількість цих одиниць.

Так само, як було б некоректно називати\(\rho\) «кількість грамів на кубічний сантиметр», тому що це стосувалося б конкретного вибору одиниць для\(\rho\), поширена практика називати\(n\) «кількість родимок» також строго кажучи не правильно. Це власне співвідношення\(n/\tx{mol}\), яке і є кількістю родимок.

У таблиці співвідношення\(\rho/\) g см\(^{-3}\) робить зручний заголовок для стовпця значень щільності, оскільки стовпчик може відображати чисті числа. Так само зручно використовувати\(\rho/\) g cm\(^{-3}\) як мітку осі графіка та показувати чисті числа на позначках сітки осі. Ви побачите багато прикладів цього використання в таблицях та малюнках цієї електронної книги.

Основна перевага використання базових одиниць СІ та похідних одиниць СІ полягає в тому, що вони є когерентними. Тобто значення фізичної величини, виражені в різних комбінаціях цих одиниць, мають однакове числове значення.

Наприклад, припустимо, ми хочемо оцінити тиск газу відповідно до рівняння ідеального газу\ begin {gather}\ s {p=\ frac {nRt} {V}}\ tag {1.2.5}\ cond {(ідеальний газ)}\ end {gather} Це перше рівняння, яке, як і багато інших, щоб слідувати, відразу показує умови дійсності в дужках нижче числа рівняння праворуч. Таким чином, Eq. 1.2.5 справедливий для ідеального газу. У цьому рівнянні\(p\)\(n\),\(T\),,, і\(V\) є символами для фізичних величин тиску, кількості (кількості речовини), термодинамічної температури і обсягу, відповідно і\(R\) є газовою константою.

Розрахунок\(p\) для\(5.000\) молів ідеального газу при температурі\(298.15\) кельвінів, в обсязі\(4.000\) кубічних метрів, становить\ begin {рівняння} p =\ frac {(5.000\ моль) (\ R) (298.15\ K)} {4.000\ одиниць {m\(^{3}\)}} = 3.099\ timesten {3}\ одиниці {J m\(^{-3}\)}\ tag {1.2.6}\ end {рівняння} і одиниці Кельвіна скасовують, і ми залишаємося з одиницями J m\(^{-3}\), комбінацією похідної одиниці СІ (джоуль) та базової одиниці СІ (метр). Агрегати J m\(^{-3}\) повинні мати розміри тиску, але зазвичай не використовуються для вираження тиску.

Для перетворення J m\(^{-3}\) в похідну одиницю тиску СІ, паскаль (Па), можна використовувати наступні співвідношення з таблиці 1.2:\ begin {рівняння} 1\ одиниці {J} = 1\ units {N m}\ qquad 1\ Pa =1\ units {N m\(^{-2}\)}\ tag {1.2.7}\ end {рівняння} Коли ми ділимо обидві сторони першого співвідношення на\(1\units{J}\) і ділимо обидві сторони другого відношення по\(1\units{N m\(^{-2}\)}\), отримаємо два нових відносини\ begin {рівняння} 1= (1\ одиниці {N m}/\ tx {J})\ qquad (1\ units {Pa}/\ tx {N m\(^{-2}\)}) =1\ tag {1.2.8}\ end {рівняння} Співвідношення в дужках є коефіцієнтами перетворення. Коли фізична величина множиться на коефіцієнт перетворення, який, як і ці, дорівнює чистому числу\(1\), фізична величина змінює свої одиниці, але не його значення. Коли ми помножимо Eq. 1.2.6 на обидва ці коефіцієнти перетворення, всі одиниці скасовуються, крім Pa:\ begin {рівняння}\ begin {split} p & = (3.099\ timesten {3\(^{-3}\)}\ одиниці {J})\ times (1\ Pa/\ tx {N m})\\ times (1\ Pa/\ tx {N m\(^{-2}\)})\ & = 3.099\ timesten {3}\ Pa\ end {спліт}\ tag {1.2.9}\ end {рівняння}

Цей приклад ілюструє той факт, що для обчислення фізичної величини ми можемо просто ввести в калькулятор числові значення, виражені в одиницях СІ, а результатом є числове значення обчислюваної величини, виражене в одиницях СІ. Іншими словами, поки ми використовуємо лише базові одиниці СІ та похідні одиниці СІ (без префіксів), всі коефіцієнти перетворення є одиницею.

Звичайно, ми не повинні обмежувати розрахунок одиницями СІ. Припустимо, ми хочемо висловити розрахунковий тиск в торрах, не-SI одиниці. У цьому випадку, використовуючи коефіцієнт перетворення, отриманий з визначення торра в таблиці 1.3, розрахунок стає\ begin {рівняння}\ begin {split} p & = (3.099\ timesten {3}\ Па)\ раз (760\ одиниць {Торр} /101,325\ Па)\ & = 23.24\ одиниці {Торр}\ end {split}\ tag {1.2.10}\ end {рівняння}