3.5: Представництва Шредінгера та Гейзенберга

Представлена математична формулювання квантової динаміки не є унікальною. Поки що ми описали динаміку шляхом поширення хвильової функції, яка кодує щільності ймовірностей. Зрештою, оскільки ми не можемо виміряти хвильову функцію, нас цікавлять спостережувані, які є амплітудами ймовірностей, пов'язаними з ермітовими операторами, із залежністю часу, яку можна інтерпретувати по-різному. Розглянемо очікувану величину:

\[\begin{align} \langle \hat {A} (t) \rangle & = \langle \psi (t) | \hat {A} | \psi (t) \rangle = \left\langle \psi ( 0 ) \left| U^{\dagger} \hat {A} U \right| \psi ( 0 ) \right\rangle \\[4pt] & = ( \langle \psi ( 0 ) | U^{\dagger} ) \hat {A} ( U | \psi ( 0 ) \rangle ) \label{S rep} \\[4pt] & = \left\langle \psi ( 0 ) \left| \left( U^{\dagger} \hat {A} U \right) \right| \psi ( 0 ) \right\rangle \label{2.76} \end{align} \]

Останні два вирази написані, щоб підкреслити чергові «картинки» динаміки. Рівняння\ ref {S rep} відомий як картина Шредінгера, відноситься до всього, що ми зробили до цього часу. Тут ми поширюємо хвильову функцію або власні вектори в часі як\(U | \psi \rangle\). Оператори незмінні, оскільки вони не несуть залежності від часу. Крім того, ми можемо працювати на зображенні Гейзенберга (Equation\ ref {2.76}), яка використовує унітарну властивість\(U\) часу поширювати оператори, оскільки\(\hat {A} (t) = U^{\dagger} \hat {A} U,\) хвильова функція тепер стаціонарна. Картина Гейзенберга має привабливу фізичну картину за нею, оскільки частинки рухаються. Тобто існує залежність від часу від позиції та імпульсу.

Зображення Шредінгера

У картині Шредінгера час розвитку\(| \psi \rangle\) регулюється TDSE

\[i \hbar \frac {\partial} {\partial t} | \psi \rangle = H | \psi \rangle \label{2.77A}\]

або еквівалентно, час пропагатор:

\[| \psi (t) \rangle = U \left( t , t _ {0} \right) | \psi \left( t _ {0} \right) \rangle \label{2.77B}\]

На зображенні Шредінгера оператори, як правило, не залежать від часу\(\partial A / \partial t = 0\). А як щодо спостережуваних? Для очікуваних значень операторів

\[\langle A (t) \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle\]

\[\begin{align} i \hbar \frac {\partial} {\partial t} \langle \hat {A} (t) \rangle & = i \hbar \left[ \left\langle \psi | \hat {A} | \frac {\partial \psi} {\partial t} \right\rangle + \left\langle \frac {\partial \psi} {\partial t} | \hat {A} | \psi \right\rangle + \cancel{\left\langle \psi \left| \frac {\partial \hat {A}} {\partial t} \right| \psi \right\rangle} \right] \\[4pt] & = \langle \psi | \hat {A} H | \psi \rangle - \langle \psi | H \hat {A} | \psi \rangle \\[4pt] & = \langle [ \hat {A} , H ] \rangle \label{2.78} \end{align}\]

Якщо\(\hat{A}\) не залежить від часу (як ми очікуємо на малюнку Шредінгера), і якщо він їздить з\(\hat{H}\), це називається постійною руху.

Гейзенберг Малюнок

З рівняння\ ref {2.76} можна виділити картину Шредінгера від операторів Гейзенберга:

\[\hat {A} (t) = \langle \psi (t) | \hat {A} | \psi (t) \rangle _ {S} = \left\langle \psi \left( t _ {0} \right) \left| U^{\dagger} \hat {A} U \right| \psi \left( t _ {0} \right) \right\rangle _ {S} = \langle \psi | \hat {A} (t) | \psi \rangle _ {H} \label{2.79}\]

де оператор визначається як

\[\left.\begin{aligned} \hat {A} _ {H} (t) & = U^{\dagger} \left( t , t _ {0} \right) \hat {A} _ {S} U \left( t , t _ {0} \right) \\[4pt] \hat {A} _ {H} \left( t _ {0} \right) & = \hat {A} _ {S} \end{aligned} \right. \label{2.80}\]

Зверніть увагу, що зображення мають однакову хвильову функцію в контрольній точці\(t_0\). Оскільки хвильова функція повинна бути незалежною від часу\(\partial | \psi _ {H} \rangle / \partial t = 0\), ми можемо пов'язати хвильові функції Шредінгера та Гейзенберга як

\[| \psi _ {S} (t) \rangle = U \left( t , t _ {0} \right) | \psi _ {H} \rangle \label{2.81}\]

Отже,

\[| \psi _ {H} \rangle = U^{\dagger} \left( t , t _ {0} \right) | \psi _ {S} (t) \rangle = | \psi _ {S} \left( t _ {0} \right) \rangle \label{2.82}\]

Як і очікувалося при унітарному перетворенні, в будь-якій картині зберігаються власні значення:

\[\begin{align} \hat {A} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} & = a _ {i} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} \\[4pt] U^{\dagger} \hat {A} U U^{\dagger} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} & = a _ {i} U^{\dagger} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} \\[4pt] \hat {A} _ {H} | \varphi _ {i} \rangle _ {H} & = a _ {i} | \varphi _ {i} \rangle _ {H} \end{align} \label{2.83}\]

Еволюція часу операторів на картині Гейзенберга така:

\[ \begin{aligned} \frac {\partial \hat {A} _ {H}} {\partial t} & = \frac {\partial} {\partial t} \left( U^{\dagger} \hat {A} _ {s} U \right) = \frac {\partial U^{\dagger}} {\partial t} \hat {A} _ {s} U + U^{\dagger} \hat {A} _ {s} \frac {\partial U} {\partial t} + U^{\dagger} \cancel{\frac {\partial \hat {A}} {\partial t}} U \\[4pt] &= \frac {i} {\hbar} U^{\dagger} H \hat {A} _ {S} U - \frac {i} {\hbar} U^{\dagger} \hat {A} _ {S} H U + \left( \cancel{\frac {\partial \hat {A}} {\partial t}} \right) _ {H} \\[4pt] &= \frac {i} {\hbar} H _ {H} \hat {A} _ {H} - \frac {i} {\hbar} \hat {A} _ {H} H _ {H} \\[4pt] &= - \frac {i} {\hbar} [ \hat {A} , H ] _ {H} \end{aligned} \label{2.84}\]

результат

\[i \hbar \frac {\partial} {\partial t} \hat {A} _ {H} = [ \hat {A} , H ] _ {H} \label{2.85}\]

відомий як рівняння руху Гейзенберга. Тут я написав дивний погляд\(H _ {H} = U^{\dagger} H U\). Це головним чином, щоб нагадати про залежність від часу\(\hat{H}\). Взагалі кажучи, для незалежного від часу гамільтоніана\(U = e^{- i H t / h}\),\(U\) і\(H\) коммутіруют, і\(H_H =H\). Для залежного від часу гамільтоніана,\(U\) і не\(H\) потрібно їздити на роботу.

Класична еквівалентність частинки в потенціалі

Рівняння Гейзенберга зазвичай застосовується до частинки з довільним потенціалом. Розглянемо частинку з довільним одновимірним потенціалом

\[H = \frac {p^{2}} {2 m} + V (x) \label{2.86}\]

Для цього гамільтоніана рівняння Гейзенберга дає часову залежність імпульсу та положення як

\[\dot {p} = - \frac {\partial V} {\partial x} \label{2.87}\]

\[\dot {x} = \frac {p} {m} \label{2.88}\]

Тут я скористався

\[\left[ \hat {x}^{n} , \hat {p} \right] = i \hbar n \hat {x}^{n - 1} \label{2.89}\]

\[\left[ \hat {x} , \hat {p}^{n} \right] = i \hbar n \hat {p}^{n - 1} \label{2.90}\]

Цікаво, що фактори\(\hbar\) зникли в рівняннях\ ref {2.87} і\ ref {2.88}, і квантова механіка, схоже, не присутня. Натомість ці рівняння вказують на те, що оператори положення та імпульсу дотримуються тих же рівнянь руху, що і рівняння Гамільтона для класичних змінних. Якщо інтегрувати Equation\ ref {2.88} протягом періоду часу,\(t\) ми виявимо, що очікуване значення положення частинки слідує за класичним рухом.

\[\langle x (t) \rangle = \frac {\langle p \rangle t} {m} + \langle x ( 0 ) \rangle \label{2.91}\]

Ми також можемо використовувати часову похідну Equation\ ref {2.88} для отримання рівняння, яке відображає другий закон руху Ньютона\(F=ma\):

\[m \frac {\partial^{2} \langle x \rangle} {\partial t^{2}} = - \langle \nabla V \rangle \label{2.92}\]

Ці спостереження лежать в основі теореми Еренфеста, твердження класичної відповідності квантової механіки, яка стверджує, що очікувані значення для операторів позиції та імпульсу будуть слідувати класичним рівнянням руху.

Читання

1. Коен-Таннуджі, К.; Діу, Б.; Лале, Ф., Квантова механіка. Вілі-Міжнаукові: Париж, 1977; стор. 312.
2. Мукамель С., Принципи нелінійної оптичної спектроскопії. Преса Оксфордського університету: Нью-Йорк, 1995.
3. Ніцан, А., Хімічна динаміка в конденсованих фазах. Преса Оксфордського університету: Нью-Йорк, 2006; гл. 4. 2-20
4. Сакурай, Дж., Сучасна квантова механіка, переглянуте видання. Аддісон-Веслі: Читання, Массачусетс, 1994; Гл. 2.