8.5: Закон Бойла - Зв'язок між об'ємом і тиском

Last updated
Save as PDF

Page ID: 21991

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Поясніть наступні закони в рамках Закону про ідеальний газ

Досвід показав, що кілька властивостей газу можуть бути пов'язані один з одним за певних умов. Властивості - тиск (P), об'єм (V), температура (T, в кельвіні) та кількість матеріалу, виражене в молі (n). Ми виявляємо, що зразок газу не може мати випадкових значень цих властивостей. Замість цього будуть відбуватися лише певні значення, продиктовані деякими простими математичними співвідношеннями.

Закон Бойла

Перша проста залежність, яку називають газовим законом, полягає між тиском газу та його обсягом. Якщо кількість газу в пробі і його температура підтримуються постійними, то при збільшенні тиску газу обсяг газу пропорційно зменшується. Математично це пишеться як

\[\mathrm{P \propto \dfrac{1}{V}}\]

де символ «» означає «пропорційний». Це одна з форм закону Бойла, яка пов'язує тиск газу з його обсягом.

Більш корисна форма закону Бойла передбачає зміну умов газу. Для заданої кількості газу при постійній температурі, якщо ми знаємо початковий тиск і обсяг зразка газу та зміни тиску або обсягу, ми можемо обчислити, яким буде новий об'єм або тиск. Ця форма закону Бойла написана

\[P_iV_i = P_fV_f \label{Eq1}\]

де індекс\(i\) посилається на початкові умови, а індекс\(f\) - до кінцевих умов.

Для використання потрібно знати будь-які три змінні\(\ref{Eq1}\), щоб можна було алгебраїчно обчислити четверту змінну. Також величини тиску повинні мати однакові одиниці, як і дві об'ємні величини. Якщо дві подібні змінні не мають однакових змінних, одне значення має бути перетворено в одиницю іншого значення.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Increasing Pressure in a Gas

Що відбувається з об'ємом газу, якщо його тиск підвищений? Припустимо, що всі інші умови залишаються колишніми.

Рішення

Якщо тиск газу збільшується, обсяг зменшується у відповідь.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Increasing Volume in a Gas

Що відбувається з тиском газу, якщо його обсяг збільшений? Припустимо, що всі інші умови залишаються колишніми.

Відповідь: Якщо обсяг газу збільшується, тиск знижується.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Gas Compression

Якщо проба газу має початковий тиск 1,56 атм і початковий обсяг 7,02 л, який кінцевий обсяг, якщо тиск знижено до 0,987 атм? Припустимо, що кількість і температура газу залишаються постійними.

Рішення

Ключовим у подібних задачах є можливість визначити, які величини представляють, які змінні з відповідного рівняння. Те, як сформульовано питання, ви повинні вміти сказати, що 1.56 атм це P _i, 7.02 L - V _i, а 0.987 атм - P _f. Те, що ми шукаємо, це остаточний volume— V _f. Тому підставляємо ці значення в P _i V _i = P _f V _f:

(1,56 атм) (7,02 л) = (0,987 атм) × В _ф

Вираз має атмосфери по обидва боки рівняння, тому вони скасовують алгебраїчно:

(1.56) (7.02 Л) = (0.987) × В _ф

Тепер розділимо обидві сторони виразу на 0.987, щоб виділити V _f, величину, яку ми шукаємо:

\(\mathrm{\dfrac{(1.56)(7.02\: L)}{0.987}=V_f}\)

Виконуючи множення і ділення, отримаємо значення V _f, яке дорівнює 11,1 л. Об'єм збільшується. Це повинно мати сенс, оскільки тиск знижується, тому тиск і об'єм обернено пов'язані.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Якщо проба газу має початковий тиск 3,66 атм і початковий обсяг 11,8 л, то яке кінцеве тиск, якщо обсяг зменшений до 5,09 л? Припустимо, що кількість і температура газу залишаються постійними.

Відповідь: 8,48 атм

Якщо одиниці подібних величин не однакові, одна з них повинна бути перетворена в одиниці іншої кількості, щоб розрахунок працював належним чином. Не має значення, яка кількість перетворюється в іншу одиницю; єдине, що важливо, це те, що перетворення та подальша алгебра виконуються належним чином. Наступний приклад ілюструє цей процес.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Якщо проба газу має початковий тиск 1,56 атм і початковий об'єм 7,02 л, який кінцевий обсяг, якщо тиск змінено на 1,775 торр? Чи має сенс відповідь? Припустимо, що кількість і температура газу залишаються постійними.

Рішення

Цей приклад схожий на\(\PageIndex{2}\) Example, за винятком тепер кінцевий тиск виражається в торр. Щоб математика працювала належним чином, одне із значень тиску потрібно перетворити в іншу одиницю. Змінимо початковий тиск на торр:

\(\mathrm{1.56\: atm\times\dfrac{760\: torr}{1\: atm}=1,190\: torr}\)

Тепер ми можемо використовувати закон Бойла:

(1,190 торр) (7.02 Л) = (1,775 торр) × В _ф

Торр скасовує алгебраїчно з обох сторін рівняння, залишаючи

(1,190) (7.02 Л) = (1,775) × В _ф

Тепер розділимо обидві сторони рівняння на 1,775, щоб виділити V _f з одного боку. Вирішуючи для кінцевого обсягу,

\(\mathrm{V_f=\dfrac{(1,190)(7.02\: L)}{1,775}=4.71\: L}\)

Оскільки тиск збільшується, має сенс, що обсяг зменшується.

Відповідь на кінцевий обсяг по суті однаковий, якщо ми перетворимо 1,775 торр в атмосфери:\(\mathrm{1,775\: torr\times\dfrac{1\: atm}{760\: torr}=2.336\: atm}\). Використання закону Бойля: (1,56 атм) (7,02 л) = (2,335 атм) × V _f;\(\mathrm{V_f=\dfrac{(1.56\: atm)(7.02\: L)}{2.336\: atm}=4.69\: L}\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Якщо проба газу має початковий тиск 375 торр і початковий об'єм 7,02 л, то яке кінцевий тиск, якщо обсяг змінюється на 4,577 мл? Чи має сенс відповідь? Припустимо, що кількість і температура газу залишаються постійними.

Відповідь: 575 торр

До вашого здоров'я: Дихання

Дихання, безумовно, є великим внеском у ваше здоров'я! Без дихання ми не змогли вижити. Цікаво, що сам акт дихання - це трохи більше, ніж застосування закону Бойла.

Легкі - це серія постійно звужуються труб, які закінчуються безліччю крихітних мішечків, званих альвеолами. Саме в альвеолах кисень з повітря переходить в кров і вуглекислий газ з кровотоку передає в легені для видиху. Щоб повітря рухався всередину і виходив з легенів, тиск всередині легенів повинен змінюватися, змушуючи легені змінювати об'єм - так само, як передбачено законом Бойла.

Зміна тиску викликана діафрагмою, м'язом, яка покриває дно легенів. Коли діафрагма рухається вниз, вона розширює розміри наших легенів. Коли це відбувається, тиск повітря всередині наших легенів трохи знижується. Це змушує нове повітря спрямовуватися, і ми вдихаємо. Зниження тиску невелике - лише 3 торр, або близько 0,4% атмосфери. Вдихаємо всього 0,5-1,0 л повітря на нормальний вдих.

Видихаючи повітря вимагає розслаблення діафрагми, яка штовхається на легені і трохи зменшує обсяг легенів. Це трохи підвищує тиск повітря в легенях, і повітря витісняється назовні; видихаємо. Для видиху потрібно всього 1-2 торр додаткового тиску. Тож з кожним подихом наші власні тіла виконують експериментальну перевірку закону Бойла.