2.9: PSS.9- Вирішення проблем з модульним аналізом

Мета навчання

• Перетворення з однієї одиниці в іншу одиницю того ж типу.

У розділі 2.2 ми показали кілька прикладів того, як замінити початкові одиниці на інші одиниці того ж типу, щоб отримати числове значення, яке легше зрозуміти. У цьому розділі ми формалізуємо процес.

Розглянемо простий приклад: скільки футів в 4 ярдах? Більшість людей майже автоматично відповісти, що є 12 ноги в 4 ярдів. Як ви зробили це визначення? Ну, якщо є 3 фути в 1 дворі і є 4 ярдів, то є 4 × 3 = 12 футів у 4 ярдах.

Це, звичайно, правильно, але воно неформальне. Давайте формалізуємо його таким чином, який може бути застосований більш загально. Ми знаємо, що 1 двір (yd) дорівнює 3 футів (футів):

\[1\, yd = 3\, ft\nonumber \]

У математиці цей вираз називається рівністю. Правила алгебри говорять про те, що ви можете змінити (тобто помножити або ділити або додати або відняти) рівність (поки ви не ділите на нуль) і новий вираз все одно буде рівністю. Наприклад, якщо розділити обидві сторони на 2, то отримаємо:

\[\dfrac{1}{2}\,yd= \dfrac{3}{2}\, ft\nonumber \]

Ми бачимо, що половина двору дорівнює 3/2, або півтори, ноги - те, що ми також знаємо, щоб бути правдою - тому вищевказане рівняння все ще є рівністю. Повертаючись до початкової рівності, припустимо, ми ділимо обидві сторони рівняння на 1 ярд (число і одиницю):

\[\dfrac{1\,yd}{1\,yd}= \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Вираз все ще рівність, за правилами алгебри. Лівий дріб дорівнює 1. Вона має однакову величину в чисельнику і знаменнику, тому вона повинна дорівнювати 1. Величини в чисельнику і знаменнику скасовують, як число, так і одиницю:

\[\dfrac{1\,yd}{1\,yd}= \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Коли все скасовується в дріб, дріб зменшується до 1:

\[1= \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Коефіцієнти перетворення

У нас є вираз, який дорівнює 1.

\[\dfrac{3\,ft}{1\,yd}=1\nonumber \]

Це дивний спосіб написати 1, але він має сенс: 3 ft дорівнює 1 yd, тому величини в чисельнику і знаменнику - це одна і та ж величина, просто виражена різними одиницями.

вираз

\[\dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

називається коефіцієнтом перетворення і він використовується для формального зміни одиниці величини в іншу одиницю. (Процес перетворення одиниць таким формальним способом іноді називають розмірним аналізом або методом факторної мітки.)

Щоб побачити, як це відбувається, почнемо з оригінальної кількості: 4 ярд.

Тепер помножимо цю величину на 1. Коли ви помножуєте що-небудь на 1, ви не змінюєте значення кількості. Замість того, щоб множити лише на 1, давайте напишемо 1 як:

\[\dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

\[4\,yd\times \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Термін 4 yd можна розглядати як 4yd/1; тобто його можна розглядати як дріб з 1 в знаменнику. Ми по суті множимо дроби. Якщо в чисельнику і знаменнику дробу з'являється те ж саме, вони скасовують. У цьому випадку те, що скасовує, - це дворик підрозділу:

\[4\,yd\times \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Це все, що ми можемо скасувати. Тепер множимо і ділимо всі числа, щоб отримати остаточну відповідь:

\[\dfrac{4\times 3\, ft}{1}= \dfrac{12\,ft}{1}= 12\,ft\nonumber \]

Знову ж таки, ми отримуємо відповідь 12 футів, так само, як ми робили спочатку. Але в даному випадку ми використовували більш формальну процедуру, яка може бути застосована до самих різних проблем.

Скільки міліметрів в 14,66 м? Щоб відповісти на це, нам потрібно побудувати коефіцієнт перетворення між міліметрами і правильно застосувати його до вихідної кількості. Почнемо з визначення міліметра, який є:

\[1\,mm= \dfrac{1}{1000\,m}\nonumber \]

1/1000 - це те, що означає префікс milli-. Більшості людей зручніше працювати без дробів, тому ми перепишемо це рівняння, привівши 1000 в чисельник іншої сторони рівняння:

\[1000\,mm=1\,m\nonumber \]

Тепер будуємо коефіцієнт перетворення, розділивши одну величину на обидві сторони. Але зараз виникає питання: на яку кількість ми ділимо? Виявляється, у нас є два варіанти, і два варіанти дадуть нам різні коефіцієнти перетворення, обидва з яких рівні 1:

\[\dfrac{1000\,mm}{1000\,mm}= \dfrac{1\,m}{1000\,mm} \nonumber \]

або

\[\dfrac{1000\,mm}{1\,m}= \dfrac{1\,m}{1\,m}\nonumber \]

\[1=\dfrac{1\,m}{1000\,mm}\nonumber \]

або

\[\dfrac{1000\,mm}{1\,m}=1\nonumber \]

Який коефіцієнт перетворення ми використовуємо? Відповідь базується на тому, від якої одиниці ви хочете позбутися у вашій початковій кількості. Оригінальна одиниця нашої кількості - метри, які ми хочемо перетворити в міліметри. Оскільки початкова одиниця вважається в чисельнику, щоб позбутися від неї, ми хочемо одиницю лічильника в знаменнику; тоді вони скасують. Тому будемо використовувати другий коефіцієнт перерахунку. Скасовуючи одиниці і виконуючи математику, отримуємо:

\[14.66m\times \dfrac{1000\,mm}{1\,m}= 14660\,mm\nonumber \]

Зверніть увагу, як\(m\) скасовує\(mm\), залишаючи, яка є одиницею інтересу.

Уміння будувати і застосовувати належні коефіцієнти перетворення є дуже потужною математичною технікою в хімії. Освоїти цю техніку потрібно, якщо ви збираєтеся бути успішними на цьому і майбутніх курсах.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

1. Перетворити 35,9 кЛ в літри.
2. Перетворити 555 нм в метри.

Рішення

1. Будемо використовувати той факт, що 1 кЛ = 1000 л. З двох коефіцієнтів перетворення, які можна визначити, той, який буде працювати - 1000L/ 1kL. Застосовуючи цей коефіцієнт перерахунку, отримуємо:

\[35.9\, kL\times \dfrac{1000\,L}{1\,kL}= 35,900\, L \nonumber \nonumber \]

2. Будемо використовувати той факт, що 1 нм = 1/1 000 000 000 м, які ми перепишемо як 1 000 000 000 нм = 1 м, або 10 ⁹ нм = 1 м. з двох можливих коефіцієнтів перетворення відповідний має одиницю нм в знаменнику:

\[\dfrac{1\,m}{10^{9}\,nm} \nonumber \nonumber \]

Застосовуючи цей коефіцієнт перерахунку, отримуємо:

\[555\,nm\times \dfrac{1m}{10^{9}nm}= 0.000000555\,m= 5.55\times 10^{-7}\,m \nonumber \nonumber \]

На завершальному етапі ми висловили відповідь в науковому позначенні.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

1. Перетворіть 67.08 мкл в літри.
2. Перетворіть 56,8 м на кілометри.

Відповідь на

6,708 × 10 ⁻⁵ Л

Відповідь б

5,68 × 10 ⁻² км

Що робити, якщо у нас є похідна одиниця, яка є добутком більше однієї одиниці, наприклад m ²? Припустимо, ми хочемо перетворити квадратні метри в квадратні сантиметри? Ключ полягає в тому, щоб пам'ятати, що m ² означає m × m, що означає, що у нас є два метри одиниці в нашій похідній одиниці. Це означає, що ми повинні включити два коефіцієнти перетворення, по одному для кожної одиниці. Наприклад, щоб перетворити 17,6 м ² в квадратні сантиметри, проводимо перетворення наступним чином:

\[\begin{align} 17.6m^{2} &= 17.6(m\times m)\times \dfrac{100cm}{1m}\times \dfrac{100cm}{1m} \nonumber \\[4pt] &= 176000\,cm \times cm \nonumber \\[4pt] &= 1.76\times 10^{5} \,cm^2\end{align}\nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Скільки кубічних сантиметрів в 0,883 м ³?

Рішення

З показником 3 ми маємо три одиниці довжини, тому за розширенням нам потрібно використовувати три коефіцієнти перетворення між метрами та сантиметрами. Таким чином, ми маємо:

\[0.883m^{3}\times \dfrac{100\,cm}{1\,m}\times \dfrac{100\,cm}{1\,m} \times \dfrac{100\,cm}{1\,m}= 883000\,cm^{3} = 8.83\times 10^{5}\,cm^{3}\nonumber \]

Ви повинні продемонструвати собі, що триметрові одиниці дійсно скасовують.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Скільки кубічних міліметрів присутній в 0,0923 м ³?

Відповідь

9,23 × 10 ⁷ мм ³

Припустимо, одиниця, яку ви хочете перетворити, знаходиться в знаменнику похідної одиниці - що тоді? Тоді в коефіцієнті перетворення одиниця, яку ви хочете видалити, повинна бути в чисельнику. Це скасує з початковою одиницею в знаменнику і введе нову одиницю в знаменник. Наступний приклад ілюструє цю ситуацію.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Перетворення 88.4 m/min в метрів/секунду.

Рішення

Ми хочемо змінити одиницю в знаменнику з хвилин на секунди. Оскільки є 60 секунд за 1 хвилину (60 с = 1 хв), ми будуємо коефіцієнт перетворення так, що одиниця, яку ми хочемо видалити, хвилин, знаходиться в чисельнику: 1min/60s. Застосовуємо і виконуємо математику:

\[\dfrac{88.4m}{min}\times \dfrac{1\,min}{60\,s}= 1.47\dfrac{m}{s}\nonumber \]

Зверніть увагу, як 88.4 автоматично йде в чисельнику. Це тому, що будь-яке число можна вважати, що в чисельнику дробу ділиться на 1.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Перетворення 0.203 m/min в метри/second.

Відповідь

0.00338 м/с

або

3,38 × 10 ⁻³ м/с

Іноді виникне необхідність конвертувати з однієї одиниці з одним числовим префіксом в іншу одиницю з іншим числовим префіксом. Як ми обробляємо ці конверсії? Ну, ви могли б запам'ятати коефіцієнти перетворення, які взаємопов'язані всі числові префікси. Або ви можете піти простішим маршрутом: спочатку перетворіть кількість на базову одиницю - одиницю без числового префіксу - використовуючи визначення оригінального префікса. Потім перетворіть кількість в базовій одиниці в потрібну одиницю, використовуючи визначення другого префікса. Ви можете зробити перетворення двома окремими кроками або як один довгий алгебраїчний крок. Наприклад, щоб перетворити 2,77 кг в міліграми:

\[2.77\,kg\times \dfrac{1000\,g}{1\,kg}= 2770\,g\nonumber \](перетворити на базові одиниці грам)

\[2770\,g\times \dfrac{1000\,mg}{1\,g}= 2770000\,mg = 2.77\times 10^{6}\,mg\nonumber \](перетворити на потрібну одиницю)

Як варіант, це можна зробити за один багатоетапний процес:

\[\begin{align} 2.77\, \cancel{kg}\times \dfrac{1000\,\cancel{g}}{1\,\cancel{kg}}\times \dfrac{1000\,mg}{1\,\cancel{g}} &= 2770000\, mg \nonumber \\[4pt] &= 2.77\times 10^{6}\,mg \end{align}\nonumber \]

Ви отримаєте однакову відповідь в будь-якому випадку.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Скільки наносекунд в 368,09 мкс?

Рішення

Ви можете зробити це як одноетапне перетворення з мікросекунд в наносекунди або спочатку перетворити на базову одиницю, а потім до кінцевої бажаної одиниці. Тут ми будемо використовувати другий метод, показуючи два кроки в одному рядку. Використовуючи визначення префіксів мікро- і нано-,

\[368.0\,\mu s\times \dfrac{1\,s}{1000000\,\mu s}\times \dfrac{1000000000}{1\,s}= 3.6809\times 10^{5}\,ns\nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Скільки мілілітрів в 607,8 кЛ?

Відповідь

6,078 × 10 ⁸ мл

При розгляді значущих цифр остаточної числової відповіді при перетворенні є один важливий випадок, коли число не впливає на кількість значущих цифр у кінцевій відповіді: так зване точне число. Точне число - це число з визначеного співвідношення, а не виміряне. Наприклад, приставка kilo- означає 1000- рівно 1000, не більше або не менше. Таким чином, при побудові коефіцієнта перетворення:

\[\dfrac{1000\,g}{1\,kg}\nonumber \]

ні 1000, ні 1 не входять до нашого розгляду значних цифр. Числа в чисельнику і знаменнику визначаються саме тим, що означає префікс кіло-. Інший спосіб думати про це полягає в тому, що ці числа можна вважати нескінченною кількістю значущих цифр, таких як:

\[\dfrac{1000.0000000000 \dots \,g}{1.0000000000 \ldots \,kg}\nonumber \]

Інші цифри в розрахунку визначать кількість значущих цифр в остаточній відповіді.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Прямокутна ділянка в саду має розміри 36,7 см на 128,8 см. Яка площа садової ділянки в квадратних метрах? Висловіть свою відповідь в належній кількості значущих цифр.

Рішення

Площа визначається як добуток двох вимірів, які ми потім повинні перетворити на квадратні метри, і висловити нашу остаточну відповідь на правильну кількість значущих цифр - яких у цьому випадку буде три.

\[36.7\,cm\times 128.8\,cm\times \dfrac{1\,m}{100\,cm}\times \dfrac{1\,m}{100\,cm}= 0.472696\,m^{2}= 0.473\,m^{2}\nonumber \]

1 і 100 в коефіцієнтах перетворення не впливають на визначення значущих цифр, оскільки вони є точними числами, визначеними префіксом centi-.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Який обсяг блоку в кубічних метрах при розмірах 2,1 см × 34,0 см × 118 см?

Відповідь

0.0084 м ³

Хімія скрізь: планер Gimli

23 липня 1983 року літак Air Canada Boeing 767 повинен був ковзати до аварійної посадки в аеропорту індустріального парку Гімлі в Гімлі, Манітоба, тому що він несподівано закінчився паливо під час польоту. Жодних жертв в ході аварійної посадки не було, лише деякі незначні травми, пов'язані частково з евакуацією судна після посадки. За решту експлуатаційного терміну (літак був звільнений в 2008 році) літак отримав прізвисько «Gimli Glider».

Планер Gimli - це Boeing 767, який закінчився паливом і ковзав до безпеки в аеропорту Гімлі. Літак закінчилося паливо через плутанину щодо одиниць, що використовуються для вираження кількості палива. Джерело: Фото люб'язно надано Уїлл Ф., (CC BY-SA 2.5; Aero Icarus).

767 вилетів з Монреаля на шляху до Оттави, зрештою прямуючи до Едмонтона, Канада. Приблизно на півдорозі через нестачу палива стали відключатися всі двигуни на літаку. Коли остаточний двигун відключився, вся електроенергія (яка вироблялася двигунами) була втрачена; літак став, по суті, безсилим планером. Капітан Роберт Пірсон був досвідченим пілотом планера, хоча він ніколи не літав на планері розміром 767. Перший офіцер Моріс Квінталь швидко визначив, що літак не зможе дістатися до Вінніпега, наступного великого аеропорту. Він запропонував свою стару базу Королівських ВПС на станції Гімлі, одна з яких злітно-посадкових смуг все ще використовувалася як громадський аеропорт. Між зусиллями пілотів та льотного екіпажу їм вдалося безпечно отримати літак на землю (хоча і з пряжкою шасі) і всіх пасажирів безпечно.

Що сталося? У той час Канада переходила від старої англійської системи до метричної системи. Boeing 767s були першим літаком, датчики якого були відкалібровані в метричній системі одиниць (літрів і кілограмів), а не англійської системи одиниць (галонів і фунтів). Таким чином, коли паливний манометр читав 22 300, манометр означав кілограми, але наземний екіпаж помилково заправляв літак 22 300 фунтами палива. Це закінчилося лише меншою половиною палива, необхідного для поїздки, внаслідок чого двигуни кинули приблизно на півдорозі до Оттави. Швидке мислення та надзвичайна майстерність врятували життя 61 пасажиру та 8 членам екіпажу — інцидент, який би не стався, якби люди спостерігали за своїми підрозділами.

Ключові виноси

• Одиниці можуть бути перетворені в інші одиниці, використовуючи відповідні коефіцієнти перетворення.
• Коефіцієнти перетворення будуються з рівностей, які пов'язують дві різні одиниці.
• Конверсії можуть бути однокроковими або багатоетапними.
• Перетворення одиниць - це потужна математична техніка в хімії, яку необхідно освоїти.
• Точні цифри не впливають на визначення значущих цифр.