5.8: Хвильове рівняння де Бройля

Last updated
Save as PDF

Page ID: 19405

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Модель атома Бора була цінною для демонстрації того, як електрони здатні поглинати і вивільняти енергію, і як створювалися атомні спектри емісії. Однак модель насправді не пояснила, чому електрони повинні існувати тільки на нерухомих кругових орбітах, а не бути здатними існувати на безмежній кількості орбіт з різною енергією. Для того щоб пояснити, чому квантуються стани атомної енергії, вченим довелося переосмислити свої погляди на природу електрона і його рух.

де Хвильове рівняння Бройля

Планком дослідження спектрів випромінювання гарячих об'єктів та подальші дослідження фотоефекту довели, що світло здатне вести себе як хвиля і як частинка. Здавалося розумним задатися питанням, чи можуть електрони також мати подвійну хвильово-частинкову природу. У 1924 році французький вчений Луї де Брольє (1892-1987) вивів рівняння, яке описувало хвильову природу будь-якої частинки. Зокрема, довжина хвилі\(\left( \lambda \right)\) будь-якого рухомого об'єкта задається:

\[\lambda = \frac{h}{mv}\nonumber \]

У цьому рівнянні\(h\) є постійною Планка,\(m\) є масою частинки в\(\text{kg}\), і\(v\) є швидкість частинки в\(\text{m/s}\). У наведеній нижче задачі показано, як обчислити довжину хвилі електрона.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Електрон маси\(9.11 \times 10^{-31} \: \text{kg}\) рухається майже зі швидкістю світла. Використовуючи швидкість\(3.00 \times 10^8 \: \text{m/s}\), обчислити довжину хвилі електрона.

Рішення

Крок 1: Перерахуйте відомі величини та плануйте проблему.

Відомий

Маса\(\left( m \right) = 9.11 \times 10^{-31} \: \text{kg}\)
константа Планка\(\left( h \right) = 6.626 \times 10^{-34} \: \text{J} \cdot \text{s}\)
Швидкість\(\left( v \right) = 3.00 \times 10^8 \: \text{m/s}\)

Невідомий

Довжина хвилі (\(\lambda\))

Застосуйте хвильове рівняння де Броля\(\lambda = \frac{h}{mv}\) для розв'язання довжини хвилі рухомого електрона.

Крок 2: Розрахуйте.

\[\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \: \text{J} \cdot \text{s}}{\left( 9.11 \times 10^{-31} \: \text{kg} \right) \times \left( 3.00 \times 10^8 \: \text{m/s} \right)} = 2.42 \times 10^{-12} \: \text{m}\nonumber \]

Крок 3: Подумайте про свій результат.

Ця дуже мала довжина хвилі становить близько 1/20 діаметра атома водню. Дивлячись на рівняння, у міру зменшення швидкості електрона збільшується його довжина хвилі. Довжини хвиль повсякденних великих об'єктів з набагато більшими масами повинні бути дуже маленькими.

Якби ми обчислили довжину хвилі\(0.145 \: \text{kg}\) бейсболу, кинутого зі швидкістю\(40 \: \text{m/s}\), ми б придумали надзвичайно коротку довжину хвилі на замовлення\(10^{-34} \: \text{m}\). Цю довжину хвилі неможливо виявити навіть за допомогою передового наукового обладнання. Дійсно, хоча всі об'єкти рухаються хвилеподібним рухом, ми ніколи цього не помічаємо, оскільки довжини хвиль занадто короткі. З іншого боку, частинки з вимірюваними довжинами хвиль дуже малі. Однак хвильова природа електрона виявилася ключовим розвитком у новому розумінні природи електрона. Електрон, який обмежений певним простором навколо ядра атома, може рухатися тільки навколо цього атома таким чином, що його електронна хвиля «відповідає» розміру атома правильно. Це означає, що частоти електронних хвиль квантуються. Виходячи з\(E = h \nu\) рівняння, квантовані частоти означають, що електрони можуть існувати лише в атомі при конкретних енергіях, як раніше теоретизував Бор.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Окружність орбіти в (А) дозволяє електронній хвилі ідеально вписуватися в орбіту. Це дозволена орбіта. В (B) електронна хвиля не вписується належним чином на орбіту, тому така орбіта не допускається. (Кредит: Крістофер Auyeung; Джерело: CK-12 Foundation; Ліцензія: CC BY-NC 3.0 (відкривається в новому вікні))

Резюме

Хвильове рівняння де Броля дозволяє обчислити довжину хвилі будь-якого рухомого об'єкта.
Зі зменшенням швидкості електрона збільшується його довжина хвилі.

Рецензія

Що не пояснила модель Бора?
Створіть хвильове рівняння де Броля.
Що відбувається при зменшенні швидкості електрона?