10.5: Вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18014

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

1. Метою при згладжуванні даних є поліпшення співвідношення сигнал/шум без спотворення основного сигналу. Дані в файлі problem10_1.csv складаються з чотирьох стовпців даних: вектор x, який містить 200 значень для побудови на осі x; вектор y, який містить 200 значень для степ-функції, що задовольняє наступним критеріям

\[y = 0 \text{ for } x \le 75 \text{ and for } x \ge 126 \nonumber\]

\[y = 1 \text{ for } 75 < x < 126 \nonumber\]

вектор n, який містить 200 значень, проведених з випадкового нормального розподілу із середнім значенням 0 і стандартним відхиленням 0,1, і вектор s, який є сумою y і n. По суті, y - чистий сигнал, n - шум, а s - галасливий сигнал. Використовуючи ці дані, виконайте наступні завдання:

(а) Визначте середній сигнал, стандартне відхилення шуму та відношення сигнал/шум для шумного сигналу, використовуючи лише дані в об'єкті s.

(b) Дослідіть ефект застосування до галасливого сигналу, один прохід кожного з ковзних середніх фільтрів ширини 5, 7, 9, 11, 13, 15 та 17. Для кожного фільтра ковзних середніх визначте середній сигнал, стандартне відхилення шуму та відношення сигнал/шум. Організуйте ці вимірювання за допомогою таблиці та прокоментуйте свої результати. Підготуйте єдиний графік, який відображає оригінальний галасливий сигнал та згладжені сигнали, використовуючи ширини 5, 9, 13 та 17, зміщуючи кожен так, щоб відображалися всі п'ять сигналів. Прокоментуйте свої результати.

(c) Повторіть обчислення в (b) за допомогою квадратичних/кубічних згладжувальних фільтрів Савіцкого-Голая ширини 5, 7, 9, 11, 13, 15 та 17; див. оригінальну статтю для коефіцієнтів кожного фільтра.

(d) Враховуючи ваші результати для (b) і для (c), який фільтр і яка ширина забезпечує найбільше поліпшення співвідношення сигнал/шум з найменшим спотворенням крокової функції вихідного сигналу? Обов'язково виправдайте свій вибір.

2. Файл problem10_2.csv складається з двох стовпців, кожен з яких має 1024 точки: x - індекс для осі x, а y - шумні дані з натяком на сигнал. Показати, що у цьому файлі є сигнал за допомогою будь-якого ковзного середнього або фільтра згладжування Савіцкі-Голая за вашим вибором і за допомогою фільтра Фур'є. Представте свої результати в одній фігурі, яка показує вихідний сигнал, сигнал після згладжування та сигнал після фільтрації Фур'є. Прокоментуйте свої результати.

3. Файлова проблема 10_3.csv складається з шести стовпців: x - індекс для осі x і y1, y2, y3, y4 і y5 - сигнали, що накладаються на змінний фон. Використовуйте дев'ятиточковий кубічний фільтр Савіцки-Голая, щоб видалити фон з даних, а потім побудувати калібрувальну модель, використовуючи ці результати, і повідомити про калібрувальне рівняння та графік калібрувальної кривої. Див. Оригінальний папір для коефіцієнтів фільтра.