4.3: Парадокси

Значна частина цього розділу базується на статті Снелла та Вандербея. ¹⁸

Потрібно бути дуже обережним у вирішенні проблем, пов'язаних з умовною ймовірністю. Читач згадає, що в задачі Монті Холла (приклад 4.1.6), якщо учасник конкурсу вибирає двері з машиною за нею, то у Монті є вибір дверей для відкриття. Ми зробили припущення, що в цьому випадку він вибере кожну двері з ймовірністю 1/2. Потім ми зазначили, що якщо це припущення змінюється, відповідь на початкове питання змінюється. У цьому розділі ми вивчимо інші приклади того ж явища.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Розглянемо сім'ю з двома дітьми. З огляду на, що один з дітей - хлопчик, яка ймовірність того, що обидва діти - хлопчики?

Один із способів підійти до цієї проблеми - сказати, що інша дитина однаково ймовірно буде хлопчиком чи дівчинкою, тому ймовірність того, що обидва діти - хлопчики, становить 1/2. Рішенням «підручника» було б намалювати діаграму дерева, а потім сформувати умовне дерево шляхом видалення контурів, щоб залишити лише ті шляхи, які відповідають заданій інформації. Результат показаний на малюнку 4.12. Ми бачимо, що ймовірність того, що двом хлопчикам дати хлопчика в родині не 1/2, а скоріше 1/3.

Ця проблема та інші подібні до неї обговорюються в Bar-Hillel і Falk. ¹⁹ Ці автори підкреслюють, що відповідь на умовні ймовірності такого роду може змінюватися залежно від того, як насправді була отримана надана інформація. Наприклад, вони показують, що 1/2 є правильною відповіддю для наступного сценарію.

Приклад$\PageIndex{2}$

Містер Сміт є батьком двох. Ми зустрічаємо його, гуляючи по вулиці з молодим хлопчиком, якого він з гордістю представляє як свого сина. Яка ймовірність того, що інша дитина містера Сміта теж хлопчик?

Відповідь

Як завжди, ми повинні зробити деякі додаткові припущення. Наприклад, ми будемо вважати, що якщо у містера Сміта є хлопчик і дівчинка, він з однаковою ймовірністю вибере будь-який, щоб супроводжувати його на прогулянці. На малюнку 4.13 ми показуємо деревоподібний аналіз цієї проблеми і бачимо, що 1/2 дійсно є правильною відповіддю.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Не так-то просто придумати розумні сценарії, які привели б до класичного 1/3 відповіді. Спроба була зроблена Стівеном Геллером, запропонувавши цю проблему Мерилін вос Савант. ²⁰ Проблема Геллера полягає в наступному: крамар каже, що у неї є два нових дитячих біглі, щоб показати вам, але вона не знає, чи вони обидва чоловіки, обидва жінки, або один з кожної статі. Ти скажеш їй, що хочеш лише чоловіка, і вона телефонує хлопцеві, який дарує їм ванну. «Хоча б один чоловік?» вона запитує. «Так», - повідомляє вона вам з посмішкою. Яка ймовірність того, що інший чоловік?

Читача просять вирішити, чи є модель, яка дає відповідь 1/3, розумною для використання в цьому випадку.

У попередніх прикладах очевидні парадокси можна легко вирішити, чітко заявивши модель, яка використовується, та припущення, які робляться. Тепер перейдемо до деяких прикладів, в яких парадокси не так легко вирішуються.

Вправа$\PageIndex{4}$

Два конверта в кожному міститься певна сума грошей. Один конверт дається Алі, а інший Бабі, і їм кажуть, що один конверт містить в два рази більше грошей, ніж в іншому. Однак ніхто не знає, хто має більший приз. Перш ніж хтось відкрив свій конверт, Алі запитують, чи хотіла б вона торгувати своїм конвертом з Бабою. Вона міркує наступним чином: Припустимо, що сума в моєму конверті є$x$. Якщо я перейду, я закінчу$x/2$ з ймовірністю 1/2, і$2x$ з ймовірністю 1/2. Якби мені дали можливість грати в цю гру багато разів, і якби я кожен раз перемикався, я б, в середньому, отримав

$$\frac 12 \frac x2 + \frac 12 2x = \frac 54 x\ .$$ це більше, ніж мій середній виграш, якщо я не перемикався.

Звичайно, Бабі надається така ж можливість і причини таким же чином зробити висновок, що він теж хотів би переключитися. Таким чином, вони перемикаються, і кожен думає, що його/її чиста вартість просто зросла на 25%.

Оскільки жоден з них ще не відкрив жодного конверта, цей процес можна повторити і тому знову вони перемикаються. Тепер вони повернулися зі своїми оригінальними конвертами, і все ж вони думають, що їхній стан збільшився на 25% вдвічі. Цим міркуванням вони могли переконати себе в тому, що, неодноразово перемикаючи конверти, вони можуть стати довільно багатими. Зрозуміло, що щось не так з вищевказаними міркуваннями, але де помилка?

Відповідь

Одна з хитрощів створення парадоксів - зробити їх трохи складніше, ніж потрібно, щоб ще більше спантеличити нас. Як запропонував Джон Фінн, в цьому парадоксі ми могли б просто добре почати з простішої проблеми. Припустимо, Алі і Баба знають, що я збираюся дати потім або конверт з $5 або один з $10, і я збираюся кинути монету, щоб вирішити, що дати Алі, а потім віддати інший Бабі. Тоді Алі може стверджувати, що Баба має$2x$ з ймовірністю$1/2$ і$x/2$ з ймовірністю$1/2$. Це призводить Алі до того ж висновку, що і раніше. Але тепер зрозуміло, що це нісенітниця, оскільки якщо у Алі є конверт, що містить 5 доларів, Баба не може мати половину цього, а саме 2,50 долара, оскільки це навіть не було одним із варіантів. Аналогічно, якщо у Алі 10 доларів, Баба не може мати вдвічі більше, а саме 20 доларів. Насправді, у цій простішій задачі можливі результати наведені діаграмою дерева на малюнку 4.14. Зі схеми видно, що ні на те, ні інше краще відключення перемиканням.

У наведеному вище прикладі міркування Алі невірні, оскільки він робить висновок, що якщо сума в його конверті є$x$, то ймовірність того, що його конверт містить меншу кількість, дорівнює 1/2, а ймовірність того, що її конверт містить більшу суму також 1/2. Насправді ці умовні ймовірності залежать від розподілу сум, які поміщаються в конверти.

Для визначеності, давайте$X$ позначимо додатну цілозначну випадкову величину, яка представляє меншу з двох сум в конвертах. Припустимо, крім того, що нам дано розподіл$X$, тобто для кожного натурального цілого$x$, нам дано значення

$$p_x = P(X = x)\ .$$ (У прикладі Фінна$p_5 = 1$, і$p_{n} = 0$ для всіх інших значень$n$.) Тоді легко обчислити умовну ймовірність того, що конверт містить меншу суму, враховуючи, що він містить$x$ долари. Дві можливі точки вибірки -$(x, x/2)$ і$(x, 2x)$. Якщо$x$ непарна, то перша точка вибірки має ймовірність 0, оскільки не$x/2$ є цілим числом, тому бажана умовна ймовірність дорівнює 1,$x$ тобто меншій величині. Якщо$x$ парна, то дві вибіркові точки мають ймовірності$p_{x/2}$ і$p_x$, відповідно, тому умовна ймовірність, що$x$ є меншою величиною, $$\frac{p_x}{p_{x/2} + p_x}\ ,$$ яка не обов'язково дорівнює 1/2.

Стівен Брамс і D.Marc Kilgour ²¹ вивчають проблему для різних розподілів, чи слід перемикати конверти, якщо мета полягає в тому, щоб максимізувати довгостроковий середній виграш. Нехай$x$ буде сума у вашому конверті. Вони показують, що для будь-якого розподілу$X$, є хоча б одне значення$x$ такого, що ви повинні переключитися. Вони наводять приклад розподілу, для якого є рівно одне значення$x$ такого, що ви повинні переключитися (див. Вправа 4.3.5). Мабуть, найцікавіший випадок - це дистрибутив, в якому слід завжди перемикатися. Ми зараз наведемо цей приклад.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо, що перед нами два конверти, і що один конверт містить вдвічі більше суми грошей, ніж інший (обидві суми є додатними цілими числами). Нам дають один з конвертів, і запитують, чи хотіли б ми перемикатися.

Відповідь

Як вище, ми дозволимо$X$ позначити меншу з двох сум в конвертах, і нехай $$p_x = P(X = x)\ .$$ Ми зараз знаходимося в положенні, де ми можемо обчислити довгостроковий середній виграш, якщо ми переключимося. (Це довгострокове середнє значення є прикладом імовірнісної концепції, відомої як очікування, і буде розглянуто в розділі 6.) Враховуючи, що одна з двох вибіркових точок відбулася, ймовірність того, що$(x, x/2)$ це точка, $$\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x}\ ,$$ і ймовірність того, що це точка$(x, 2x)$ є $$\frac{p_x}{p_{x/2} + p_x}\ .$$ Таким чином, якщо ми переключимося, наш довгостроковий середній виграш є $$\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x}\frac x2 + \frac{p_x}{p_{x/2} + p_x} 2x\ .$$ Якщо це більше$x$, то він платить в довгостроковій біжимо за нами, щоб перейти. Деякі рутинні алгебри показують, що вищевказаний вираз більше, ніж$x$ якщо і тільки якщо\

[\ розрив {p_ {x/2}} {p_ {x/2} + p_x} <\ гідророзриву 23\. \ етикетка {eq 4.3.1}\]

Цікаво розглянути, чи існує розподіл на натуральних чисел таким чином, що нерівність вірна для всіх парних значень$x$. Брамс і Кілгур ²² наводять наступний приклад.

Ми визначаємо$p_x$ наступним чином: $$p_x = \left \{ \matrix{ \frac 13 \Bigl(\frac 23\Bigr)^{k-1}, & \mbox{if}\,\, x = 2^k, \cr 0, & \mbox{otherwise.}\cr }\right.$$ Легко обчислити (див. Вправа 4.3.4), що для всіх відповідних значень$x$, ми маємо, $$\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x} = \frac 35\ ,$$ що означає, що нерівність завжди вірна.

Поки що нам вдалося вирішити парадокси, чітко заявивши про зроблені припущення та точно заявивши про використовувані моделі. Ми закінчуємо цей розділ описом парадокс, який ми не можемо вирішити.

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо, що перед нами два конверта, і нам кажуть, що конверти містять$X$ і$Y$ долари відповідно, де$X$ і різні$Y$ натуральні числа. Ми випадковим чином вибираємо один з конвертів, і відкриваємо його, розкриваючи$X$, скажімо. Чи можна з ймовірністю більше 1/2 визначити, чи$X$ є менша з двох доларових сум?

Відповідь

Навіть якщо ми не маємо знань про спільне поширення$X$ і$Y$, дивовижна відповідь - так! Ось як це зробити. Кидайте справедливу монету до першого разу, коли голови не з'являться. Нехай$Z$ позначимо кількість необхідних кидків плюс 1/2. Якщо$Z > X$, то ми говоримо, що$X$ це менша з двох сум, а якщо$Z < X$, то ми говоримо, що$X$ це більша з двох сум.

По-перше, якщо$Z$ лежить між$X$ і$Y$, то ми обов'язково будемо правильними. Так як$X$ і$Y$ нерівні,$Z$ лежить між ними з позитивною ймовірністю. По-друге, якщо$Z$ не між$X$ і$Y$,$Z$ то або більше обох$X$ і$Y$, або менше обох$X$ і$Y$. У будь-якому випадку,$X$ це менша з двох сум з ймовірністю 1/2, з міркувань симетрії (пам'ятайте, ми вибрали конверт навмання). Таким чином, ймовірність того, що ми правильні, більше 1/2.

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Один з перших парадоксів умовної ймовірності надав Бертран. ²³ Він називається Парадокс бота. Тумба має три висувні ящики. У першому ящику є дві золоті кулі, у другому ящику - дві срібні кульки, а в третьому ящику - один срібний і один золотий куля. Ящик вибирається навмання, а кулька вибирається навмання з двох куль у шухляді. З огляду на, що був намальований золотий куля, яка ймовірність того, що ящик з двома золотими кульками був обраний?

Вправа$\PageIndex{2}$

Наступна проблема називається проблемою двох тузів. Ця проблема, що датується 1936 роком, була приписана англійському математику Дж.Х. Уайтхеду (див. Gridgeman ²⁴). Цю проблему також подав Мерилін вос Савант майстер математичних головоломок Мартін Гарднер, який зауважує, що це один з його улюблених.

Бридж-рука була роздана, тобто кожному гравцеві роздано тринадцять карт. З огляду на, що у вашого партнера хоча б один туз, яка ймовірність того, що у нього є як мінімум два туза? З огляду на, що у вашого партнера є туз сердець, яка ймовірність того, що у нього є як мінімум два туза? Відповісти на ці питання можна за версією моста, в якій є вісім карт, а саме чотири тузи і чотири короля, і кожному гравцеві роздають по дві карти. (Читач може захотіти вирішити проблему за допомогою колоди з 52 карт.)

Вправа$\PageIndex{3}$

У попередній вправі природно запитати «Як ми отримуємо інформацію про те, що дана рука має туз?» Гріджман розглядає два різних способи, якими ми можемо отримати цю інформацію. (Знову ж таки, припустимо, колода складається з восьми карт.)

1. Припустимо, що людині, що тримає руку, просять «Назвіть туза в руці» і відповідає «Туз сердець». Яка ймовірність того, що у нього з'явився другий туз?
2. Припустимо, людині, що тримає руку, задається більш прямим питанням «Чи є у вас туз сердець?» і відповідь - так. Яка ймовірність того, що у нього з'явився другий туз?

Вправа$\PageIndex{4}$

Використовуючи позначення, введені в прикладі 4.3.5, показати, що в прикладі Брамса і$x$ Кілгура, якщо позитивна сила 2, то

$$\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x} = \frac 35\ .$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Використовуючи позначення, введене в прикладі 4.3.5, давайте

$$p_x = \left \{ \matrix{ \frac 23 \Bigl(\frac 13\Bigr)^k, & \mbox{if}\,\, x = 2^k, \cr 0, & \mbox{otherwise.}\cr }\right.$$ Показати, що існує рівно одне значення$x$ такого, що якщо ваш конверт містить$x$, то вам слід переключитися.

Вправа *$\PageIndex{6}$

(Тільки для гравців на мосту. З Сазерленда. ²⁵) Припустимо, що ми є декларантом в руці моста, і у нас є король, 9, 8, 7 і 2 певної масті, тоді як у манекена є туз, 10, 5 і 4 тієї ж масті. Припустимо, що ми хочемо зіграти в цей костюм таким чином, щоб максимально збільшити ймовірність того, що в костюмі відсутні невдахи. Починаємо з того, що веде 2 до туза, і відзначимо, що королева опускається зліва від нас. Потім ми ведемо 10 з манекена, а наш правий суперник грає шістку (після гри трійки в першому раунді). Чи повинні ми витонченість або грати за краплю?