CO-6: Застосовуйте основні поняття ймовірності, випадкових варіацій та зазвичай використовуваних статистичних розподілів ймовірностей.
Вступ
В інших розділах в блоці 3 ми почнемо встановлювати зв'язок між ймовірністю та статистикою, щоб ми могли застосувати ці поняття в кінцевій одиниці на статистичному висновку.
Ці поняття перекривають розрив між математикою описової статистики та ймовірністю та істинною «статистикою інференційних», де ми формалізуємо статистичні тести гіпотез.
Іншими словами, теми в Unit 3B надають математичні основи та концепції, які знадобляться для нашого вивчення інференційної статистики.
У попередніх розділах ми вивчили принципи та інструменти, які допомагають нам знаходити ймовірності подій загалом.
Тепер, коли ми стали досвідченим у цьому, ми будемо говорити про випадкові величини.
Як і будь-яка інша величина, випадкові величини можуть приймати кілька значень.
Що відрізняє випадкові величини від інших величин полягає в тому, що значення цих змінних визначаються випадковим випробуванням, випадковою вибіркою або моделюванням.
Імовірності для значень можуть бути визначені теоретичними або спостережливими засобами.
Такі ймовірності відіграють життєво важливу роль у теорії статистичного висновку, нашої кінцевої мети в цьому курсі.
Випадкові величини
Цілі навчання
LO 6.11: Розрізняють дискретні та неперервні випадкові величини
Ми вперше обговорили змінні в розділі «Аналіз дослідницьких даних» курсу. Змінна - характеристика індивіда.
Ми також зробили важливу різницю між категоріальними змінними, значення яких є групами або категоріями (і індивід може бути поміщений в одну з них), і кількісними змінними, які мають числові значення, для яких арифметичні операції мають сенс.
У попередніх розділах ми зосередилися переважно на подіях, які виникають при наявності категоричної змінної на задньому плані: група крові, проколоті вуха (так/ні), стать, своєчасна доставка (так/ні), побічний ефект (так/ні) тощо.
Тепер почнемо розглядати кількісні величини, що виникають при виконанні випадкового експерименту. Нам потрібно буде визначити цей новий тип змінної.
Випадкова величина привласнює унікальне числове значення результату випадкового експерименту.
Випадкову величину можна розглядати як функцію, яка пов'язує саме один з можливих числових результатів до кожного випробування випадкового експерименту. Однак це число може бути однаковим для багатьох випробувань.
Перш ніж ми підемо далі, ось кілька простих прикладів:
ПРИКЛАД: Теортичне
Розглянемо випадковий експеримент по перевертанню монети двічі.
- Простір вибірки можливих результатів є S = {HH, HT, TH, TT}.
Тепер давайте визначимо змінну X, щоб бути кількість хвостів, що випадковий експеримент буде виробляти.
- Якщо результат HH, у нас немає хвостів, тому значення для X дорівнює 0.
- Якщо результат HT, ми отримали один хвіст, тому значення для X дорівнює 1.
- Якщо результат TH, ми знову отримали один хвіст, тому значення для X дорівнює 1.
- Нарешті, якщо результат TT, ми отримали два хвости, так що значення для X 2.
Як випливає з визначення, X - це кількісна змінна, яка приймає можливі значення 0, 1 або 2.
Це випадково, тому що ми не знаємо, яке з трьох значень змінна в кінцевому підсумку прийме.
Ми можемо задавати такі питання, як:
- Яка ймовірність того, що Х буде дорівнює 2? Іншими словами, яка ймовірність отримати 2 хвоста?
- Яка ймовірність того, що Х буде хоча б 1? Іншими словами, яка ймовірність отримати хоча б 1 хвіст?
Як бачите, випадкові величини насправді не нова річ, а просто інший спосіб подивитися на ту ж проблему.
Зверніть увагу, що якби ми кинули монету три рази, можливі значення для кількості хвостів були б 0, 1, 2 або 3. Загалом, якщо ми кидаємо монету «n» раз, можлива кількість хвостів буде 0, 1, 2, 3,... або n.
ПРИКЛАД: Спостережний
Розглянемо отримання даних з випадкової вибірки про кількість вух, в яких людина носить одну або кілька сережок.
Ми визначаємо змінну X як кількість вух, в яких випадково вибрана людина носить сережку.
- Якщо обрана людина не носить ніяких сережок, то Х = 0.
- Якщо обрана людина носить сережки або в ліве, або в праве вухо, то Х = 1.
- Якщо обрана людина носить сережки в обидва вуха, то Х = 2.
Як випливає з визначення, X - це кількісна змінна, яка приймає можливі значення 0, 1 або 2.
Ми можемо задавати такі питання, як:
- Яка ймовірність того, що у випадково обраної людини з'являться сережки в обох вухах?
- Яка ймовірність того, що випадково обраний людина не буде носити ніяких сережок ні в одному вусі?
ПРИМІТКА... Перший приклад ми визначили як теоретичний, а другий - як спостережний.
Давайте обговоримо відмінність.
- Щоб відповісти на питання ймовірності про теоретичну ситуацію, нам потрібні лише принципи ймовірності.
- Однак, якщо ми маємо спостережну ситуацію, єдиним способом відповісти на питання ймовірності є використання відносної частоти, яку ми отримуємо з випадкової вибірки.
Ось інший тип прикладу:
ПРИКЛАД: Легкий боксер
Припустимо, ми вибираємо легкого чоловіка-боксера навмання і записуємо його точну вагу.
Згідно з правилами боксу, легкий боксер чоловічої статі повинен важити від 130 до 135 фунтів, тому простір зразка тут
- S = {Всі числа в інтервалі 130-135}.
Зверніть увагу, що ми не можемо перерахувати всі можливі результати тут!
Ми визначимо X, щоб бути вагою боксера знову, як випливає з визначення, X - кількісна змінна, значення якої є результатом нашого випадкового експерименту.
Тут X може приймати будь-яке значення між 130 і 135.
Ми можемо задавати такі питання, як:
- Яка ймовірність того, що Х буде більше 132? Іншими словами, яка ймовірність того, що боксер буде важити більше 132 фунтів?
- Яка ймовірність того, що Х буде між 131 і 133? Іншими словами, яка ймовірність того, що боксер важить від 131 до 133 фунтів?
Яка різниця між випадковими величинами в цих прикладах? Давайте подивимося:
- Всі вони виникають з випадкового експерименту (кидання монети двічі, вибір людини навмання, вибір легкого боксера навмання).
- Всі вони кількісні (кількість хвостів, кількість вух, вага).
Там, де вони відрізняються, це тип можливих значень, які вони можуть приймати:
- У перших двох прикладах X має три різних можливих значення: 0, 1 і 2. Їх можна перерахувати.
- На відміну від цього, у третьому прикладі X приймає будь-яке значення в інтервалі 130-135, і таким чином можливі значення X охоплюють нескінченний діапазон можливостей і не можуть бути перераховані.
Типи випадкових величин
Випадкова величина, подібна до тієї, що в перших двох прикладах, можливі значення якої є списком різних значень, називається дискретною випадковою величиною.
Випадкова величина, подібна до того, що в третьому прикладі, яка може приймати будь-яке значення в інтервалі, називається безперервною випадковою величиною.
Основна відмінність між цими двома типами випадкових величин полягає в тому, що,
- хоча вони обидва можуть приймати потенційно нескінченну кількість значень,
- для дискретних випадкових величин завжди існує GAP між будь-якими двома можливими значеннями
- тоді як для безперервних випадкових величин немає прогалин у діапазоні можливих значень - він може приймати будь-яке значення в інтервалі; наша точність вимірювання обмежена лише нашим рівнем технологій у прийнятті цього вимірювання.
Подібно до того, як різниця між категоріальними та кількісними змінними була важливою в дослідницькому аналізі даних, тут важлива різниця між дискретними та безперервними випадковими величинами, оскільки кожна з них отримує різну обробку, коли мова йде про обчислення ймовірностей та інших величин, що представляють інтерес.
Перш ніж йти далі, слід згадати кілька спостережень про природу дискретних і неперервних випадкових величин.
Коментарі:
- Іноді безперервні випадкові величини «округлені» і тому «в дискретній маскуванні». Наприклад:
- час, проведений за переглядом телевізора через тиждень, округлений до найближчої години (або хвилини)
- температура зовнішнього повітря, до найближчого градуса
- вага людини, до найближчого фунта.
Незважаючи на те, що вони «виглядають» як дискретні змінні, це все ще безперервні випадкові величини, і ми в більшості випадків будемо розглядати їх як такі.
- З іншого боку, є деякі змінні, які мають дискретний характер, але приймають так багато різних можливих значень, що буде набагато простіше розглядати їх як безперервні, а не дискретні.
- IQ випадково обраної людини
- оцінка SAT випадково обраного студента
- річна зарплата випадково обраного генерального директора, округлена до найближчого долара або найближчого цента
- Іноді ми маємо дискретну випадкову величину, але не знаємо ступеня її можливих значень.
- Наприклад: Скільки аварій відбудеться на конкретному перехресті в цьому місяці?
- Ми можемо знати з раніше зібраних даних, що це число від 0-5. Але, 6, 7 або більше аварій можуть бути можливі.
- Хорошим правилом є те, що дискретні випадкові величини - це речі, які ми рахуємо, тоді як безперервні випадкові величини - це те, що ми вимірюємо.
- Ми порахували кількість хвостиків і кількість вух з сережками. Це були дискретні випадкові величини.
- Ми виміряли вагу полегшеного боксера. Це була безперервна випадкова величина.
Часто ми можемо мати предмет, для якого ми можемо збирати дані, які можуть включати дискретну або безперервну випадкову величину, залежно від інформації, яку ми хочемо знати.
ПРИКЛАД: Безалкогольні напої
Припустимо, ми хочемо знати, скільки днів на тиждень ви п'єте безалкогольний напій.
- Простір зразка буде S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
- Існує кінцева кількість значень для цієї змінної.
- Це була б дискретна випадкова величина.
Натомість припустимо, що ми хочемо знати, скільки унцій безалкогольних напоїв ви споживаєте на тиждень.
- Навіть якщо ми округлимо до найближчої унції, відповідь - вимір.
- Таким чином, це була б безперервна випадкова величина.
ПРИКЛАД: x-bar
Припустимо, нас цікавлять ваги всіх самців.
- Ми беремо випадковий зразок і отримуємо середнє значення для цього зразка, а саме x-bar.
- Потім ми беремо ще один випадковий зразок (з таким же розміром вибірки) і отримуємо ще один x-бар.
- Ми очікуємо, що значення x-бар з цих двох зразків будуть різними, але досить близькими за значенням.
- Кожен раз, коли ми беремо зразок, ми отримаємо інший x-бар.
- Ми візьмемо багато зразків і таким чином отримаємо багато значень x-bar.
Значення x-bar з цих повторюваних зразків є випадковою величиною.
Оскільки він може приймати будь-яке значення в межах інтервалу можливих чоловічих ваг, це безперервна випадкова величина.
Ми приділяємо велику увагу випадковим величинам, оскільки випадкові величини та ймовірності, які пов'язані з ними, відіграють життєво важливу роль у теорії, що стоїть за статистичним висновком, нашою кінцевою метою в цьому курсі.
Ми почнемо з дискретних випадкових величин, включаючи обговорення біноміальних випадкових величин, а потім перейдемо до безперервних випадкових величин, де ми формалізуємо наше розуміння нормального розподілу.
