Факторіали та комбіновані позначення
- Page ID
- 97288
Результати навчання
- Оцініть факторіал.
- Використовуйте комбіновані позначення для додатків статистики.
Коли нам потрібно обчислити ймовірності, нам часто потрібно кілька низхідних чисел. Наприклад, якщо є колода з 52 карт, і ми хочемо вибрати п'ять з них без заміни, то є 52 варіанти для першого вибору, 51 вибір для другого вибору, оскільки одна карта вже вибрана, 50 варіантів для третьої, 49 варіантів для четвертого і 48 для п'ятої. Якщо ми хочемо дізнатися, скільки існує різних результатів, ми можемо використовувати те, що ми називаємо принципом множення, і множинним їх:\(52\times51\times50\times49\times48\). Якби ми хотіли вибрати всі 52 карти по одній, то цей список був би надмірно довгим. Замість цього є позначення, яке описує множення аж до 1, називається факторіал. Це повинно бути захоплюючим, так як ми використовуємо символ «!» для факторіала.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Розрахувати\(4!\)
Рішення
Ми використовуємо визначення, яке говорить почати з 4 і множити, поки ми не отримаємо 1:
\[4!\:=\:4\times3\times2\times1\:=\:24 \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Якщо ми забираємо 5 карт з 52 карткової колоди без заміни і ті ж два набори по 5 карт, але в різному порядку, вважаються різними, скільки наборів з 5 карт?
Рішення
З вступу кількість наборів становить якраз:
\[52\times51\times50\times49\times48 \nonumber \]
Це не зовсім факторіал, оскільки він зупиняється на 48; однак, ми можемо думати про це як про\(47!\) видалений\(52!\) з нього. Іншими словами, нам потрібно знайти
\[\frac{52!}{47!} \nonumber \]
Ми могли б просто помножити числа з оригінального списку, але це гарна ідея, щоб потренуватися з калькулятором або комп'ютером, щоб знайти це за допомогою! символ. Коли ви все-таки використовуєте технологію, ви повинні отримати:
\[\frac{52!}{47!}=311,875,200 \nonumber \]
комбінації
Одним з найважливіших застосувань факторіалів є комбінації, які підраховують кількість способів вибору меншої колекції з більшої колекції, коли порядок не важливий. Наприклад, якщо в кімнаті 12 осіб і ви хочете вибрати команду з 4 з них, то кількість можливостей використовує комбінації. Ось визначення:
Визначення: Комбінації
Кількість способів вибору k елементів без заміни з колекції n позицій, коли замовлення не має значення:
\[\binom{n}{r}\:=\:_nC_r\:=\:\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}\]
Зверніть увагу, що є кілька позначень. Перший є більш математичним позначенням, а другий - це позначення, яке використовує калькулятор. Наприклад, в калькуляторі TI 84+ позначення кількості комбінацій при виборі 4 з колекції 12 такі:
\[12\:_nC_r\:4 \nonumber\]
Є багато інтернет-сайтів, які будуть виконувати комбінації. Наприклад, математика весело сайт просить вас ввести,\(n\)\(r\) а також вказати, чи важливий порядок і повторення дозволено. Якщо ви натиснете, щоб зробити обидва «ні», то ви отримаєте комбінації.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Розрахувати
\[\binom{15}{11}=_{15}C_{11} \nonumber\]
Рішення
Незалежно від того, чи використовуєте ви калькулятор для рук або комп'ютер, ви повинні отримати номер:\(1365\)
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Імовірність виграшу лотереї Powerball, якщо ви купуєте один квиток:
\[P(win)=\frac{1}{_{69}C_5\times26} \nonumber \]
Обчисліть цю ймовірність.
Рішення
Для початку давайте розрахуємо\(_{69}C_5\). Використовуючи калькулятор або комп'ютер, ви повинні отримати 11 238 513. Далі множимо на 26, щоб отримати
\[11,238,513 \times 26=292,201,338 \nonumber \]
Таким чином, є один в 292,201,338 шанс виграти Powerball лотереї, якщо ви купуєте квиток. Ми також можемо записати це як десяткове шляхом ділення:
\[P\left(win\right)=\frac{1}{292,201,338}=0.000000003422 \nonumber \]
Як бачите, ваші шанси на перемогу в Powerball дуже малі.
Вправа
Клас заповнений 28 студентів, і буде один президент класу і «Конгрес» з 4 інших обраних. Кількість різних можливостей лідерської групи:
\[28\times_{27}C_4 \nonumber\]
Обчисліть це число, щоб дізнатися, скільки різних можливостей лідерської групи існує.