Об'єднання та перетин двох множин
- Page ID
- 97313
Результати навчання
- Знайдіть об'єднання двох наборів.
- Знайдіть перетин двох множин.
- Поєднуйте союзи перетинів і доповнює.
Всі класи статистики включають питання про ймовірності, пов'язані з об'єднанням і перетинами множин. В англійській мові ми використовуємо слова «Або», і «І» для опису цих понять. Наприклад, «Знайдіть ймовірність того, що учень бере клас математики або клас науки». Тобто виражаючи об'єднання двох наборів у словах. «Яка ймовірність того, що медсестра має ступінь бакалавра і більше п'яти років досвіду роботи в лікарні». Тобто виражаючи перетин двох множин. У цьому розділі ми навчимося розшифровувати ці типи пропозицій і дізнаємося про значення спілок і перетинів.
Профспілки
Елемент знаходиться в об'єднанні двох множин, якщо він знаходиться в першому наборі, другому множині або обох. Символ, який ми використовуємо для союзу - це\(\cup\). Слово, яке ви часто побачите, що вказує на союз, - це «або».
Приклад\(\PageIndex{1}\): Union of Two sets
Нехай:
\[A=\left\{2,5,7,8\right\} \nonumber\]
і
\[B=\lbrace1,4,5,7,9\rbrace \nonumber \]
Знайти\(A\cup B\)
Рішення
Включаємо в об'єднання кожне число, яке знаходиться в А або знаходиться в B:
\[A\cup B=\left\{1,2,4,5,7,8,9\right\} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{2}\): Union of Two sets
Розглянемо наступне речення: «Знайдіть ймовірність того, що домогосподарство має менше 6 вікон або має десяток вікон». Запишіть це в множинному позначенні як об'єднання двох множин, а потім випишіть цей союз.
Рішення
По-перше, нехай A - набір кількості вікон, що представляє «менше 6 вікон». У цей набір входять всі цифри від 0 до 5:
\[A=\left\{0,1,2,3,4,5\right\} \nonumber \]
Далі, нехай B буде набір кількості вікон, що представляє «має десяток вікон». Це всього лише набір, який містить єдине число 12:
\[B=\left\{12\right\} \nonumber \]
Тепер ми можемо знайти об'єднання цих двох наборів:
\[A\cup B=\left\{0,1,2,3,4,5,12\right\} \nonumber \]
Перехрестя
Елемент знаходиться в перетині двох множин, якщо він знаходиться в першому наборі і він знаходиться у другому наборі. Символ, який ми використовуємо для перетину, є\(\cap\). Слово, яке ви часто побачите, що вказує на перетин - «і».
Приклад\(\PageIndex{3}\): Intersection of Two sets
Нехай:
\[A=\left\{3,4,5,8,9,10,11,12\right\} \nonumber \]
і
\[B=\lbrace5,6,7,8,9\rbrace \nonumber \]
Знайти\(A\cap B\).
Рішення
Ми включаємо в перетин лише ті числа, які є як в A, так і в B:
\[A\cap B=\left\{5,8,9\right\} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{4}\): Intersection of Two sets
Розглянемо наступне речення: «Знайдіть ймовірність того, що кількість одиниць, які приймає учень, становить більше 12 одиниць і менше 18 одиниць». Припускаючи, що учні беруть лише цілу кількість одиниць, запишіть це в множинних позначеннях як перетин двох множин, а потім випишіть це перетин.
Рішення
По-перше, нехай A - це набір чисел одиниць, що представляє «більше 12 одиниць». Цей набір включає в себе всі номери, починаючи з 13 і продовжуючись назавжди:
\[A=\left\{13,\:14,\:15,\:...\right\} \nonumber \]
Далі, нехай B буде набір кількості одиниць, що представляє «менше 18 одиниць». Це набір, який містить цифри від 1 до 17:
\[B=\left\{1,\:2,\:3,\:...,\:17\right\} \nonumber \]
Тепер ми можемо знайти перетин цих двох множин:
\[A\cap B=\left\{13,\:14,\:15,\:16,\:17\right\} \nonumber \]
Поєднання об'єднань, перетинів та доповнень
Однією з найбільших проблем в статистиці є розшифровка речення і перетворення його в символи. Це може бути особливо важко, коли є речення, яке не має слів «союз», «перетин» або «доповнення», але воно неявно посилається на ці слова. Найкращий спосіб освоїти цю навичку - практикувати, практикувати та практикувати більше.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Розглянемо наступне речення: «Якщо ви катаєте шестигранну матрицю, знайдіть ймовірність того, що вона не рівна, і це не 3». Запишіть це у встановлених позначеннях.
Рішення
По-перше, нехай A - набір парних чисел, а B - набір, який містить лише 3. Ми можемо написати:
\[A=\left\{2,4,6\right\},\:\:\:B\:=\:\left\{3\right\} \nonumber \]
Далі, оскільки ми хочемо «не навіть», нам потрібно розглянути доповнення A:
\[A^c=\left\{1,3,5\right\} \nonumber \]
Аналогічно, оскільки ми хочемо «не 3», нам потрібно розглянути доповнення B:
\[B^c=\left\{1,2,4,5,6\right\} \nonumber \]
Нарешті, помічаємо ключове слово «і». Таким чином, нас просять знайти:
\[A^c\cap B^c=\:\left\{1,3,5\right\}\cap\left\{1,2,4,5,6\right\}=\left\{1,5\right\} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Розглянемо наступне речення: «Якщо випадковим чином вибрати людину, знайдіть ймовірність того, що людина старше 8 або обидва молодше 6 і не молодше 3». Запишіть це у встановлених позначеннях.
Рішення
По-перше, нехай A - це набір людей старше 8, B - набір людей молодше 6, а С - набір людей молодше 3. Ми можемо написати:
\[A=\left\{x\mid x>8\right\},\:\:\:B\:=\:\left\{x\mid x<6\right\},\:C=\left\{x\mid x<3\right\} \nonumber \]
Нас просять знайти
\[A\cup\left(B\cap C^c\right) \nonumber \]
Зверніть увагу, що доповнення "\(< \)" є "\(\ge\)». Таким чином:
\[C^c=\left\{x\mid x\ge3\right\} \nonumber \]
Далі знаходимо:
\[B\cap C^c=\left\{x\mid x<6\right\}\cap\left\{x\mid x\ge3\right\}=\left\{x\mid3\le x<6\right\} \nonumber \]
Нарешті, ми знаходимо:
\[A\cup\left(B\cap C^c\right)=\:\left\{x\mid x>8\right\}\cup\left\{x\mid3\le x<6\right\} \nonumber \]
Найчіткіший спосіб відображення цього об'єднання знаходиться на числовому рядку. У цифровому рядку нижче відображається відповідь:
Вправа
Припустимо, що ми вибираємо людину навмання і зацікавлені у виявленні ймовірності того, що місяць народження людини настав після липня і не настав після вересня. Запишіть цю подію за допомогою встановлених позначень.