14.4: Стандартна помилка кошторису

Цілі навчання

• Складіть судження про розмір стандартної похибки кошторису з розкидного графіка
• Обчислити стандартну похибку оцінки на основі похибок прогнозування
• Обчислити стандартну помилку, використовуючи кореляцію Пірсона
• Оцініть стандартну похибку кошторису на основі вибірки

$\PageIndex{1}$На малюнку показані два приклади регресії. Ви можете бачити, що в$\text{Graph A}$, точки знаходяться ближче до лінії, ніж вони знаходяться в$\text{Graph B}$. Тому прогнози в більш$\text{Graph A}$ точні, ніж в$\text{Graph B}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Регресії, що відрізняються точністю прогнозування

Стандартна похибка оцінки - міра точності прогнозів. Нагадаємо, що лінія регресії - це лінія, яка мінімізує суму квадратних відхилень прогнозування (також називається помилкою суми квадратів). Стандартна похибка кошторису тісно пов'язана з цією величиною і визначається нижче:

$$\sigma _{est}=\sqrt{\frac{\sum (Y-Y')^2}{N}}$$

де$\sigma _{est}$ стандартна похибка оцінки,$Y$ є фактичним балом,$Y'$ є прогнозованим балом, і$N$ є кількістю пар балів. Чисельник - це сума квадратних відмінностей між фактичними балами та прогнозованими балами.

Відзначимо схожість формули$\sigma _{est}$ для з формулою для σ. Виходить, що σ est - це стандартне відхилення похибок прогнозування (кожна$Y - Y'$ - похибка прогнозування).

Припустимо, що дані в таблиці$\PageIndex{1}$ є даними з популяції з п'яти$X$$Y$ пар.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Приклад даних

	Х	У	Y'	Y-Y'	(Y-Y') ^2
	1.00	1.00	1.210	-0.210	0,044
	2.00	2.00	1,635	0,365	0.133
	3.00	1.30	2.060	-0.760	0,578
	4.00	3.75	2.485	1.265	1.600
	5.00	2.25	2.910	-0.660	0,436
Сума	15.00	10.30	10.30	0.000	2.791

Останній стовпець показує, що сума квадратів похибок прогнозування дорівнює$2.791$. Тому стандартна похибка кошторису становить

$$\sigma _{est}=\sqrt{\frac{2.791}{5}}=0.747$$

Існує версія формули стандартної помилки з точки зору кореляції Пірсона:

$$\sigma _{est}=\sqrt{\frac{(1-\rho )^2SSY}{N}}$$

де$ρ$ - популяційна цінність кореляції Пірсона і$SSY$

$$SSY=\sum (Y-\mu _Y)^2$$

Для даних у таблиці$\PageIndex{1}$$μ_Y = 2.06$,$SSY = 4.597$ і$ρ= 0.6268$. Тому,

$$\sigma _{est}=\sqrt{\frac{(1-0.6268^2)(4.597)}{5}}=\sqrt{\frac{2.791}{5}}=0.747$$

яке є тим самим значенням, обчисленим раніше.

Подібні формули використовуються, коли стандартна похибка оцінки обчислюється з вибірки, а не сукупності. Різниця лише в тому, що знаменник - це$N-2$ скоріше ніж$N$. Причина$N-2$ використовується, а не в$N-1$ тому, що два параметри (нахил і перехоплення) були оцінені для того, щоб оцінити суму квадратів. Формули для вибірки, порівнянної з тими для популяції, наведені нижче.

$$s _{est}=\sqrt{\frac{\sum (Y-Y')^2}{N-2}}$$

$$s _{est}=\sqrt{\frac{2.791}{3}}=0.964$$

$$s _{est}=\sqrt{\frac{(1-r)^2SSY}{N-2}}$$