МЕТА НАВЧАННЯ
- Як споживач повинен знайти найнижчу ціну, коли доступні ціни є випадковими?
У більшості громад продуктові магазини щосереди рекламують ціни продажу в газетній вставці, і ці ціни можуть варіюватися від тижня до тижня та від магазину до магазину. Ціна бензину може варіюватися цілих 15 центів за галон в радіусі однієї милі. Якщо ви вирішите придбати певний телевізор Sony, ви можете побачити різні ціни в Best Buy та інших роздрібних продавців електроніки. Для багатьох товарів та послуг існує значна різниця в цінах, що означає, що покупці отримують вигоди для пошуку найкращої ціни.
Теорія споживчої пошукової поведінки лише трохи таємна, але основне розуміння буде досить інтуїтивним. Загальна ідея полягає в тому, що з точки зору покупця ціна, яка пропонується, є випадковою і має функцію щільності ймовірності f (p). Якщо споживач стикається з витратами на пошук (наприклад, якщо вам потрібно відвідати магазин особисто, телефонно або віртуально - вартість включає ваш час та будь-які інші витрати, необхідні для отримання цінової пропозиції), споживач встановлює ціну бронювання, яка є максимальною ціною, яку він заплатить без відвідування іншого магазину. Тобто, якщо магазин пропонує ціну нижче p*, споживач буде купувати; інакше він відвідає інший магазин, сподіваючись на кращу ціну.
Зателефонуйте за ціною бронювання p*, і припустимо, що вартість пошуку становить c., Нехай J (p*) представляють очікувану загальну вартість покупки (включаючи витрати на пошук). Тоді J повинен дорівнювати\(\begin{equation}J(p*)=c+ ∫ 0 p* pf(p)dp + ∫ p* ∞ J(p*)f(p)dp\end{equation}\).
Це рівняння виникає тому, що поточний нічия (який коштує c) може призвести до ціни менше p*, в цьому випадку спостережувана ціна, з щільністю f, визначатиме ціну, сплачену р; або ціна буде занадто високою, і в цьому випадку споживач збирається взяти інший нічия, за вартістю c, і в середньому отримати середня ціна J (p*). Корисно ввести кумулятивну функцію розподілу F, с\(\begin{equation}F(x)=\int 0 \times f(p) d p\end{equation}\). Зверніть увагу, що щось має статися, тому F (∞) = 1.
Ми можемо вирішити рівність за\(\begin{equation}J(p*), J(p*)= ∫ 0 p* pf(p)dp +c F(p*) \end{equation}\).
Цей вислів має просте тлумачення. Очікувана ціна J (p*) складається з двох термінів. Перший - очікувана ціна, яка є\(\begin{equation}\int 0 \mathrm{p}^{*} \mathrm{p} \mathrm{f}(\mathrm{p}) \mathrm{F}\left(\mathrm{p}^{*}\right) \mathrm{dp}\end{equation}\). Це має інтерпретацію середньої ціни, обумовленої тим, що ціна менше p*. Це пов'язано з тим, що f (p) F (p*) насправді щільність випадкової величини, яка є ціною, враховуючи, що ціна менше p*. Другий член - c F (р*). Це очікувана вартість пошуку, і вона виникає тому, що 1 F (p*) - очікувана кількість пошуків. Це виникає тому, що шанси отримати ціну, досить низьку, щоб бути прийнятною, є F (p*). Існує загальне статистичне властивість, що лежить в основі кількості пошуків. Розглянемо баскетболіста, який успішно стріляє штрафним кидком з ймовірністю y. скільки м'ячів, в середньому, він повинен кинути, щоб потопити одну корзину? Відповідь 1/у. Щоб побачити це, зверніть увагу, що ймовірність того, що потрібно рівно n кидків, дорівнює\(\begin{equation}(1-y)^{n-1}\end{equation}\) y. Це тому, що n потрібні означає, що n — 1 має вийти з ладу (ймовірність (1 — y) n—1), а потім решта кидків входить, з ймовірністю y. Таким чином, очікувана кількість кидків дорівнює
\ почати {рівняння} y + 2 (1-й) y + 3 (1-й) 2 y + 4 (1-й) 3 y+... =y (1 + 2 (1-й) + 3 (1-й) 2 + 4 (1-й) 3 +...) =y ((1 + (1-й) + (1-й) 2 + (1-й) 3 +...) + (1−y) (1 + (1-й) у) + (1-й) 2 + (1-й) 3 +...) = (1−у) 2 (1 + (1-й) + (1-й) 2 + (1-й) 3 +...) + (1−й) 3 (1 + (1-й) + (1-й) 2 +...) +... =у (1 у + (1−й) 1 y + (1−у) 2 y + (1−у) (1−й) 3 1 у +...) = 1 у. \ end {рівняння}
Наша проблема має ту саму логіку - де успішний баскетбольний кидок відповідає знаходженню ціни менше, ніж p*.
Очікувана загальна вартість покупки, враховуючи ціну бронювання p*, визначається\(\begin{equation} J(p*)= ∫ 0 p* pf(p)dp +c F(p*) .\end{equation}\)
Але яке значення p* мінімізує вартість? Почнемо з диференціації
\ почати {рівняння} J ′ (р*) =p* f (р*) F (р*) − f (р*) 0 п* пф (р) дп +c F (р*) 2= f (р*) F (р*) F (р*) (р*) (р*) (р*) Дж (р*)). \ end {рівняння}
Таким чином, якщо p* < J (p*), J зменшується, і це знижує вартість збільшення р*. Аналогічно, якщо p* > J (p*), J збільшується в p*, і це зменшує витрати на зменшення p*. Таким чином, мінімізація відбувається в точці, де p* = J (p*).
Причому існує тільки одне таке рішення рівняння p* = J (p*) в діапазоні, де f позитивне. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що при будь-якому розв'язку рівняння p* = J (p*), J ′ (р*) =0 і
\ почати {рівняння} J ″ (р*) = д дп* (ф (р*) F (р*) (р*) (р*−J (р*)) = (д дп* ф (р*) F (р*)) (р*)) + f (р*) F (р*) (п*) (1− J ′ (р*)) = f (р*) F (р*)) > 0\ end {рівняння}
Це означає, що J приймає мінімум при цьому значенні, оскільки його перша похідна дорівнює нулю, а друга похідна додатна, і це вірно щодо будь-якого рішення p* = J (p*). Якби було два таких рішення, J ′ повинен бути як позитивним, так і негативним на проміжку між ними, так як J збільшується праворуч від першого (нижнього), і зменшується ліворуч від другого (вище). Отже, рівняння p* = J (p*) має унікальне рішення, яке мінімізує витрати на покупку.
Споживчий пошук для мінімізації витрат диктує встановлення ціни бронювання, рівної очікуваної загальної вартості придбання товару, та придбання кожного разу, коли запропонована ціна нижча за цей рівень. Тобто, нерозумно «триматися» за ціну нижчу, ніж ви очікуєте платити в середньому, хоча це може бути корисним у контексті торгів, а не в контексті пошуку магазину.
Приклад (Uniform): Припустимо, що ціни рівномірно розподілені на інтервалі [a, b]. Для p* в цьому інтервалі
\ begin {рівняння} J (р*) = 0 п* пф (р) дп +c F (р*) = а р* р дп b−a +c p*−a = ½ (р* 2 − a 2) +c (b−a) p*−a =½ (р*+а) + c (b−a) p*−a. \ end {рівняння}
Таким чином, умовою першого порядку мінімізації витрат є\(\begin{equation}0=J^{\prime}\left(p^{*}\right)=1 / 2-c(b-a)\left(p^{*}-a\right) 2\end{equation}\), що має на увазі\(\begin{equation}p^{*}=a+2 c(b-a)\end{equation}\).
Є пара цікавих спостережень з приводу такого рішення. По-перше, не дивно, так як c → 0, p* → α; тобто, оскільки витрати на пошук йдуть до нуля, один тримається за мінімально можливу ціну. Це розумно в контексті моделі, але в реальних пошукових ситуаціях затримка також може мати вартість, яка тут не моделюється. По-друге, p* < b, максимальна ціна, якщо 2c < (b — a). Іншими словами, якщо найбільше ви можете заощадити за допомогою пошуку вдвічі більше вартості пошуку, то не шукайте, тому що очікуваний прибуток від пошуку складе половину максимального прибутку (завдяки рівномірному розподілу) і пошук буде невигідним.
Третє спостереження, яке є набагато більш загальним, ніж конкретний єдиний приклад, полягає в тому, що очікувана ціна є увігнутою функцією вартості пошуку (друга похідна негативна). Тобто, по суті, вірно для будь-якого дистрибутива. Щоб переконатися в цьому, визначте функцію\(\begin{equation}H(c)=\min p^{*} J\left(p^{*}\right)=\min p^{*} \int 0 p^{*} p f(p) d p+c F\left(p^{*}\right)\end{equation}\). Так як\(\begin{equation}\mathrm{J}^{\prime}\left(\mathrm{p}^{*}\right)=0, \mathrm{H}^{\prime}(\mathrm{c})=\partial \partial \mathrm{c} \mathrm{J}\left(\mathrm{p}^{*}\right)=1 \mathrm{F}\left(\mathrm{p}^{*}\right)\end{equation}\)
Звідси потрібно лише скромні зусилля, щоб показати, що p* збільшується в c, з чого випливає, що H увігнута. Це означає, що збільшується віддача від зменшення витрат на пошук, оскільки очікувана загальна ціна пошуку зменшується зі зростаючою швидкістю, оскільки вартість пошуку зменшується.
