7: Булева алгебра
- Page ID
- 101539
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Усі арифметичні операції, що виконуються з булевими величинами, мають лише один з двох можливих результатів: 1 або 0. У булевому світі немає такого поняття, як «2» або «-1» або «1/2». Це світ, в якому всі інші можливості недійсні фіатом. Як можна здогадатися, це не та математика, яку ви хочете використовувати при балансуванні чекової книжки або розрахунку струму через резистор. Однак Клод Шеннон з MIT слави визнав, як булева алгебра може бути застосована до ланцюгів включення-виключення, де всі сигнали характеризуються або як «високий» (1) або «низький» (0).
- 7.2: Булева арифметика
- У логічній математиці додавання еквівалентно логічній функції АБО, множення еквівалентно функції логіки І, а доповнення еквівалентно функції логіки НЕ.
- 7.3: Булеві алгебраїчні ідентичності
- У математиці ідентичність - це твердження, істинне для всіх можливих значень її змінної або змінних. Алгебраїчна ідентичність x + 0 = x говорить нам, що все (x), додане до нуля, дорівнює оригінальному «що-небудь», незалежно від того, яке значення може бути «що-небудь» (x). Як і звичайна алгебра, булева алгебра має свої унікальні ідентичності, засновані на двовалентних станах булевих змінних.
- 7.4: Булеві алгебраїчні властивості
- Комутативні, асоціативні та розподільні властивості застосовуються до булевої алгебри.
- 7.5: Булеві правила спрощення
- Булева алгебра знаходить своє найбільш практичне застосування в спрощенні логічних схем. Якщо ми переведемо функцію логічної схеми в символічну (булеву) форму і застосуємо певні алгебраїчні правила до отриманого рівняння, щоб зменшити кількість термінів і/або арифметичних операцій, спрощене рівняння може бути переведено назад у форму схеми для логічної схеми, що виконує ту саму функцію з менша кількість компонентів.
- 7.7: Ексклюзивна функція або - ворота XOR
- Один елемент, який явно відсутній у наборі логічних операцій, - це елемент Exclusive-OR, часто представлений як XOR. У той час як функція OR еквівалентна логічному додаванню, функція І для булевого множення, а функція НЕ (інвертор) для булевого доповнення, немає прямого логічного еквівалента для Exclusive-OR. Це не завадило людям розробити символ для представлення цих логічних воріт, хоча.
- 7.8: Теореми ДеМоргана
- Математик на ім'я ДеМорган розробив пару важливих правил щодо доповнення групи в булевій алгебрі. За груповим доповненням я маю на увазі доповнення групи термінів, представлених довгою смугою над більш ніж однією змінною.
- 7.9: Перетворення таблиць істинності в логічні вирази
- При проектуванні цифрових схем дизайнер часто починає з таблиці істинності, що описує, що схема повинна робити. Завдання проектування багато в чому полягає у визначенні того, який тип схеми буде виконувати функцію, описану в таблиці істинності. Існують процедурні методи, і булева алгебра доводить свою корисність найбільш драматичним чином.