7: Булева алгебра

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 6.6: Програмовані логічні контролери (PLC)
- 7.1: Вступ до булевої алгебри

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Усі арифметичні операції, що виконуються з булевими величинами, мають лише один з двох можливих результатів: 1 або 0. У булевому світі немає такого поняття, як «2» або «-1» або «1/2». Це світ, в якому всі інші можливості недійсні фіатом. Як можна здогадатися, це не та математика, яку ви хочете використовувати при балансуванні чекової книжки або розрахунку струму через резистор. Однак Клод Шеннон з MIT слави визнав, як булева алгебра може бути застосована до ланцюгів включення-виключення, де всі сигнали характеризуються або як «високий» (1) або «низький» (0).

7.1: Вступ до булевої алгебри
7.2: Булева арифметика
У логічній математиці додавання еквівалентно логічній функції АБО, множення еквівалентно функції логіки І, а доповнення еквівалентно функції логіки НЕ.
7.3: Булеві алгебраїчні ідентичності
У математиці ідентичність - це твердження, істинне для всіх можливих значень її змінної або змінних. Алгебраїчна ідентичність x + 0 = x говорить нам, що все (x), додане до нуля, дорівнює оригінальному «що-небудь», незалежно від того, яке значення може бути «що-небудь» (x). Як і звичайна алгебра, булева алгебра має свої унікальні ідентичності, засновані на двовалентних станах булевих змінних.
7.4: Булеві алгебраїчні властивості
Комутативні, асоціативні та розподільні властивості застосовуються до булевої алгебри.
7.5: Булеві правила спрощення
Булева алгебра знаходить своє найбільш практичне застосування в спрощенні логічних схем. Якщо ми переведемо функцію логічної схеми в символічну (булеву) форму і застосуємо певні алгебраїчні правила до отриманого рівняння, щоб зменшити кількість термінів і/або арифметичних операцій, спрощене рівняння може бути переведено назад у форму схеми для логічної схеми, що виконує ту саму функцію з менша кількість компонентів.
7.6: Приклади спрощення схем
7.7: Ексклюзивна функція або - ворота XOR
Один елемент, який явно відсутній у наборі логічних операцій, - це елемент Exclusive-OR, часто представлений як XOR. У той час як функція OR еквівалентна логічному додаванню, функція І для булевого множення, а функція НЕ (інвертор) для булевого доповнення, немає прямого логічного еквівалента для Exclusive-OR. Це не завадило людям розробити символ для представлення цих логічних воріт, хоча.
7.8: Теореми ДеМоргана
Математик на ім'я ДеМорган розробив пару важливих правил щодо доповнення групи в булевій алгебрі. За груповим доповненням я маю на увазі доповнення групи термінів, представлених довгою смугою над більш ніж однією змінною.
7.9: Перетворення таблиць істинності в логічні вирази
При проектуванні цифрових схем дизайнер часто починає з таблиці істинності, що описує, що схема повинна робити. Завдання проектування багато в чому полягає у визначенні того, який тип схеми буде виконувати функцію, описану в таблиці істинності. Існують процедурні методи, і булева алгебра доводить свою корисність найбільш драматичним чином.