14.4: Поріг руху в відкладеннях змішаних розмірів

Вступ

Може здатися, що «поставити візок перед конем», щоб розібратися з порогами руху після того, як вже розглянули транспортні тарифи, але в цьому є певна логіка, оскільки найпоширенішим способом виявлення порогових умов для змішаних відкладень є вимірювання транспортних ставок за кількома значеннями. граничного напруження зсуву, а потім екстраполювати вниз до деякої обраної дуже низької швидкості транспортування, званої еталонною швидкістю транспортування, яка відповідає приблизно тому, що, здається, візуальними спостереженнями, відповідає граничному напруженню зсуву, при якому починається рух. Обговорення в главі 9 про те, як визначити порогову умову в першу чергу, є актуальним тут.

З досліджень як в димоходах, так і в природних потоках цілком зрозуміло, що порогове напруження зсуву для відкладень змішаних розмірів відрізняється від того, що для нерозмірних відкладень. Не слід очікувати, що поріг руху певної фракції розміру в осад змішаного розміру передбачуваний за посиланням на той самий розмір осаду у співвідношенні, як діаграма Щитів (Глава 9), яка, як передбачається, утримується для нерозмірного або дуже добре відсортованого осаду.

Як і у випадку з фракційними транспортними темпами, це результат конкуренції між ефектом ваги частинок, з одного боку, та поєднанням ефекту приховування та ефекту кочення, з іншого боку, є ключем до порогу руху в відкладах змішаних розмірів. Ви повинні очікувати, що до першого наближення пороги руху фракцій розміру в осаду змішаного розміру повинні бути майже однаковими, ніж передбачається, скажімо, діаграмою Щитів для дуже добре відсортованих або нерозмірних осад. Питання, знову ж таки, як і при дробових транспортних швидкостях, полягає в тому, де справжня ситуація лежить між кінцевими крайностями градаційної незалежності (поріг для кожної фракції такий же, як і для тих же розмірів однозначного осаду) і рівною рухливістю (починаються всі розмірні частки змішаного осаду рухатися при однаковому значенні граничного напруження зсуву).

Встановлення сцени

Ось корисна основа для роздумів про пороги в відкладеннях змішаних розмірів, в світлі того, що тільки що було сказано про градаційну незалежність і рівну мобільність:

Градаційна незалежність: Порог для кожної фракції такий же, як якщо б це був нерозмірний осад, отже\(\tau^{*}_{ci}\)\((\tau_{\text{o}c}/\gamma^{\prime}D_{i}\), порогове значення параметра Шилдс (Shields) однакове для всіх фракцій розміру:

\[\tau^{*}_{ci} = \tau^{*}_{cj} \text{ for all } i, j \label{14.1} \]

Ми можемо помасажувати це, встановивши, довільно\(\tau^{*}_{c50}\),\(\tau^{*}_{ci}\) рівне, порогове значення для\(50\) го процентиля осадової суміші. Тобто,

\[ \tau_{ci}/\gamma^{\prime} D_{i} = \tau_{c50}/\gamma^{\prime} D_{50} \label{14.2} \]

Розділення обох сторін\(\gamma^{\prime}\) і зробити трохи алгебри потім показує, що

\[ \tau_{ci}/\tau_{c50} = D_{i}/D_{50} \label{14.3} \]

що виражає умову градаційної незалежності. Це виглядало б як графік на малюнку\(\PageIndex{1}\). Ми можемо перенести це трохи далі, використовуючи визначення\(\tau^{*}: \tau_{ci} = \gamma^{\prime} D_{i}\tau^{*}_{ci}\) і\(\tau_{c50}= \gamma^{\prime} D_{50}\tau^{*}_{50}\), так умова\(\tau_{ci}/\tau_{c50} = D_{i}/D_{50}\) може бути записана

\[\tau^{*}_{ci}/\tau^{*}_{c50} = 1 \label{14.4} \]

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Графік\(\tau_{ci}/\tau_{50}\) vs.\(D_{i}/D_{50}\) для умови градаційної незалежності.

Рівна рухливість: кожна фракція розміру має той самий поріг руху, що і всі інші, і частинки всіх фракцій розміру починають рухатися з однаковим значенням\(\tau_{\text{o}}\):

\[\tau_{ci} = \tau_{cj} \text{ for all } i, j \label{14.5} \]

Знову ми можемо масажувати це, встановивши\(\tau_{ci}\) рівний\(\tau_{c50}\), для зручності, а потім, з деякою алгеброю,

\[\tau_{ci}/\tau_{c50} = 1 \label{14.6} \]

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік\(\tau_{ci}/\tau_{50}\) vs.\(D_{i}/D_{50}\) для умови рівної рухливості.

Це виглядало б як графік на малюнку\(\PageIndex{2}\). Знову ж таки, використовуючи визначення\(\tau^{*}_{ci}\) і\(\tau^{*}_{c50}\), умова\(\tau_{ci} = \tau_{c50}\) може бути записана

\[\tau^{*}_{ci}/\tau^{*}_{c50} = (D_{i}/D_{50}) -1 \label{14.7} \]

Нарешті, об'єднавши результати для обох кінцевих випадків, контраст між незалежністю градації та рівною мобільністю в графічній формі показаний на малюнках\(\PageIndex{3}\) і\(\PageIndex{4}\).

Рисунок\(\PageIndex{3}\): Графік\(\tau_{ci}/\tau_{c50}\) vs.\ (D_ {i} /D_ {50}) для градаційної незалежності та рівної мобільності.

Рисунок\(\PageIndex{4}\): Графік\(\tau^{*}_{ci}/\tau^{*}_{c50}\) vs.\ (D_ {i} /D_ {50}) для умов градаційної незалежності (ГІ) та рівної рухливості (ЕМ).

Деякі реальні дані про порогові значення у відкладеннях змішаних розмірів

Wilcock and Southard (1988), використовуючи ту ж експериментальну схему, описану вище для фракційних транспортних швидкостей, вивчали пороги руху в п'яти партіях відкладень змішаних розмірів, створених спеціально для представлення діапазону середнього розміру та сортування. Три основні партії були обрані, щоб мати середній розмір приблизно,\(1.8\)\(\mathrm{mm}\) але з сортуванням, починаючи від дуже добре відсортованого (стандартне відхилення phi\(0.20\)) до помірно погано відсортованих (стандартне відхилення phi\(0.99\)). Також використовували добре відсортовану тоншу суміш із\(0.66\)\(\mathrm{mm}\) середнім розміром та добре відсортовану грубішу суміш із середнім розміром\(5.31\)\(\mathrm{mm}\). Поріг руху визначався шляхом здійснення декількох пробігів у діапазоні напружень зсуву шару та екстраполяції назад до еталонної швидкості транспортування, обраної відповідно до рівня слабкого руху, який, як правило, було б погоджено представляти порогові умови.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Ділянка граничного напруження зсуву\(\tau_{\text{o}}\) проти\(D_{i}/D\), відношення розміру\(i\) ї фракції до середнього розміру осадової партії, для чотирьох партій осаду. (Змінено з Вілкока і Саутарда, 1988.)

\(\PageIndex{5}\)На малюнку показані результати для чотирьох партій осаду на ділянці\(\tau_{\text{o}}\) проти\(D_{i}/D_{50}\), відношення величини даної фракції до середнього розміру осадової партії. Завдяки різниці в середньому розмірі крива для кожного осаду займає різний діапазон\(\tau_{\text{o}}\), але цікавим є те, що для кожного осаду криві майже горизонтальні, що вказує на близький наближення до рівної рухливості (див. Рівняння\ ref {14.6} і Рисунок\(\PageIndex{2}\) вище).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Ділянка безрозмірного порогового напруги зсуву\(\tau^{*}_{ci}\) шару проти\(D_{i}/D_{50}\) відносного розміру для двох партій осаду майже з однаковим середнім розміром, але різним сортуванням. Відкриті кола, стандартне відхилення фі\(= 0.99\); тверді кола, стандартне відхилення фі\(0.50\). (Змінено з Вілкока і Саутарда, 1988.)

\(\PageIndex{6}\)На малюнку показані результати для порога руху на ділянці\(\tau^{*}_{ci}\), безрозмірне порогове напруження зсуву шару для\(i\) ї фракції\(D_{i}/D\), проти, відношення величини i-ї фракції до середнього розміру осадової партії. У цьому графіку є дві цікаві речі:

1. Тенденція до зниження кривих показує, що результати відповідають умові, близькій до рівної рухливості, тобто прямої лінії з нахилом\(-1\) (порівняйте з Equation\ ref {14.7} та з графіком на малюнку\(\PageIndex{2}\) B).
2. Дві криві майже однакові, показуючи, що сортування осаду мало впливає на пороги окремих фракцій розміру,\(D_{i}/D_{50}\) враховуються одноразові\(D_{50}\) та відносні розміри.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Ділянка безрозмірного порогового напруги зсуву ліжка\(\tau^{*}_{ci}\) проти відносного розміру\(D_{i}/D_{50}\) для лабораторних експериментів (День, 1980; Misri et al., 1984; Dhamotharan et al., 1980; Wilcock, 1987) та польових досліджень (Milhous, 1973).

Малюнок\(\PageIndex{7}\) являє собою сюжет, подібний до тієї, що\(\PageIndex{6}\) на малюнку для відкладень різних лабораторних і польових досліджень. Для цих відкладень також наближається умова рівної рухливості, виражена\(-1\) у вигляді нахилу на ділянці, але не дотримано.

Еквівалентним, але показовим способом подання даних на малюнку\(\PageIndex{7}\) є побудова (рис.\(\PageIndex{7}\)) безрозмірна напруга зсуву порогового шару\(\tau^{*}_{ci}\) проти безрозмірної змінної\(D^{3} \gamma^{\prime} \rho/\mu^{2}\) (прийнятої тут до половинної потужності), яка є нерозмірністю розміру частинок певним чином що не передбачає напруження зсуву ліжка. Крива Щита для порогу руху відображається на цьому графіку як суцільна крива. Схил вниз кожної з кривих, визначених точками даних, чітко показує, що більш дрібні фракції осадових сумішей мають порогові значення, які лежать вище кривої Щитів, а більш грубі фракції мають порогові значення, які лежать нижче кривої Щитів.

Малюнок\(\PageIndex{6}\). Тверда крива - це крива Щитів, перетворена в координати цієї ділянки. (Від Вілкока і Саутарда, 1988.)