7.1: Гра на обертовому столі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 38371

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

У всьому до цього часу в цих примітках ми припускали, що середовище потоку є стаціонарним. Просто подумайте, щоб обтікати сферу або стікати по каналу. І навіть якщо середовище потоку знаходиться в рівномірному русі, відносно вас як спостерігача, ви вже бачили, що ви можете перетворити проблему в стаціонарне середовище потоку, просто рухаючись з самим середовищем потоку; згадайте проблему відносного руху сфери та навколишньої рідини.

Але що робити, якщо середовище потоку прискорюється? Це виявляється зовсім іншою справою. У цьому розділі розглядаються деякі ефекти стійкого обертання середовища потоку. (Пам'ятайте, що обертання передбачає прискорення радіального, а не тангенціального типу, навіть при стабільній швидкості обертання.) Вплив обертання на потік вражає, і я думаю, що не інтуїтивно. Ці ефекти мають центральне значення при вивченні так званих геофізичних потоків: рухів атмосфери і океанів на масштабах сотні і тисячі кілометрів. Межі цих потоків - це обертається тверда Земля, і ми спостерігачі обертаємося з тією твердою Землею. Треба визнати, що наслідки обертання не мають дуже прямого впливу на дрібномасштабну динаміку транспортування осаду, але непрямі наслідки настільки далекосяжні, що я не міг встояти, включивши цю главу в ці замітки.

Гра на обертовому столі

У великій безперешкодній критій території (найкраще підійде гімназія або склад, але великої кімнати у вашому будинку буде достатньо), побудуйте гігантський плоский горизонтальний поворотний стіл - просто диск, встановлений у його центральній точці на вертикальному обертовому валу (рис.\(\PageIndex{1}\)). Ви можете обертати весь диск з будь-якою необхідною постійною швидкістю обертання, описуваної його кутовою швидкістю\(\gamma\), вимірюваної в радіанах в секунду. Найкраще буде, якщо ви пофарбували поверхню диска в плоский чорний колір, тим краще спостерігати за рухами блискуче білих маркерних сфер, які ви збираєтеся розкочувати по поверхні. Щоб зробити речі дійсно захоплюючими, не забудьте покрити білі маркерні сфери з товстим крейдяним покриттям якогось роду, який відстежує рівномірно на поверхні поворотного столу, коли сфери котяться.

Знімок екрана 2019-07-23 о 12.10.41 PM.png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Гра на обертовому столі.

Щоб зробити все правильно, вам також знадобиться оглядовий окунь над вертушкою. Цей окунь повинен бути легко переміщеним з місця на місце над поверхнею, але (а це важливо) нерухомим щодо підлоги приміщення, поки він знаходиться в експлуатації. Одне з тих механізованих сидінь вишневого збирача, що відходять по горизонталі від краю диска, вчинили б непогано, якщо ви можете собі це дозволити.

Встановіть швидкість обертання, оселитися в окуня, зайняти точку трохи над вертушкою, і перекинути одну з ваших позначених сфер на стіл, так само, як якщо б ви були в боулінгу. Ось велике питання: як би виглядала доріжка сфери на вертушці? (Вам доведеться припустити, що поворотний стіл не чинить істотної сили на рухомий м'яч. Це насправді не так, але ефекти досить малі, щоб ви могли безпечно ігнорувати їх для цілей цієї демонстрації. Якщо вам незручно з цим припущенням, ви завжди можете уявити собі чарівну шайбу повітряного хокею, яка майже без тертя ковзає над вертушкою, залишаючи за ним порошкоподібний білий слід.)

Великий стрибок, який ваші сили дедукції або уяви повинні зробити тут, щоб побачити, що доріжка, залишена м'ячем на столі, буде вигнута (рис.\(\PageIndex{2}\)). І, як тільки ви будете комфортно з цією ідеєю, вам, природно, може виникнути думка про те, чи є ця криволінійна доріжка кругової дугою. Відповідь виявляється НІ, хоча причини трохи занадто заплутані, щоб мати справу з ними на даний момент.

Знімок екрана 2019-07-23 о 12.12.28 PM.png — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Траса, залишена кулькою, що катається по обертовому столу.

Якщо ви не можете дозволити собі час і гроші на будівництво вертушки, але ви все ж хочете отримати деякі результати, ось більш простий і набагато менш витратний спосіб демонстрації явища (рис.\(\PageIndex{3}\)). Приколіть великий шматок плакатної дошки до стіни, щоб його можна було обертати навколо своєї центральної точки, і мати помічника стояти в одну сторону і обертати плакат рухом руки над рукою, наскільки це можливо. Встаньте на одну сторону плакатної дошки маркером, і проведіть лінію на плакатній дошці таким чином, щоб кінчик пера переміщався рівномірним прямолінійним рухом щодо нижньої стіни. Це зробити непросто, тому що потрібно намагатися ігнорувати поверхню плакатної дошки, і позначку, яка на ній робиться, а замість цього сконцентруватися на уявному шляху точки пера на нерухомій стіні ззаду. Ви б виявили (Рисунок\(\PageIndex{4}\)), що незалежно від того, де ви починаєте на плакатній дошці, і незалежно від того, який напрямок ви виберете для своєї лінії, позначка на плакатній дошці буде дугою, а не прямою лінією!

Знімок екрана 2019-07-23 о 12.14.16 PM.png — Малюнок\(\PageIndex{3}\): Як показати, що доріжка об'єкта, що рухається по прямій лінії, виглядає вигнутою з точки зору спостерігача в обертовій системі відліку.

Знімок екрана 2019-07-23 о 12.14.39 PM.png — Малюнок\(\PageIndex{3}\).

Вам навіть не потрібно підганяти таку вправу плакатної дошки, насправді; просто подумайте про свій швидко застарілий фонограф. Зробіть вигляд, що голка, яка пасивно слідує за канавкою в записі, насправді обмежена переміщатися від краю запису до центру запису майже прямою лінією щодо лежить в основі нерухомої структури фонографа. Голка робить спіральний шлях на записи, з кривизною, як описано в двох вищезгаданих експериментах.

І, до речі, ця вправа фонографа переконливо показує, що крива дуга не зовсім кругова: кривизна тугіше уздовж частин шляху, розташованих ближче до осі обертання. Це в основному тому, що швидкість рухомого об'єкта (голки) щодо обертової поверхні (запис) зменшується, коли голка пробивається до центру запису. Чому? Оскільки швидкість стрілки щодо нерухомих зірок постійна, але швидкість точок на записи збільшується від нуля в центрі до максимуму на зовнішньому краї.

Але повернемося до великого вертушки: попросіть вашого помічника згорнути маркерну сферу на поворотний стіл, поки ви їдете на вертушці. Слідкуйте за м'ячем, як він котиться і залишає свою криву доріжку. Це буде виглядати вам так, ніби деякі таємничі бічні сили безперервно діє на м'яч нормально до свого шляху, щоб відштовхнути його від свого курсу. Здається, щось не так з першим законом Ньютона, який говорить вам, що м'яч повинен рухатися по прямій лінії з постійною швидкістю. Ви знаєте, в чому проблема, звичайно: вигадана бічна сила є артефактом вашого спостереження за м'ячем з позицій обертового вертушки. Якщо ви знову зайняли свого окуня і прокату чистий, яскравий, без крейди м'яч на тьмяно освітленій чорній поверхні вертушки, ви побачите м'яч котитися в красивій прямій лінії! Вигадана бічна сила, яка, здається, діє на рухомі тіла в обертовому середовищі, називається силою Коріоліса після французького математика дев'ятнадцятого століття, який вперше проаналізував ефект. А видиме прискорення сфери (це радіальне прискорення, а не тангенціальне прискорення, в тому, що змінюється тільки напрямок, а не швидкість) називається прискоренням Коріоліса. Весь ефект називається ефектом Коріоліса.

Яка актуальність цієї демонстрації для руху рідин? Ви можете виробляти всі види потоків рідини прямо на поверхні цього поворотного столу, використовуючи цю поверхню як лабораторію динаміки рідини: потік у відкритому каналі, вільний конвективний потік у великій каструлі або навіть просто лист води, що вільно тече по поверхні поворотного столу. У кожному випадку кожен крихітний елемент текучої рідини піддається тій же силі Коріоліса. Для правильних комбінацій швидкостей рідини та швидкості обертання ефект Коріоліса матиме глибокі наслідки для структури руху рідини.