6.6: Яке походження функції Планка?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 37918

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, що молекули мають широкий діапазон швидкостей і, отже, широкий діапазон енергій. Розподіл Максвелла - Больцмана, який дає розподіл молекул як функцію енергії, задається приблизно рівнянням:

\[f(E)=\frac{2 \sqrt{E}}{\sqrt{\pi}(k T)^{3 / 2}} \exp (-E / k T)\]

де f - ймовірність того, що молекула має енергію в межах невеликого вікна навколо Е, T - абсолютна температура, а k - константа Больцмана. Вищевказане рівняння при інтеграції над усіма енергіями дає значення 1.

Функціональна форма цього розподілу показана нижче:

2019-08-16 9.21.56.png — Розподіл молекул Максвелла — Больцмана як функція енергії молекул нормалізується до кількості молекул з піковою енергією.

Усі об'єкти - газ, рідина або тверда речовина - випромінюють випромінювання. Якщо ми думаємо про випромінювання як фотони, ми б сказали, що ці фотони мають розподіл енергій, як це роблять молекули. Однак фотони не можуть мати безперервних значень енергії фотонів; натомість енергія фотонів квантується, а це означає, що вона може мати лише дискретні енергетичні значення, які відрізняються дуже невеликою кількістю енергії. Коли передбачається цей квантований розподіл, то розподіл спектрального опромінення, що залишає одиницю площі поверхні об'єкта за одиницю часу на одиницю довжини хвилі інтервалу в півкулі, називається функцією розподілу Планка спектрального опромінення:

\[P_{e}(\lambda)=\frac{2 \pi h c^{2}}{\lambda^{5}} \frac{1}{\exp (h c / \lambda k T)-1}\]

де h - постійна Планка, c - швидкість світла, k - постійна Больцмана (1,381 х 10 ^—23 Дж К ^—1), T - абсолютна температура, а λ це довжина хвилі. Інтеграл цієї функції по всіх довжинам хвиль призводить до Опромінення закону Стефана - Больцмана, який дає загальну променеву енергію в одиницю часу на одиницю площі поверхні об'єкта, що випромінюється в півкулю.

P _e (λ)/π називається функцією розподілу Планка спектрального сяйва і зазвичай має одиниці W steradian ^—1 m ^—2 нм ^—1 і часто позначається літерою Я. Стерадіан - це всього лише одиниця суцільного кута. Так само, як радіан для кола - це довжина дуги кола, яка дорівнює радіусу кола, steradian - це площа на поверхні сфери, яка дорівнює радіусу сфери в квадраті. Є 2π радіани по колу і 4π стерадіани (скорочено sr) над сферою. Для деяких з цього обговорення ми будемо використовувати спектральне опромінення P _e (λ) і розглянемо випромінювання з будь-якої області на сфері, щоб випромінюватися не в одному напрямку, а в повну півкулю напрямків. Пізніше, коли ми почнемо говорити про поглинання, нам потрібно буде подумати про випромінювання в дуже конкретних напрямках, і в цьому випадку ми будемо використовувати сяйво. Пам'ятайте про різницю між випромінюванням і сяйвом.

Спектральне опромінення - це кількість енергії, яка випромінюється або падає на одиницю площі в просторі за одиницю часу на одиницю довжини хвилі (W m ^—2 мкм ^—1). Так m ² в даному випадку вказує на площу поверхні, на яку йде або падає енергія. Щоб отримати спектральне випромінювання Сонця у верхній частині атмосфери Землі, ми повинні помножити спектральне опромінення, випромінюване поверхнею Сонця, на площу поверхні Сонця, щоб отримати загальну енергію, що випромінюється за одиницю часу і на одиницю довжини хвилі Сонцем, а потім розділити на площу поверхні сфери, яка має радіус дорівнює відстані Земля—Сонце, щоб отримати енергію в час на одиницю довжини хвилі на одиницю площі поверхні, розташованої у верхній частині атмосфери Землі.

Фізична інтерпретація

Все випромінювання, яке випромінюється з поверхні Сонця, продовжує рухатися назовні зі швидкістю світла, поки не потрапить на об'єкти, але об'єктів між Сонцем і Землею дуже мало, крім зрідка Місяця. Таким чином, при відсутності будь-яких об'єктів загальна кількість сонячного випромінювання, що вражає планети, зменшується у міру квадрата відстані між центром Сонця і поверхнею планети.

Спектральне опромінення функції розподілу Планка для об'єкта при температурі 5777 К (температура поверхні Сонця) показана на малюнку нижче. Зверніть увагу на швидке зростання на коротших довжині хвиль, пікове значення, а потім більш повільне зниження на довших довжині хвиль. Подивіться на пікове значення опромінення, яке становить близько 25 млн Вт м ^—2 нм ^—1! Це багато енергії випромінюється з поверхні Сонця, але, звичайно, Земля знаходиться на відстані 150 мільйонів км від Сонця і таким чином перехоплює менше півмільярдної сонячної радіації.

2019-08-16 9.23.31 пнг — Функція розподілу Планка спектральне опромінення, *P _e* (рівняння 6.4), що випромінюється в півкулю для температури поверхні Сонця, *T _sun* = 5777 K. Кредит: W. Brune