Глосарій
- Page ID
- 62091
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
| Слова (або слова, які мають однакове визначення) | Визначення чутливе до регістру | (Додатково) Зображення для відображення з визначенням [Не відображається в глосарії, лише у спливаючому вікні на сторінках] | (Додатково) Підпис для зображення | (Необов'язково) Зовнішнє або внутрішнє посилання | (Необов'язково) Джерело для визначення |
|---|---|---|---|---|---|
| (Напр. «Генетичні, спадкові, ДНК...») | (Напр. «Відноситься до генів або спадковості») |  |
Сумнозвісна подвійна спіраль | https://bio.libretexts.org/ | CC-BY-SA; Дельмар Ларсен |
| Слово (и) | Визначення | Зображення | Підпис | Посилання | Джерело |
|---|---|---|---|---|---|
| нулі функції | коли\(x\) дійсне число дорівнює нулю функції\(f,\;f(x)=0\) | ||||
| нульовий вектор | вектор як з початковою точкою, так і кінцевою точкою\((0,0)\) | ||||
| робота, виконана силою | робота, як правило, розглядається як кількість енергії, необхідної для переміщення об'єкта; якщо ми представляємо прикладену силу вектором\(\vecs{ F}\) і зміщення об'єкта на вектор\(\vecs{ s}\), то робота, виконана силою, є точковим добутком\(\vecs{ F}\) і\(\vecs{ s}\). | ||||
| робота | кількість енергії, необхідної для переміщення об'єкта; у фізиці, коли сила постійна, робота виражається як добуток сили і відстані | ||||
| метод шайби | окремий випадок методу нарізки, що використовується з твердими частинами обертання, коли зрізи є шайбами | ||||
| вертикальний слід | множина впорядкованих трійок\((c,y,z)\), що вирішує рівняння\(f(c,y)=z\) для заданої константи\(x=c\) або множина впорядкованих трійок\((x,d,z)\), що вирішує рівняння\(f(x,d)=z\) для заданої константи\(y=d\) | ||||
| тест вертикальної лінії | враховуючи графік функції, кожна вертикальна лінія перетинає графік, максимум, один раз | ||||
| вертикальна асимптота | Функція має вертикальну асимптоту,\(x=a\) якщо межа\(x\)\(a\) наближення праворуч або ліворуч нескінченна. | ||||
| вершина | вершина — крайня точка конічного перерізу; парабола має одну вершину в точці повороту. Еліпс має дві вершини, по одній на кожному кінці великої осі; гіпербола має дві вершини, по одній у точці повороту кожної гілки | ||||
| вектор швидкості | похідна вектора положення | ||||
| векторно-значна функція | функція виду\(\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}\) або\(\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}\), де функціонує компонент\(f\)\(g\), і\(h\) є дійсними функціями параметру\(t\). | ||||
| векторна сума | сума двох векторів,\(\vecs{v}\) і\(\vecs{w}\), може бути побудована графічно, розмістивши початкову точку\(\vecs{w}\) в кінцевій точці\(\vecs{v}\); тоді векторна сума\(\vecs{v}+\vecs{w}\) є вектор з початковою точкою, яка збігається з початковою точкою\(\vecs{v}\), і з кінцевою точкою що збігається з кінцевою точкою\(\vecs{w}\) | ||||
| векторна проекція | компонент вектора, який слідує заданому напрямку | ||||
| векторна параметризація | будь-яке представлення площини або просторової кривої з використанням векторної функції | ||||
| векторна лінія інтеграл | інтеграл векторної лінії векторного поля\(\vecs F\) вздовж кривої\(C\) є інтегралом точкового добутку\(\vecs F\) з одиничним дотичним\(\vecs T\) вектором відносно довжини дуги,\(∫_C \vecs F·\vecs T\, ds\) такий інтеграл визначається через суму Рімана, подібну до однозмінного інтеграла\(C\) | ||||
| векторне поле | вимірюється в\(ℝ^2\), присвоєння\(\vecs{F}(x,y)\) вектора кожній\((x,y)\) точці\(D\) підмножини\(ℝ^2\); в\(ℝ^3\), присвоєння\(\vecs{F}(x,y,z)\) вектора кожній точці\((x,y,z)\)\(D\) підмножини\(ℝ^3\) | ||||
| векторне рівняння площини | рівняння,\(\vecs n⋅\vecd{PQ}=0,\) де\(P\) є заданою точкою в площині,\(Q\) є будь-якою точкою на площині, і\(\vecs n\) є нормальним вектором площини | ||||
| векторне рівняння прямої | рівняння, яке\(\vecs r=\vecs r_0+t\vecs v\) використовується для опису лінії з вектором напрямку\(P=(x_0,y_0,z_0)\),\(\vecs v=⟨a,b,c⟩\) що проходить через точку\(\vecs r_0=⟨x_0,y_0,z_0⟩\), де, - вектор положення точки\(P\) | ||||
| векторна різниця | різниця\(\vecs{v}−\vecs{w}\) векторів визначається як\(\vecs{v}+(−\vecs{w})=\vecs{v}+(−1)\vecs{w}\) | ||||
| векторне додавання | векторна операція, яка визначає суму двох векторів | ||||
| вектор | математичний об'єкт, який має як величину, так і напрямок | ||||
| змінна інтеграції | вказує, яку змінну ви інтегруєте щодо; якщо вона є\(x\), то функція в integrand слідує\(dx\) | ||||
| верхня сума | сума, отримана за допомогою максимального значення\(f(x)\) на кожному підінтервалі | ||||
| блок векторне поле | векторне поле, в якому величина кожного вектора дорівнює 1 | ||||
| одиниця вектор | вектор з величиною\(1\) | ||||
| необмежена послідовність | послідовність, яка не обмежена, називається необмеженою | ||||
| Тип II | область\(D\) в\(xy\) -площині - тип II, якщо вона лежить між двома горизонтальними лініями та графіками двох неперервних функцій\(h_1(y)\) і\(h_2(h)\) | ||||
| Тип I | область\(D\) в площині\(xy\) - це тип I, якщо вона лежить між двома вертикальними лініями і графіками двох неперервних функцій\(g_1(x)\) і\(g_2(x)\) | ||||
| потрійний інтеграл у сферичних координатах | ліміт потрійної суми Рімана, за умови, що існує наступний ліміт:\[lim_{l,m,n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n f(\rho_{ijk}^*, \theta_{ijk}^*, \varphi_{ijk}^*) (\rho_{ijk}^*)^2 \sin \, \varphi \Delta \rho \Delta \theta \Delta \varphi \nonumber \] | ||||
| потрійний інтеграл в циліндричних координатах | ліміт потрійної суми Рімана, за умови, що існує наступний ліміт:\[lim_{l,m,n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n f(r_{ijk}^*, \theta_{ijk}^*, s_{ijk}^*) r_{ijk}^* \Delta r \Delta \theta \Delta z \nonumber \] | ||||
| потрійний інтеграл | потрійний інтеграл неперервної функції\(f(x,y,z)\) над прямокутною суцільною коробкою\(B\) - межа суми Рімана для функції трьох змінних, якщо ця межа існує | ||||
| тригонометрична заміна | метод інтеграції, який перетворює алгебраїчний інтеграл, що містить вирази форми\(\sqrt{a^2−x^2}\)\(\sqrt{a^2+x^2}\), або\(\sqrt{x^2−a^2}\) в тригонометричний інтеграл | ||||
| тригонометричний інтеграл | інтеграл, що включає повноваження і добуток тригонометричних функцій | ||||
| тригонометрична ідентичність | рівняння, що включає тригонометричні функції, що вірно для всіх кутів,\(θ\) для яких визначені функції в рівнянні | ||||
| тригонометричні функції | функції кута, визначеного як співвідношення довжин сторін прямокутного трикутника | ||||
| метод трикутника | метод знаходження суми двох векторів; розташуйте вектори так, що кінцева точка одного вектора є початковою точкою іншого; ці вектори потім утворюють дві сторони трикутника; сума векторів - вектор, який утворює третю сторону; початкова точка суми - початкова точка першої вектор; кінцева точка суми - кінцева точка другого вектора | ||||
| нерівність трикутника | Якщо\(a\) і\(b\) є будь-якими дійсними числами, то\(|a+b|≤|a|+|b|\) | ||||
| нерівність трикутника | довжина будь-якої сторони трикутника менше суми довжин двох інших сторін | ||||
| діаграма дерева | ілюструє та виводить формули для узагальненого правила ланцюга, в якому враховується кожна незалежна змінна | ||||
| трапецієподібне правило | правило, яке\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx\) наближається за допомогою площі трапецій. Наближення\(T_n\) до\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx\) задається\[T_n=\frac{Δx}{2}\big(f(x_0)+2\, f(x_1)+2\, f(x_2)+⋯+2\, f(x_{n−1})+f(x_n)\big). \nonumber \] | ||||
| перетворення функції | зсув, масштабування або відображення функції | ||||
| перетворення | функція, яка перетворює область GG в одній площині в область RR в іншій площині шляхом зміни змінних | ||||
| трансцендентна функція | функція, яка не може бути виражена комбінацією основних арифметичних операцій | ||||
| слід | перетин тривимірної поверхні з координатною площиною | ||||
| загальний диференціал | сумарний диференціал функції\( f(x,y)\) at\( (x_0,y_0)\) задається за формулою\( dz=f_x(x_0,y_0)dx+fy(x_0,y_0)dy\) | ||||
| загальна площа | загальна площа між функцією та\(x\) -віссю обчислюється шляхом додавання площі над\(x\) -віссю та площі нижче\(x\) -осі; результат такий же, як певний інтеграл абсолютного значення функції | ||||
| поріг населення | мінімальна популяція, яка необхідна для виживання виду | ||||
| тривимірна прямокутна система координат | система координат, визначена трьома лініями, які перетинаються під прямим кутом; кожна точка в просторі описується впорядкованою трійкою\((x,y,z)\), яка визначає її розташування відносно визначальних осей | ||||
| теорема Паппуса для обсягу | ця теорема стверджує, що обсяг твердого тіла обертання, утвореного обертанням області навколо зовнішньої осі, дорівнює площі області, помноженої на відстань, пройдену центроїдом області | ||||
| термінальна точка | кінцева точка вектора | ||||
| термінова інтеграція силового ряду | метод інтеграції силового ряду\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n\) шляхом інтеграції кожного терміну окремо для створення нової серії потужності\(\displaystyle C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}\) | ||||
| почасова диференціація степеневого ряду | методика оцінки похідної степеневого ряду\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n\) шляхом оцінки похідної кожного члена окремо для створення нового енергетичного ряду\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞nc_n(x−a)^{n−1}\) | ||||
| термін | число\(\displaystyle a_n\) в послідовності\(\displaystyle {a_n}\) називається\(\displaystyle nth\) терміном послідовності | ||||
| телескопічна серія | телескопічний ряд - це той, в якому більшість термінів скасовуються в кожній з часткових сум | ||||
| Теорема Тейлора з залишком | для функції\(f\) та полінома Тейлора\(n^{\text{th}}\) -ступеня для\(f\) at\(x=a\), залишок\(R_n(x)=f(x)−p_n(x)\) задовольняє\(R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}\) деяким\(c\) між\(x\) і\(a\); якщо існує інтервал,\(I\) що містить\(a\) і дійсне число\(M\) таке, що \(∣f^{(n+1)}(x)∣≤M\)для всіх\(x\) в\(I\), то\(|R_n(x)|≤\dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}\) | ||||
| Серія Тейлора | силовий ряд при цьому\(a\) сходиться до функції\(f\) на деякому відкритому інтервалі, що містить\(a\). | ||||
| Поліноми Тейлора | поліном Тейлора\(n^{\text{th}}\) -ступеня для\(f\) at\(x=a\) є\(p_n(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+⋯+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n\) | ||||
| тангенціальна складова прискорення | коефіцієнт одиничного тангенса вектора,\(\vecs T\) коли вектор прискорення записується як лінійна комбінація\(\vecs T\) і\(\vecs N\) | ||||
| тангенс вектор | \(\vecs{r}(t)\)на\(t=t_0\) будь-якому векторі\(\vecs v\) таким чином, що, коли хвіст вектора розміщений в точці\(\vecs r(t_0)\) на графіку, вектор\(\vecs{v}\) дотичний до кривої C | ||||
| дотична площина | задана функція\( f(x,y)\), яка диференційовна в точці\( (x_0,y_0)\), рівняння дотичної площини до поверхні\( z=f(x,y)\) задається\( z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)\) | ||||
| наближення дотичної лінії (лінеаризація) | оскільки лінійне наближення\(f\) at\(x=a\) визначається за допомогою рівняння дотичної прямої, лінійне наближення\(f\) at\(x=a\) також відоме як наближення дотичної прямої до\(f\) at\(x=a\) | ||||
| дотичній | Дотична лінія до графіка функції в точці (\(a,f(a)\)) - це лінія, яка січні лінії через (\(a,f(a)\)) наближаються, коли вони приймаються через точки на функції з\(x\) -значеннями, які наближаються\(a\); нахил дотичної лінії до графіка при\(a\) вимірює швидкість зміни функція при\(a\) | ||||
| таблиця значень | таблиця, що містить список входів і відповідних їм виходів | ||||
| принцип симетрії | принцип симетрії стверджує, що якщо область\(R\) симетрична навколо лінії\(I\), то центроїд\(R\) лежить на\(I\) | ||||
| симетрія про походження | графік функції\(f\) симетричний щодо походження, якщо\((−x,−y)\) знаходиться на графіку кожного разу,\(f\) коли\((x,y)\) знаходиться на графіку | ||||
| симетрія навколо\(y\) -осі | графік функції\(f\) симетричний щодо\(y\) -осі, якщо\((−x,y)\) знаходиться на графіку кожного разу,\(f\) коли\((x,y)\) знаходиться на графіку | ||||
| симетричні рівняння прямої | рівняння,\(\dfrac{x−x_0}{a}=\dfrac{y−y_0}{b}=\dfrac{z−z_0}{c}\) що описують пряму з вектором напрямку,\(v=⟨a,b,c⟩\) що проходить через точку\((x_0,y_0,z_0)\) | ||||
| поверхневий інтеграл векторного поля | поверхневий інтеграл, в якому integrand є векторним полем | ||||
| поверхневий інтеграл скалярно-значної функції | поверхневий інтеграл, в якому integrand є скалярною функцією | ||||
| поверхневий інтеграл | інтеграл функції над поверхнею | ||||
| поверхневий незалежний | інтеграли потоку векторних полів завитків незалежні від поверхні, якщо їх оцінка залежить не від поверхні, а лише від межі поверхні | ||||
| площа поверхні | площа поверхні твердого тіла - це загальна площа зовнішнього шару об'єкта; для об'єктів, таких як кубики або цегли, площа поверхні об'єкта - це сума площ всіх його граней | ||||
| площа поверхні | площа поверхні,\(S\) задана поверхневим інтегралом\[\iint_S \,dS \nonumber \] | ||||
| поверхня | графік функції двох змінних,\(z=f(x,y)\) | ||||
| сума правило | похідна суми функції\(f\) і функції така ж, як сума похідної від\(f\) і похідної від\(g\):\(g\)\(\dfrac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f′(x)+g′(x)\) | ||||
| закон суми для лімітів | Граничний закон\(\lim_{x→a}(f(x)+g(x))=\lim_{x→a}f(x)+\lim_{x→a}g(x)=L+M\) | ||||
| функція потоку | якщо\(\vecs F=⟨P,Q⟩\) є джерельним векторним полем, то функція потоку\(g\) - це функція така, що\(P=g_y\) і\(Q=−g_x\) | ||||
| Теорема Стокса | пов'язує інтеграл потоку над поверхнею\(S\) з лінійним інтегралом навколо межі\(C\) поверхні\(S\) | ||||
| розмір кроку | приріст hh, який додається до значення xx на кожному кроці методу Ейлера | ||||
| вектор стандартного положення | вектор з початковою точкою\((0,0)\) | ||||
| стандартні одиничні вектори | одиничні вектори по осях координат:\(\hat{\mathbf i}=⟨1,0⟩,\, \hat{\mathbf j}=⟨0,1⟩\) | ||||
| стандартна форма | форма лінійного диференціального рівняння першого порядку, отриманого шляхом запису диференціального рівняння у вигляді\( y'+p(x)y=q(x)\) | ||||
| стандартна форма | рівняння конічного перерізу, показуючи його властивості, такі як розташування вершини або довжини великих і другорядних осей | ||||
| стандартне рівняння сфери | \((x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2\)описує сферу з центром\((a,b,c)\) і радіусом\(r\) | ||||
| теорема стискання | стверджує, що якщо\(f(x)≤g(x)≤h(x)\) для\(x≠a\) всього відкритого інтервалу, що містить a і\(\lim_{x→a}f(x)=L=\lim_ {x→a}h(x)\) де L - дійсне число, то\(\lim_{x→a}g(x)=L\) | ||||
| сферична система координат | спосіб опису розташування в просторі з впорядкованою потрійною,\((ρ,θ,φ),\) де\(ρ\) відстань між\(P\) і початком\((ρ≠0), θ\) - це той самий кут, який використовується для опису розташування в циліндричних координатах, і кут, утворений\(φ\) позитивною\(z\) віссю та лінією сегмент\(\bar{OP}\), де\(O\) знаходиться походження і\(0≤φ≤π\) | ||||
| сфера | множина всіх точок, рівновіддалених від заданої точки, відомої як центр | ||||
| швидкість | - абсолютне значення швидкості,\(|v(t)|\) тобто швидкість об'єкта в час, швидкість\(t\) якого задається\(v(t)\) | ||||
| крива заповнення простору | крива, яка повністю займає двовимірну підмножину реальної площини | ||||
| космічна крива | множина впорядкованих трійок\((f(t),g(t),h(t))\) разом з їх визначальними параметричними рівняннями\(x=f(t)\),\(y=g(t)\) і\(z=h(t)\) | ||||
| розв'язок диференціального рівняння | функція,\(y=f(x)\) яка задовольняє заданому диференціальному рівнянню | ||||
| крива рішення | крива з графіком у полі напряму, що відповідає розв'язку початкової задачі, що проходить через задану точку в полі напрямку | ||||
| тверда революція | тверде тіло, що генерується обертається область в площині навколо лінії в цій площині | ||||
| гладкий | криві, де векторно-значна функція\(\vecs r(t)\) диференційовна з ненульовою похідною | ||||
| ухил-перехоплення форма | рівняння лінійної функції із зазначенням її нахилу та\(y\) -перехоплення | ||||
| схил | зміна\(y\) для кожної одиниці зміни в\(x\) | ||||
| спосіб нарізки | метод розрахунку обсягу твердого тіла, який включає в себе різання твердого тіла на шматки, оцінюючи обсяг кожного шматка, потім додавання цих оцінок, щоб прийти до оцінки загального обсягу; як кількість скибочок йде до нескінченності, ця оцінка стає інтегралом, який дає точне значення обсяг | ||||
| перекіс ліній | дві лінії, які не паралельні, але не перетинаються | ||||
| правило Сімпсона | правило, яке\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx\) наближається за допомогою площі під кусково-квадратичною функцією. Наближення\(S_n\) до\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx\) задається\[S_n=\frac{Δx}{3}\big(f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+2\,f(x_4)+⋯+2\,f(x_{n−2})+4\,f(x_{n−1})+f(x_n)\big). \nonumber \] | ||||
| просто підключений регіон | область, яка пов'язана і має властивість, що будь-яка замкнута крива, яка повністю лежить всередині області, охоплює точки, які повністю знаходяться всередині області | ||||
| простий гармонійний рух | рух, описаний рівнянням\(x(t)=c_1 \cos (ωt)+c_2 \sin (ωt)\), як проявляється недемпфірованою пружинно-масовою системою, в якій маса продовжує коливатися нескінченно | ||||
| проста крива | крива, яка не перетинає себе | ||||
| сигма-позначення | (Також, підсумовування позначення) грецька буква сигма (\(Σ\)) вказує на додавання значень; значення індексу вище і нижче сигми вказують, з чого почати підсумовування і де його закінчити | ||||
| послідовність | упорядкований список номерів форми\(\displaystyle a_1,a_2,a_3,…\) - це послідовність | ||||
| поділ змінних | метод, який використовується для розв'язання роздільного диференціального рівняння | ||||
| роздільне диференціальне рівняння | будь-яке рівняння, яке можна записати у вигляді\(y'=f(x)g(y)\) | ||||
| другий похідний тест | припустимо,\(f'(c)=0\) і\(f'\) 'є безперервним протягом інтервалу\(f''(c)>0\), що містить\(c\); якщо, то\(f\) має локальний мінімум в\(c\); якщо\(f''(c)<0\), то\(f\) має локальний максимум в\(c\); якщо\(f''(c)=0\), то тест є непереконливим | ||||
| січний | Січна лінія до функції\(f(x)\) at\(a\) - це пряма через точку (\(a,f(a)\)) та іншу точку на функції; нахил січної лінії задається\(m_{sec}=\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}\) | ||||
| скалярна проекція | величина векторної проекції вектора | ||||
| скалярне множення | векторна операція, яка визначає добуток скаляра і вектора | ||||
| скалярний лінійний інтеграл | скалярний лінійний інтеграл функції\(f\) вздовж кривої по довжині дуги є\(C\) інтегралом\(\displaystyle \int_C f\,ds\), він є інтегралом скалярної функції\(f\) вздовж кривої в площині або в просторі; такий інтеграл визначається через суму Рімана, як однозмінний інтеграл | ||||
| скалярне рівняння площини | рівняння, що\(a(x−x_0)+b(y−y_0)+c(z−z_0)=0\) використовується для опису площини, що містить точку\(P=(x_0,y_0,z_0)\) з нормальним вектором\(n=⟨a,b,c⟩\) або його альтернативною формою\(ax+by+cz+d=0\), де\(d=−ax_0−by_0−cz_0\) | ||||
| скалярний | дійсне число | ||||
| точка сідла | з огляду\(z=f(x,y),\) на функцію точка\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) є точкою сідла, якщо обидва\(f_x(x_0,y_0)=0\) і\(f_y(x_0,y_0)=0\), але\(f\) не має локального екстремуму при\((x_0,y_0)\) | ||||
| постанови | паралельні лінії, що складають циліндричну поверхню | ||||
| обертальне поле | векторне поле, в якому вектор в точці\((x,y)\) є дотичною до кола з радіусом\(r=\sqrt{x^2+y^2}\); у обертальному полі всі вектори протікають або за годинниковою стрілкою, або проти годинникової стрілки, і величина вектора залежить тільки від його відстані від початку | ||||
| троянда | графік полярного рівняння\(r=a\cos 2θ\) або\(r=a\sin 2θ\) для додатної константи\(a\) | ||||
| кореневий тест | для серії\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n,\) нехай\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}\); якщо\( 0≤ρ<1\), серія сходиться абсолютно; якщо\( ρ>1\), серія розходиться; якщо\( ρ=1\), тест непереконливий | ||||
| кореневий закон для лімітів | граничний закон\(\lim_{x→a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x→a}f(x)}=\sqrt[n]{L}\) для всіх L, якщо n непарний, а для\(L≥0\) якщо n парний | ||||
| функція кореня | функція виду\(f(x)=x^{1/n}\) для будь-якого цілого числа\(n≥2\) | ||||
| теорема Ролла | якщо\(f\) безперервний над\([a,b]\) і диференційований над\((a,b)\), а якщо\(f(a)=f(b)\), то існує\(c∈(a,b)\) таке, що\(f′(c)=0\) | ||||
| Ланцюг серії RLC | повний електричний шлях, що складається з резистора, індуктор, і конденсатор; другого порядку, постійний коефіцієнт диференціального рівняння може бути використаний для моделювання заряду на конденсаторі в ланцюзі серії RLC | ||||
| правило правої руки | загальний спосіб визначення орієнтації тривимірної системи координат; коли права рука вигнута навколо\(z\) осі таким чином, що пальці скручуються від позитивної\(x\) -осі до позитивної\(y\) -осі, великий палець вказує у напрямку позитивної\(z\) -осі | ||||
| наближення правої кінцевої точки | наближення правої кінцевої точки - це наближення площі прямокутників під кривою з використанням правої кінцевої точки кожного підінтервалу для побудови вертикальних сторін кожного прямокутника | ||||
| сума рімана | оцінка площі під кривою форми\(A≈\displaystyle \sum_{i=1}^nf(x^∗_i)Δx\) | ||||
| обмежений домен | підмножина області функції\(f\) | ||||
| репараметризація | альтернативна параметризація заданої векторно-значної функції | ||||
| знімний розрив | Знімний розрив відбувається в точці,\(a\) якщо\(f(x)\) є переривчастим в\(a\), але\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) існує | ||||
| залишок кошторис | для ряду\(\displaystyle \sum^∞_{n=}1a_n\) з додатними членами\( a_n\) та неперервною спадною функцією, що\( f(n)=a_n\) для всіх натуральних чисел\( n\) залишок\(\displaystyle R_N=\sum^∞_{n=1}a_n−\sum^N_{n=1}a_n\) задовольняє\( f\) такій оцінці:\[∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_Nf(x)\,dx \nonumber \] | ||||
| відносна помилка | задана абсолютна похибка\(Δq\) для певної величини,\(\frac{Δq}{q}\) є відносною похибкою. | ||||
| відносна помилка | помилка у відсотках від фактичного значення, заданого\[\text{relative error}=\left|\frac{A−B}{A}\right|⋅100\% \nonumber \] | ||||
| пов'язані тарифи | це темпи зміни, пов'язані з двома або більше пов'язаними величинами, які змінюються з плином часу | ||||
| звичайний розділ | розділ, в якому всі підінтервали мають однакову ширину | ||||
| регулярна параметризація | параметризація\(\vecs r(u,v) = \langle x(u,v), \, y(u,v), \, z(u,v)\rangle\) така, що не\(r_u \times r_v\) дорівнює нулю для точки\((u,v)\) в області параметра | ||||
| область | відкрита, підключена, непорожня підмножина\(\mathbb{R}^2\) | ||||
| рецидивний зв'язок | рекуррентне відношення - це зв'язок, в якому термін\(a_n\) в послідовності визначається з точки зору більш ранніх термінів у послідовності | ||||
| раціональна функція | функція виду\(f(x)=p(x)/q(x)\), де\(p(x)\) і\(q(x)\) є поліномами | ||||
| коефіцієнт тест | для ряду\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) з ненульовими членами, нехай\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|\); якщо\( 0≤ρ<1\), ряд сходиться абсолютно; якщо\( ρ>1\), ряд розходиться; якщо\( ρ=1\), тест непереконливий | ||||
| діапазон | набір виходів для функції | ||||
| радіус обертання | відстань від центру маси об'єкта до його осі обертання | ||||
| радіус кривизни | зворотна кривизна | ||||
| радіус зближення | якщо існує дійсне число\(R>0\) таке, що енергетичний ряд з центром\(x=a\) сходиться для\(|x−a|<R\) і розходиться для\(|x−a|>R\), то\(R\) є радіусом збіжності; якщо ряди потужності сходяться тільки в\(x=a\), радіус збіжності є\(R=0\); якщо потужність ряд сходиться для всіх дійсних чисел\(x\), радіус збіжності дорівнює\(R=∞\) | ||||
| радіани | для дуги окружності довжиною\(s\) по колу радіусом 1 радіанська міра пов'язаного кута\(θ\) дорівнює\(s\) | ||||
| радіальне поле | векторне поле, в якому всі вектори або вказують безпосередньо в бік або безпосередньо від початку; величина будь-якого вектора залежить тільки від його відстані від початку | ||||
| радіальна координата | \(r\)координата в полярній системі координат, яка вимірює відстань від точки в площині до полюса | ||||
| частка правило | похідна частки двох функцій є похідною першої функції на другу за вирахуванням похідної другої функції на першу функцію, розділену на квадрат другої функції:\(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f′(x)g(x)−g′(x)f(x)}{\big(g(x)\big)^2}\) | ||||
| часткове право для лімітів | граничний закон\(\lim_{x→a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim_{x→a}f(x)}{\lim_{x→a}g(x)}=\dfrac{L}{M}\) для M0 | ||||
| чотирикутні поверхні | поверхні в трьох вимірах, що мають властивість, що сліди поверхні є конічними перерізами (еліпси, гіперболи, параболи) | ||||
| квадратична функція | многочлен ступеня 2; тобто функція форми,\(f(x)=ax^2+bx+c\) де\(a≠0\) | ||||
| поширена помилка | похибка, яка призводить до обчисленої кількості, що\(f(x)\) виникає внаслідок похибки вимірювання\(dx\) | ||||
| рух снаряда | рух об'єкта з початковою швидкістю, але ніякої сили, що діє на нього, крім сили тяжіння | ||||
| правило продукту | похідна добутку двох функцій є похідною першої функції, що умножує другу функцію плюс похідна другої функції на першу функцію:\(\dfrac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)\) | ||||
| закон про продукт для лімітів | граничний закон\[\lim_{x→a}(f(x)⋅g(x))=\lim_{x→a}f(x)⋅\lim_{x→a}g(x)=L⋅M \nonumber \] | ||||
| дотичний вектор основної одиниці | тангенс одиничного вектора до кривої C | ||||
| основна одиниця нормального вектора | вектор, ортогональний до одиничного дотичного вектора, заданий формулою\(\frac{\vecs T′(t)}{‖\vecs T′(t)‖}\) | ||||
| силовий ряд | серія форми\(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\) є силовий ряд в центрі\(x=0\); серія форми\(\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n\) є силовий ряд, зосереджений на\(x=a\) | ||||
| влада правило | похідна від степеневої функції - це функція, в якій влада включена\(x\) стає коефіцієнтом члена, а влада включена\(x\) в похідній зменшується на 1: Якщо\(n\) ціле число, то\(\dfrac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n−1}\) | ||||
| формула зменшення потужності | правило, яке дозволяє інтеграл потужності тригонометричної функції обмінюватися на інтеграл за участю меншої потужності | ||||
| закон влади для лімітів | граничний закон\[\lim_{x→a}(f(x))^n=(\lim_{x→a}f(x))^n=L^n \nonumber \] для кожного натурального числа n | ||||
| функція харчування | функція виду\(f(x)=x^n\) для будь-якого додатного цілого числа\(n≥1\) | ||||
| потенційна функція | скалярна функція\(f\) така, що\(\vecs ∇f=\vecs{F}\) | ||||
| темпи приросту населення | є похідною від населення по відношенню до часу | ||||
| функція полінома | функція форми\(f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_1x+a_0\) | ||||
| полюс | центральна точка полярної системи координат, еквівалентна початку декартової системи | ||||
| полярний прямокутник | область, укладена між колами\(r = a\)\(r = b\) і кутами\(\theta = \alpha\) і\(\theta = \beta\); це описується як\(R = \{(r, \theta)\,|\,a \leq r \leq b, \, \alpha \leq \theta \leq \beta\}\) | ||||
| полярне рівняння | рівняння або функція, що стосуються радіальної координати з кутовою координатою в полярній системі координат | ||||
| полярна система координат | система розташування точок в площині. Координати є\(r\), радіальна координата та\(θ\) кутова координата | ||||
| полярна вісь | горизонтальна вісь у полярній системі координат, що відповідає\(r≥0\) | ||||
| рівняння точки-нахилу | рівняння лінійної функції із зазначенням її нахилу і точки на графіку функції | ||||
| плоска крива | множина впорядкованих пар\((f(t),g(t))\) разом з їх визначальними параметричними рівняннями\(x=f(t)\) та\(y=g(t)\) | ||||
| площинне перетворення | функція\(T\), яка перетворює область\(G\) в одній площині в область\(R\) в іншій площині шляхом зміни змінних | ||||
| кусково визначена функція | функція, яка визначається по-різному на різних ділянках своєї області | ||||
| кусково-плавна крива | орієнтована крива, яка не є гладкою, але може бути записана як об'єднання скінченно багатьох плавних кривих | ||||
| фазова лінія | візуальне зображення поведінки розв'язків автономного диференціального рівняння з урахуванням різних початкових умов | ||||
| періодична функція | функція є періодичною, якщо вона має повторюваний візерунок як значення\(x\) переміщення зліва направо | ||||
| відсоток помилки | відносна похибка виражена у відсотках | ||||
| перегородка | набір точок, що ділить інтервал на підінтервали | ||||
| конкретне рішення | член сімейства розв'язків диференціального рівняння, що задовольняє певній початковій умові | ||||
| конкретне рішення | розв'язок\(y_p(x)\) диференціального рівняння, що не містить довільних констант | ||||
| часткова сума | \( kth\)часткова сума нескінченного ряду\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) - скінченна сума\(\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k\) | ||||
| розкладання часткової фракції | метод, який використовується для розбиття раціональної функції на суму простих раціональних функцій | ||||
| рівняння в частинних по | рівняння, яке включає в себе невідому функцію більше, ніж одна незалежна змінна і один або кілька його часткових похідних | ||||
| часткова похідна | похідна функції більш ніж однієї незалежної змінної, в якій всі змінні, крім однієї, утримуються постійними | ||||
| параметричні рівняння прямої | множина рівнянь\(x=x_0+ta, y=y_0+tb,\) і\(z=z_0+tc\) описує пряму з вектором напрямку,\(v=⟨a,b,c⟩\) що проходить через точку\((x_0,y_0,z_0)\) | ||||
| параметричні рівняння | рівняння\(x=x(t)\) і\(y=y(t)\) які визначають параметричну криву | ||||
| параметрична крива | графік параметричних рівнянь\(x(t)\) і\(y(t)\) над інтервалом у\(a≤t≤b\) поєднанні з рівняннями | ||||
| параметризована поверхня (параметрична поверхня) | поверхню, задана описом форми\(\vecs r(u,v) = \langle x(u,v), \, y(u,v), \, z(u,v)\rangle\), де параметри\(v\) змінюються\(u\) і по області параметра в\(uv\) -площині | ||||
| параметризація кривої | переписування рівняння кривої, визначеної функцією,\(y=f(x)\) як параметричні рівняння | ||||
| параметр domain (простір параметрів) | область\(uv\) -площини, над якою\(v\) змінюються параметри\(u\) і для параметризації\(\vecs r(u,v) = \langle x(u,v), \, y(u,v), \, z(u,v)\rangle\) | ||||
| параметра | незалежна змінна, що обидва\(x\) і\(y\) залежать від параметричної кривої; зазвичай представлений змінною\(t\) | ||||
| метод паралелограма | метод знаходження суми двох векторів; розташувати вектори так, щоб вони поділяли одну і ту ж початкову точку; вектори потім утворюють дві сусідні сторони паралелограма; сума векторів - діагональ цього паралелограма | ||||
| p -серія | серія форми\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^p\) | ||||
| оскулююча площина | площину, визначену одиничним тангенсом і одиничним вектором нормалі | ||||
| оскулюючий коло | коло, яка є дотичною до кривої\(C\) в точці,\(P\) і що розділяє ту ж кривизну | ||||
| ортогональні вектори | вектори, які утворюють прямий кут при розміщенні в стандартному положенні | ||||
| орієнтація поверхні | якщо поверхня має «внутрішню» сторону і «зовнішню» сторону, то орієнтація - це вибір внутрішньої або зовнішньої сторони; поверхня також може мати «вгору» і «вниз» орієнтації | ||||
| орієнтація кривої | орієнтація кривої\(C\) - це заданий напрямок\(C\) | ||||
| орієнтація | напрямок, що точка рухається на графіку, як параметр збільшується | ||||
| порядок диференціального рівняння | найвищий порядок будь-якої похідної невідомої функції, що з'являється у рівнянні | ||||
| проблеми оптимізації | задачі, які вирішуються шляхом знаходження максимального або мінімального значення функції | ||||
| проблема оптимізації | обчислення максимального або мінімального значення функції декількох змінних, часто з використанням множників Лагранжа | ||||
| відкритий набір | множина\(S\), яка не містить жодної з його граничних точок | ||||
| перетворення один на один | перетворення,\(T : G \rightarrow R\) визначене як кажуть, один до одного, якщо жодна точка не\(T(u,v) = (x,y)\) відображається на одній і тій же точці зображення | ||||
| функція «один-на-один» | функція\(f\) один до одного,\(f(x_1)≠f(x_2)\) якщо\(x_1≠x_2\) | ||||
| одностороння межа | Одностороння межа функції - це межа, взята з лівого або правого | ||||
| непарна функція | функція непарна, якщо\(f(−x)=−f(x)\) для всіх\(x\) в області\(f\) | ||||
| октанти | вісім областей простору, створених координатними площинами | ||||
| коса асимптота | лінія,\(y=mx+b\) якщо\(f(x)\) наближається до неї як\(x→∞\) або\( x→−∞\) | ||||
| об'єктивна функція | функція, яка повинна бути максимізована або мінімізована в задачі оптимізації | ||||
| числове інтегрування | різноманітність числових методів, що використовуються для оцінки значення певного інтеграла, включаючи правило середньої точки, трапецієподібне правило та правило Сімпсона | ||||
| число е | як\(m\) стає більшим, кількість\((1+(1/m)^m\) наближається до деякого дійсного числа; ми визначаємо, що дійсне число буде\(e;\)\(e\) значенням приблизно\(2.718282\) | ||||
| нормалізації | використовуючи скалярне множення, щоб знайти одиничний вектор із заданим напрямком | ||||
| нормальний вектор | вектор, перпендикулярний площині | ||||
| нормальна площина | площині, яка перпендикулярна до кривої в будь-якій точці на кривій | ||||
| нормальна складова прискорення | коефіцієнт одиничного вектора нормалі,\(\vecs N\) коли вектор прискорення записується як лінійна комбінація\(\vecs T\) і\(\vecs N\) | ||||
| неоднорідне лінійне рівняння | диференціальне рівняння другого порядку, яке можна записати у вигляді\(a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x)\), але\(r(x)≠0\) для деякого значення\(x\) | ||||
| неелементарний інтеграл | інтеграл, для якого антипохідне цілого не може бути виражено як елементарна функція | ||||
| метод Ньютона | метод апроксимації коренів з\(f(x)=0;\) використанням початкової здогадки\(x_0\); кожне наступне наближення визначається рівнянням\(x_n=x_{n−1}−\frac{f(x_{n−1})}{f'(x_{n−1})}\) | ||||
| чиста підписана область | площа між функцією та\(x\) -віссю така, що площа нижче\(x\) -осі віднімається від області над\(x\) -віссю; результат такий же, як певний інтеграл функції | ||||
| чиста теорема зміни | якщо ми знаємо швидкість зміни величини, теорема чистої зміни говорить, що майбутня кількість дорівнює початковій величині плюс інтеграл швидкості зміни кількості | ||||
| натуральний логарифм | функція\(\ln x=\log_ex\) | ||||
| природна експоненціальна функція | функція\(f(x)=e^x\) | ||||
| дрімати | підгузник - одна половина подвійного конуса | ||||
| багатоваріантне обчислення | вивчення числення функцій двох і більше змінних | ||||
| монотонна послідовність | зростаюча або зменшується послідовність | ||||
| момент | якщо n мас розташовані на числовій лінії, то момент системи щодо початку заданий\(\displaystyle M=\sum^n_{i=1}m_ix_i\); якщо замість цього розглядати область в площині, обмежену вище функцією\(f(x)\) через інтервал\([a,b]\), то моменти області по відношенню до\(x\) - і \(y\)-осі задаються\(\displaystyle M_x=ρ∫^b_a\dfrac{[f(x)]^2}{2}\,dx\) і\(\displaystyle M_y=ρ∫^b_axf(x)\,dx\), відповідно | ||||
| змішані часткові похідні | часткові похідні другого порядку або вище, у яких принаймні дві диференціації є відносно різних змінних | ||||
| незначна вісь | незначна вісь перпендикулярна великій осі і перетинає велику вісь в центрі конічної, або у вершині у випадку параболи; також називається сполученою віссю | ||||
| правило середньої точки | правило, яке використовує суму Рімана форми\(\displaystyle M_n=\sum^n_{i=1}f(m_i)Δx\), де\( m_i\) середина\(i^{\text{th}}\) підінтервалу для наближення\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx\) | ||||
| метод варіації параметрів | метод, який передбачає пошук конкретних рішень у вигляді\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\), де\(y_1\) і\(y_2\) є лінійно незалежними розв'язками комплементарних рівнянь, а потім рішення системи рівнянь знайти\(u(x)\) і\(v(x)\) | ||||
| метод невизначених коефіцієнтів | метод, який включає в себе прийняття припущення про форму конкретного рішення, потім рішення для коефіцієнтів у припущенні | ||||
| метод множників Лагранжа | метод розв'язання задачі оптимізації з урахуванням одного або декількох обмежень | ||||
| метод циліндричних оболонок | метод обчислення обсягу твердого тіла обертання шляхом ділення твердого тіла на вкладені циліндричні оболонки; цей метод відрізняється від методів дисків або шайб тим, що ми інтегруємо щодо протилежної змінної | ||||
| Теорема про середнє значення для інтегралів | гарантує, що точка\(c\) існує\(f(c)\) така, яка дорівнює середньому значенню функції | ||||
| теорема про середнє значення | якщо\(f\) безперервний над\([a,b]\) і диференційований над\((a,b)\), то існує\(c∈(a,b)\) таке, що\(f′(c)=\frac{f(b)−f(a)}{b−a}\) | ||||
| математична модель | Метод моделювання реальних життєвих ситуацій за допомогою математичних рівнянь | ||||
| потік маси | швидкість масової витрати рідини на одиницю площі, вимірюється в масі в одиницю часу на одиницю площі | ||||
| граничний дохід | похідна від функції доходу, або приблизний дохід, отриманий від продажу ще одного предмета | ||||
| граничний прибуток | похідна від функції прибутку, або приблизний прибуток, отриманий шляхом виробництва і продажу ще одного предмета | ||||
| гранична вартість | похідна від функції витрат, або приблизна вартість виробництва ще однієї позиції | ||||
| велика вісь | велика вісь конічного перерізу проходить через вершину у випадку параболи або через дві вершини у випадку еліпса або гіперболи; вона також є віссю симетрії конічного; також називається поперечною віссю | ||||
| величина | довжина вектора | ||||
| серія Маклорен | Серія Тейлора для функції\(f\) в\(x=0\) відомий як серія Маклорена для\(f\) | ||||
| многочлен Маклорена | поліном Тейлора з центром\(0\); поліном Тейлора для\(f\) at\(0\)\(n^{\text{th}}\) - градусний поліном Маклорена для\(n^{\text{th}}\)\(f\) | ||||
| нижча сума | сума, отримана за допомогою мінімального значення\(f(x)\) на кожному підінтервалі | ||||
| логістичний диференціальний рівнян | диференціальне рівняння, яке включає в себе\(K\) несучу здатність і швидкість зростання rr в модель популяції | ||||
| логарифмічна функція | функція форми\(f(x)=\log_b(x)\) для якоїсь бази\(b>0,\,b≠1\) така, що\(y=\log_b(x)\) якщо і тільки якщо\(b^y=x\) | ||||
| логарифмічна диференціація | - це техніка, яка дозволяє диференціювати функцію, спочатку взявши натуральний логарифм обох сторін рівняння, застосовуючи властивості логарифмів для спрощення рівняння та диференціюючи неявно | ||||
| місцевий мінімум | якщо існує інтервал\(I\) такий, що\(f(c)≤f(x)\) для всіх\(x∈I\), ми говоримо\(f\) має локальний мінімум на\(c\) | ||||
| локальний максимум | якщо існує інтервал\(I\) такий, що\(f(c)≥f(x)\) для всіх\(x∈I\), ми говоримо\(f\) має локальний максимум при\(c\) | ||||
| локальний екстремум | якщо\(f\) має локальний максимум або локальний мінімум на\(c\), ми говоримо,\(f\) має локальний екстремум в\(c\) | ||||
| лінійно незалежний | набір функцій,\(f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)\) для яких відсутні константи\(c_1,c_2,…c_n\), такі, що\(c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+⋯+c_nf_n(x)=0\) для всіх\(x\) в інтервалі цікавить | ||||
| лінійно залежний | набір функцій,\(f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)\) для якихє константи\(c_1,c_2,…c_n\), не всі нуль, такі, що\(c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+⋯+c_nf_n(x)=0\) для всіх\(x\) в інтервалі цікавить | ||||
| лінійна функція | функція, яку можна записати у формі\(f(x)=mx+b\) | ||||
| лінійне наближення | лінійна функція\(L(x)=f(a)+f'(a)(x−a)\) - лінійне наближення\(f\) at\(x=a\) | ||||
| лінійне наближення | задавши функцію\( f(x,y)\) і дотичну площину до функції в точці\( (x_0,y_0)\), ми можемо наблизити\( f(x,y)\) для точок поблизу,\( (x_0,y_0)\) використовуючи формулу дотичної площини | ||||
| лінійний | опис диференціального рівняння першого порядку, яке можна записати у вигляді\( a(x)y′+b(x)y=c(x)\) | ||||
| лінійний інтеграл | інтеграл функції вздовж кривої в площині або в просторі | ||||
| межі інтеграції | ці значення з'являються у верхній і нижній частині знака інтеграла і визначають інтервал, через який повинна бути інтегрована функція | ||||
| межа векторної функції | векторно-значна функція\(\vecs r(t)\) має межу,\(\vecs L\) як\(t\) наближається,\(a\) якщо\(\lim \limits{t \to a} \left| \vecs r(t) - \vecs L \right| = 0\) | ||||
| межа послідовності | дійсне число LL, до якого сходиться послідовність, називається межею послідовності | ||||
| граничні закони | індивідуальні властивості меж; для кожного з окремих законів, нехай\(f(x)\) і\(g(x)\) бути визначені для всього\(x≠a\) деякого відкритого інтервалу, що містить a; припустимо, що L і M є дійсними числами, так що\(\lim_{x→a}f(x)=L\) і\(\lim_{x→a}g(x)=M\); нехай c бути постійною | ||||
| граничний тест порівняння | Припустимо\(a_n,b_n≥0\) для всіх\(n≥1\). Якщо\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→L≠0\), то\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) і те й\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) інше сходяться або обидва розходяться; якщо\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→0\) і\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) сходиться, то\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) сходиться. Якщо\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→∞\), і\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) розходиться, то\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) розходиться. | ||||
| межа на нескінченність | функція, яка наближається до граничного значення\(L\), як\(x\) стає великим | ||||
| обмежити | процес дозволу x або t наблизитися до а у виразі;\(f(x)\) межа функції як\(x\) підходи\(a\) - це значення, яке\(f(x)\) наближається як\(x\) підходи\(a\) | ||||
| Лімасон | графік рівняння\(r=a+b\sin θ\) або\(r=a+b\cos θ.\) Якщо\(a=b\) тоді графік кардіоїдний | ||||
| поверхня рівня функції трьох змінних | множина точок, що задовольняють рівнянню\(f(x,y,z)=c\) для деякого дійсного числа\(c\) в діапазоні\(f\) | ||||
| крива рівня функції двох змінних | множина точок, що задовольняють рівнянню\(f(x,y)=c\) для деякого дійсного числа\(c\) в діапазоні\(f\) | ||||
| наближення лівої кінцевої точки | наближення площі під кривою обчислюється за допомогою лівої кінцевої точки кожного підінтервалу для обчислення висоти вертикальних сторін кожного прямокутника | ||||
| ламіна | тонкий лист матеріалу; ламіни досить тонкі, що в математичних цілях вони можуть розглядатися так, ніби вони двовимірні | ||||
| множник Лагранжа | константа (або константи), що використовується в методі множників Лагранжа; у випадку однієї константи вона представлена змінною\(λ\) | ||||
| Правило L'Hôpital | Якщо\(f\) і\(g\) є диференційованими функціями протягом інтервалу\(a\), крім можливо в\(a\), і\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=0=\lim_{x→a}g(x)\) або\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) і і\(\displaystyle \lim_{x→a}g(x)\) нескінченні, то\(\displaystyle \lim_{x→a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x→a}\dfrac{f′(x)}{g′(x)}\), припускаючи, що межа праворуч існує або є\(∞\) або\(−∞\). | ||||
| Закони Кеплера руху планет | три закони, що регулюють рух планет, астероїдів і комет на орбіті навколо Сонця | ||||
| стрибок розриву | Розрив стрибка відбувається в точці,\(a\) якщо\(\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)\) і\(\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)\) обидва існують, але\(\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)≠\lim_{x→a^+}f(x)\) | ||||
| Якобський | якобіан\(J (u,v)\) у двох змінних є\(2 \times 2\) детермінантою:\[J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \nonumber \ \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}; \nonumber \] якобіан\(J (u,v,w)\) у трьох змінних є\(3 \times 3\) детермінантою:\[J(u,v,w) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial u} \nonumber \ \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial v} \nonumber \ \frac{\partial x}{\partial w} \frac{\partial y}{\partial w} \frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix} \nonumber \] | ||||
| ітераційний процес | процес, в якому\(x_0,x_1,x_2,x_3…\) формується список чисел, починаючи з числа\(x_0\) і визначаючи\(x_n=F(x_{n−1})\) для\(n≥1\) | ||||
| ітераційний інтеграл | для функції\(f(x,y)\) над регіоном\(R\) є a.\(\displaystyle \int_a^b \int_c^d f(x,y) \,dx \, dy = \int_a^b \left[\int_c^d f(x,y) \, dy\right] \, dx,\) b.\(\displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy = \int_c^d \left[\int_a^b f(x,y) \, dx\right] \, dy,\) де\(a,b,c\), і\(d\) є будь-якими дійсними числами і\(R = [a,b] \times [c,d]\) | ||||
| обернені тригонометричні функції | обернення тригонометричних функцій визначено на обмежених доменах, де вони є функціями один до одного | ||||
| обернені гіперболічні функції | зворотні гіперболічні функції де\(\cosh\) і\( \operatorname{sech}\) обмежені областю\([0,∞)\); кожна з цих функцій може бути виражена через склад натуральної логарифмової функції та алгебраїчної функції | ||||
| обернена функція | для функції\(f\) обернена функція\(f^{−1}\) задовольняє,\(f^{−1}(y)=x\) якщо\(f(x)=y\) | ||||
| інтуїтивне визначення ліміту | Якщо всі значення функції\(f(x)\) наближаються до дійсного числа\(L\) як значення\(x(≠a)\) наближення a,\(f(x)\) наближається до L | ||||
| інтервал зближення | множина дійсних чисел,\(x\) для яких зближується степеневий ряд | ||||
| проміжна змінна | заданий склад функцій (наприклад\(\displaystyle f(x(t),y(t)))\), проміжні змінні є змінними, які є незалежними від зовнішньої функції, але залежними від інших змінних, а також; у функції\(\displaystyle f(x(t),y(t)),\) змінні\(\displaystyle x\) і\(\displaystyle y\) є прикладами проміжних змінних | ||||
| Теорема про проміжні значення | \(f\)Дозволяти бути безперервним протягом замкнутого обмеженого інтервалу [\(a,b\)] якщо\(z\) будь-яке дійсне число між\(f(a)\) і\(f(b)\), то є число c в [\(a,b\)] задовольняє\(f(c)=z\) | ||||
| внутрішня точка | точка\(P_0\)\(\mathbb{R}\) є граничною точкою, якщо є\(δ\) диск з центром навколо\(P_0\) міститься повністю в\(\mathbb{R}\) | ||||
| інтеграційна таблиця | таблиця, в якій перераховані формули інтеграції | ||||
| інтеграція шляхом підміни | метод інтеграції, що дозволяє інтегрувати функції, які є результатом похідної ланцюга правила | ||||
| інтеграція частинами | методика інтеграції, що дозволяє обмінюватися одним інтегралом на інший за допомогою формули\(\displaystyle ∫u\,dv=uv−∫v\,du\) | ||||
| інтеграційний фактор | будь-яка функція\(f(x)\), яка множиться по обидва боки диференціального рівняння, щоб зробити сторону, що включає невідому функцію, рівною похідній добутку двох функцій | ||||
| цілісний | функція праворуч від символу інтеграції; integrand включає функцію інтегрується | ||||
| інтегральний тест | для ряду\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) з додатними членами\( a_n\), якщо існує неперервна, спадна функція\( f\) така, що\( f(n)=a_n\) для всіх натуральних чисел\( n\), то\[\sum_{n=1}^∞a_n \nonumber \] і\[∫^∞_1f(x)\,dx \nonumber \] обидва збігаються або обидва розходяться | ||||
| інтегральне числення | вивчення інтегралів та їх застосувань | ||||
| інтегрується функція | функція інтегрується, якщо існує межа, що визначає інтеграл; іншими словами, якщо межа сум Рімана, що\(n\) йде до нескінченності, існує | ||||
| миттєва швидкість | Миттєва швидкість об'єкта з функцією положення, яка задається, -\(s(t)\) це величина, до якої середні швидкості на інтервалах форми [\(t,a\)] і [\(a,t\)] наближаються як значення\(t\) переміщення ближче\(a\), за умови наявності такої величини | ||||
| миттєва швидкість зміни | швидкість зміни функції в будь-якій точці вздовж функції\(a\), яку також називають\(f′(a)\), або похідна функції при\(a\) | ||||
| проблема початкового значення | диференціальне рівняння разом з початковим значенням або значеннями | ||||
| початкова швидкість | швидкість в часі\(t=0\) | ||||
| початкове значення (и) | значення або набір значень, що рішення диференціального рівняння задовольняє для фіксованого значення незалежної змінної | ||||
| завдання початкового значення | задача, яка вимагає знаходження функції,\(y\) яка задовольняє диференціальне рівняння\(\dfrac{dy}{dx}=f(x)\) разом з початковою умовою\(y(x_0)=y_0\) | ||||
| початкова популяція | чисельність населення на час\(t=0\) | ||||
| початкова точка | початкова точка вектора | ||||
| точка перегину | якщо\(f\) є безперервним в\(c\) і\(f\) змінюється увігнутість в\(c\), точка\((c,f(c))\) є точкою перегину\(f\) | ||||
| нескінченна серія | нескінченний ряд - це вираз форми\(\displaystyle a_1+a_2+a_3+⋯=\sum_{n=1}^∞a_n\) | ||||
| нескінченна межа на нескін | функція, яка стає довільно великий, як\(x\) стає великим | ||||
| нескінченна межа | Функція має нескінченну межу в точці,\(a\) якщо вона або збільшується або зменшується без обмежень у міру наближення.\(a\) | ||||
| нескінченний розрив | Нескінченний розрив відбувається в точці,\(a\) якщо\(\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)=±∞\) або\(\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)=±∞\) | ||||
| змінна індексу | індекс, який використовується для визначення термінів у послідовності, називається індексом | ||||
| невизначені форми | При оцінці ліміту форми\(\dfrac{0}{0}\)\(∞/∞, 0⋅∞, ∞−∞, 0^0, ∞^0\), і\(1^∞\) вважаються невизначені, оскільки необхідний подальший аналіз, щоб визначити, чи існує межа і, якщо так, то яке його значення. | ||||
| незалежна змінна | вхідна змінна для функції | ||||
| незалежність шляху | векторне поле\(\vecs{F}\) має незалежність від шляху, якщо\(\displaystyle \int_{C_1} \vecs F⋅d\vecs r=\displaystyle \int_{C_2} \vecs F⋅d\vecs r\) для будь-яких кривих\(C_1\) і\(C_2\) в області\(\vecs{F}\) з однаковими початковими точками і кінцевими точками | ||||
| невизначений інтеграл векторно-значної функції | векторно-значна функція з похідною, яка дорівнює заданій векторно-значній функції | ||||
| невизначений інтеграл | найзагальнішим антипохідним від\(f(x)\) є невизначений інтеграл\(f\); ми використовуємо позначення\(\displaystyle \int f(x)\,dx\) для позначення невизначеного інтеграла\(f\) | ||||
| збільшення на інтервалі\(I\) | функція, що збільшується на інтервалі\(I\) if для всіх\(x_1,\,x_2∈I,\;f(x_1)≤f(x_2)\) if\(x_1<x_2\) | ||||
| неправильний інтеграл | інтеграл через нескінченний інтервал або інтеграл функції, що містить нескінченний розрив на інтервалі; неправильний інтеграл визначається через межу. Неправильний інтеграл сходиться, якщо ця межа є скінченним дійсним числом; в іншому випадку неправильний інтеграл розходиться | ||||
| неправильний подвійний інтеграл | подвійний інтеграл над необмеженою областю або необмеженою функцією | ||||
| неявна диференціація | це техніка обчислення\(\dfrac{dy}{dx}\) для функції, визначеної рівнянням, що здійснюється шляхом диференціації обох сторін рівняння (пам'ятаючи розглядати змінну\(y\) як функцію) та рішення для\(\dfrac{dy}{dx}\) | ||||
| гіперболоїд двох аркушів | тривимірна поверхня, описана рівнянням форми\( \dfrac{z^2}{c^2}−\dfrac{x^2}{a^2}−\dfrac{y^2}{b^2}=1\); сліди цієї поверхні включають еліпси і гіперболи | ||||
| гіперболоїд одного листа | тривимірна поверхня, описана рівнянням форми,\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}−\dfrac{z^2}{c^2}=1;\) сліди цієї поверхні включають еліпси і гіперболи | ||||
| гіперболічні функції | функції позначаються\(\sinh,\,\cosh,\,\operatorname{tanh},\,\operatorname{csch},\,\operatorname{sech},\) і\(\coth\), які передбачають певні комбінації\(e^x\) і\(e^{−x}\) | ||||
| гідростатичний тиск | тиск, що чиниться водою на занурений об'єкт | ||||
| тест горизонтальної лінії | функція\(f\) один до одного тоді і лише тоді, коли кожна горизонтальна лінія перетинає графік\(f\), щонайбільше, одного разу | ||||
| горизонтальна асимптота | якщо\(\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=L\) або\(\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=L\), то\(y=L\) є горизонтальним асимптотом\(f\) | ||||
| Закон Гука | цей закон стверджує, що сила, необхідна для стиснення (або подовження) пружини, пропорційна відстані, яку пружина була стиснута (або розтягнута) від рівноваги; іншими словами\(F=kx\), де\(k\) постійна | ||||
| однорідне лінійне рівняння | диференціальне рівняння другого порядку, яке можна записати у вигляді\(a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x)\), але\(r(x)=0\) для кожного значення\(x\) | ||||
| часткові похідні вищого порядку | часткові похідні другого порядку або вище, незалежно від того, чи є вони змішаними частковими похідними | ||||
| похідна вищого порядку | похідна похідної, від другої похідної до\(n^{\text{th}}\) похідної, називається похідною вищого порядку | ||||
| спіраль | тривимірна крива у формі спіралі | ||||
| тепловий потік | векторне поле, пропорційне негативному градієнту температури в об'єкті | ||||
| гармонійний ряд | гармонійний ряд набуває вигляду\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯\) | ||||
| період напіврозпаду | Якщо кількість розпадається експоненціально, період напіврозпаду є кількість часу, який він приймає кількість, щоб бути зменшені наполовину. Це дається\((\ln 2)/k\) | ||||
| темпи зростання | константа\(r>0\) в експоненціальній функції зростання\(P(t)=P_0e^{rt}\) | ||||
| криві сітки | криві на поверхні, паралельні лініям сітки в координатній площині | ||||
| Теорема Гріна | пов'язує інтеграл над зв'язаною областю до інтегралу над межею області | ||||
| граф функції двох змінних | множина впорядкованих трійок\((x,y,z)\), що задовольняє рівнянню,\(z=f(x,y)\) побудованому в тривимірному декартовому просторі | ||||
| граф функції | множина\((x,y)\) таких точок, що\(x\) знаходиться в області\(f\) і\(y=f(x)\) | ||||
| градієнтне поле | векторне поле,\(\vecs{F}\) для якого існує скалярна функція\(f\) така, що\(\vecs ∇f=\vecs{F}\); іншими словами, векторне поле, яке є градієнтом функції; такі векторні поля також називаються консервативними | ||||
| геометрична серія | геометричний ряд - це ряд, який можна записати у вигляді\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=a+ar+ar^2+ar^3+⋯\) | ||||
| геометрична послідовність | послідовність,\(\displaystyle {a_n}\) в якій співвідношення\(\displaystyle a_{n+1}/a_n\) однакове для всіх натуральних чисел\(\displaystyle n\) називається геометричною послідовністю | ||||
| узагальнене правило ланцюга | правило ланцюга поширюється на функції більш ніж однієї незалежної змінної, в якій кожна незалежна змінна може залежати від однієї або декількох інших змінних | ||||
| загальне рішення (або сімейство рішень) | усю множину розв'язків заданого диференціального рівняння | ||||
| загальна форма рівняння площини | рівняння у вигляді,\(ax+by+cz+d=0,\) де\(\vecs n=⟨a,b,c⟩\) є нормальним вектором площини,\(P=(x_0,y_0,z_0)\) є точкою на площині, і\(d=−ax_0−by_0−cz_0\) | ||||
| загальна форма | рівняння конічного перерізу, записане як загальне рівняння другого ступеня | ||||
| фундаментальна теорема числення, частина 2 | (також, теорема оцінки) ми можемо оцінити певний інтеграл, оцінюючи антипохідну цілісності в кінцевих точках інтервалу і віднімаючи | ||||
| фундаментальна теорема числення, частина 1 | використовує певний інтеграл для визначення антипохідної функції | ||||
| фундаментальна теорема числення | теорема, центральна для всього розвитку обчислення, яка встановлює зв'язок між диференціацією та інтеграцією | ||||
| Фундаментальна теорема для лінійних інтегралів | значення лінійного інтеграла\(\displaystyle \int_C\vecs ∇f⋅d\vecs r\) залежить тільки від значення\(f\) в кінцевих точках\(C: \displaystyle \int_C \vecs ∇f⋅d\vecs r=f(\vecs r(b))−f(\vecs r(a))\) | ||||
| функція двох змінних | функція\(z=f(x,y)\), яка відображає кожну впорядковану пару\((x,y)\) в\(D\) підмножині з\(R^2\) унікальним дійсним числом\(z\) | ||||
| функція | набір входів, набір виходів і правило для відображення кожного входу рівно до одного виходу | ||||
| Теорема Фубіні | якщо\(f(x,y)\) є функцією двох змінних, яка є безперервною над прямокутною областю\(R = \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \,|\,a \leq x \leq b, \, c \leq y \leq d\big\}\), то подвійний інтеграл\(f\) над областю дорівнює ітераційному інтегралу,\[\displaystyle\iint_R f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \,dx \, dy = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \,dx \, dy \nonumber \] | ||||
| фрустум | частина конуса; frustum будується шляхом розрізання конуса з площиною, паралельною підставі | ||||
| Френет-система відліку | (кадр TNB) — система відліку в тривимірному просторі, утворена одиничним дотичним вектором, одиничним нормальним вектором та бінормальним вектором | ||||
| формальне визначення нескінченної межі | \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=\infty\)якщо для кожного\(M>0\), існує\(δ>0\) такий, що якщо\(0<|x−a|<δ\), то\(f(x)>M\)\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=-\infty\) якщо для кожного\(M>0\), існує\(δ>0\) такий, що якщо\(0<|x−a|<δ\), то\(f(x)<-M\) | ||||
| фокус | фокус (множина: вогнища) - точка, яка використовується для побудови та визначення конічного перерізу; парабола має один фокус; еліпс та гіпербола мають два | ||||
| фокусний параметр | фокальний параметр - відстань від фокуса конічного перерізу до найближчої директриси | ||||
| інтегральний потік | інша назва поверхневого інтеграла векторного поля; бажаний термін у фізиці та техніці | ||||
| потік | швидкість потоку рідини через криву в векторному полі; потік векторного поля\(\vecs F\) по площині кривої\(C\) є лінійним інтегралом\(∫_C \vecs F·\frac{\vecs n(t)}{‖\vecs n(t)‖} \,ds\) | ||||
| перший похідний тест | \(f\)нехай безперервна функція протягом інтервалу,\(I\) що містить критичну точку,\(c\) таку, яка\(f\) диференційована над\(I\) крім можливо в\(c\); якщо\(f'\) змінюється знак від позитивного до негативного, як\(x\) збільшується через\(c\), то \(f\)має локальний максимум при\(c\); якщо\(f'\) змінюється знак з негативного на позитивний як\(x\) збільшується через\(c\), то\(f\) має локальний мінімум при\(c\); якщо\(f'\) не змінює знак як\(x\) збільшується через\(c\), то\(f\) не має локального екстремуму при\(c\) | ||||
| Теорема Ферма | якщо\(f\) має локальний екстремум в\(c\), то\(c\) є критичною точкою\(f\) | ||||
| теорема про екстремальне значення | якщо\(f\) є безперервною функцією над скінченним замкнутим інтервалом, то\(f\) має абсолютний максимум і абсолютний мінімум | ||||
| експоненціальне зростання | системи, які демонструють експоненціальне зростання, слідують моделі форми\(y=y_0e^{kt}\) | ||||
| експоненціальний розпад | системи, які демонструють експоненціальний розпад, слідують моделі форми\(y=y_0e^{−kt}\) | ||||
| показник | значення\(x\) у виразі\(b^x\) | ||||
| явна формула | послідовність може бути визначена явною формулою, такою, що\(\displaystyle a_n=f(n)\) | ||||
| парна функція | функція навіть якщо\(f(−x)=f(x)\) для всіх\(x\) у домені\(f\) | ||||
| Метод Ейлера | числовий метод, що використовується для наближення розв'язків початкової задачі | ||||
| еквівалентні вектори | вектори, які мають однакову величину і однаковий напрямок | ||||
| рівновага рішення | будь-який розв'язок диференціального рівняння виду\( y=c,\),\( c\) де константа | ||||
| epsilon-дельта визначення межі | \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L\)якщо для кожного\(ε>0\), існує\(δ>0\) такий, що якщо\(0<|x−a|<δ\), то\(|f(x)−L|<ε\) | ||||
| кінець поведінка | поведінка функції як\(x→∞\) і\(x→−∞\) | ||||
| еліптичний параболоїд | тривимірна поверхня, описана рівнянням форми\( z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\); сліди цієї поверхні включають еліпси і параболи | ||||
| еліптичний конус | тривимірна поверхня описується рівнянням форми\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}−\dfrac{z^2}{c^2}=0\); сліди цієї поверхні включають еліпси і пересічні лінії | ||||
| еліпсоїд | тривимірна поверхня, описана рівнянням форми\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\); всі сліди цієї поверхні є еліпсами | ||||
| ексцентричність | ексцентриситет визначається як відстань від будь-якої точки конічного перерізу до її фокусу, поділене на перпендикулярну відстань від цієї точки до найближчої директриси | ||||
| подвоєння часу | якщо кількість зростає в геометричній прогресії, подвоєння час - це кількість часу, яку потрібно подвоїти, і задається\((\ln 2)/k\) | ||||
| подвійна сума Riemann | функції\(f(x,y)\) над прямокутною\(R\) областю,\[\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \,\Delta A, \nonumber \] де\(R\) ділиться на менші підпрямокутники\(R_{ij}\) і\((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) є довільною точкою в\(R_{ij}\) | ||||
| подвійний інтеграл | функції\(f(x,y)\) над областю\(R\) в\(xy\) -площині визначається як межа подвійної суми Рімана,\[ \iint_R f(x,y) \,dA = \lim_{m,n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \,\Delta A. \nonumber \] | ||||
| точковий добуток або скалярний добуток | \(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\)де\(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) і\(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) | ||||
| домен | набір входів для функції | ||||
| розбіжна послідовність | послідовність, яка не є сходженням є розходиться | ||||
| тест на розбіжність | якщо\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,\) то ряд\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) розходиться | ||||
| розбіжність ряду | ряд розходиться, якщо послідовність часткових сум для цього ряду розходиться | ||||
| розбіжність | розбіжність векторного поля\(\vecs{F}=⟨P,Q,R⟩\), що позначається\(\vecs ∇× \vecs{F}\), є\(P_x+Q_y+R_z\); він вимірює «відтікання» векторного поля | ||||
| диск метод | окремий випадок методу нарізки, що використовується з твердими частинами обертання, коли зрізи є дисками | ||||
| дискримінантний | значення\(4AC−B^2\), яке використовується для ідентифікації конічного, коли рівняння містить член за участю\(xy\), називається дискримінантним | ||||
| дискримінантний | дискримінант функції\(f(x,y)\) задається формулою\(D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)−(f_{xy}(x_0,y_0))^2\) | ||||
| розрив у точці | Функція розривається в точці або має розрив у точці, якщо вона не є безперервною в точці | ||||
| директриса | директриса (множина: директриси) — лінія, яка використовується для побудови та визначення конічного перерізу; парабола має одну директрису; еліпси та гіперболи мають два | ||||
| спрямована похідна | похідна функції у напрямку заданого одиничного вектора | ||||
| градієнт | визначено\(f(x,y)\) градієнт функції be\(\vecs ∇f(x,y)=(∂f/∂x)\,\hat{\mathbf i}+(∂f/∂y)\,\hat{\mathbf j},\), який можна узагальнити на функцію будь-якої кількості незалежних змінних | ||||
| напрямок вектор | вектор, паралельний лінії, яка використовується для опису напрямку або орієнтації лінії в просторі | ||||
| поле напряму (поле нахилу) | математичний об'єкт, який використовується для графічного представлення рішень диференціального рівняння першого порядку; у кожній точці поля напряму з'являється відрізок лінії, нахил якого дорівнює нахилу рішення диференціального рівняння, що проходить через цю точку | ||||
| косинуси напряму | косинуси кутів, утворених ненульовим вектором і координатними осями | ||||
| кути напряму | кути, утворені ненульовим вектором і осями координат | ||||
| диференціації | процес взяття похідної | ||||
| диференціальна форма | задана\(y=f'(x),\) диференційовна функція рівняння\(dy=f'(x)\,dx\) є диференціальною формою похідної\(y\) відносно\(x\) | ||||
| диференційне рівняння | рівняння, що включає функцію\(y=y(x)\) та одну або кілька її похідних | ||||
| диференціальне числення | область обчислення, що займається вивченням похідних та їх застосувань | ||||
| диференціальний | диференціал\(dx\) - це незалежна змінна, якій може бути присвоєно будь-яке ненульове дійсне число; диференціал\(dy\) визначається як\(dy=f'(x)\,dx\) | ||||
| диференційований на\(S\) | функція, для якої\(f'(x)\) існує для кожного\(x\) у відкритому\(S\) множині, диференційована на\(S\) | ||||
| диференційована функція | функція, для якої\(f'(x)\) існує, є диференційованою функцією | ||||
| диференційований при\(a\) | функція, для якої\(f'(a)\) існує, диференційовна при\(a\) | ||||
| диференційований | функція\( f(x,y)\) диференційовна при\( (x_0,y_0)\) if\( f(x,y)\) може бути виражена у формі\( f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)+E(x,y),\), де\( E(x,y)\) задовольняє термін помилки\( \lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}\dfrac{E(x,y)}{\sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}=0\) | ||||
| різниця правило | похідна різниці функції\(f\) і функції така ж, як різниця похідної від\(f\) і похідної від\(g\):\(g\)\(\dfrac{d}{dx}\big(f(x)−g(x)\big)=f′(x)−g′(x)\) | ||||
| коефіцієнт різниці | функції\(f(x)\) at\(a\) задається\(\dfrac{f(a+h)−f(a)}{h}\) або\(\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}\) | ||||
| закон різниці для лімітів | граничний закон\[\lim_{x→a}(f(x)−g(x))=\lim_{x→a}f(x)−\lim_{x→a}g(x)=L−M \nonumber \] | ||||
| похідна векторно-значної функції | похідна векторно-значної функції\(\vecs{r}(t)\) дорівнює\(\vecs{r}′(t) = \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{\vecs r(t+\Delta t)−\vecs r(t)}{ \Delta t}\), якщо межа існує | ||||
| похідна функція | дає похідну функції в кожній точці області початкової функції, для якої визначено похідну | ||||
| похідне | нахил дотичної прямої до функції в точці, обчислюється, приймаючи межу частки різниці, є похідною | ||||
| залежна змінна | вихідна змінна для функції | ||||
| функція щільності | функція щільності описує, як маса розподіляється по об'єкту; це може бути лінійна щільність, виражена через масу на одиницю довжини; щільність площі, виражена через масу на одиницю площі; або об'ємна щільність, виражена через масу на одиницю об'єму; ваго-щільність також використовується для опису вага (а не маса) на одиницю об'єму | ||||
| ступінь | для поліноміальної функції значення найбільшого показника будь-якого члена | ||||
| певний інтеграл векторно-значної функції | вектор, отриманий шляхом обчислення певного інтеграла кожної з складових функцій заданої векторно-значної функції, з подальшим використанням результатів як складових результуючої функції | ||||
| певний інтеграл | первинна операція числення; площа між кривою і\(x\) -віссю через заданий інтервал є певним інтегралом | ||||
| зменшення на інтервалі\(I\) | функція, що зменшується на інтервалі\(I\) if, для всіх\(x_1,\,x_2∈I,\;f(x_1)≥f(x_2)\) if\(x_1<x_2\) | ||||
| циліндрична система координат | спосіб описати місце в просторі з впорядкованою трійкою,\((r,θ,z),\) де\((r,θ)\) представляє полярні координати проекції точки в\(xy\) -площині, а z представляє проекцію точки на\(z\) вісь - | ||||
| циліндр | набір ліній, паралельних заданій лінії, що проходять через задану криву | ||||
| циклоїдний | крива простежується точкою на обіді кругового колеса, коли колесо котиться по прямій лінії без прослизання | ||||
| купін | загострений кінець або частина, де дві криві зустрічаються | ||||
| викривлення | похідна одиничного дотичного вектора по відношенню до параметра довжини дуги | ||||
| локон | завиток векторного поля\(\vecs{F}=⟨P,Q,R⟩\),\(\vecs ∇× \vecs{F}\) що позначається є «визначником» матриці\[\begin{vmatrix} \mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k} \ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{vmatrix}. \nonumber \] і задається виразом\((R_y−Q_z)\,\mathbf{\hat i} +(P_z−R_x)\,\mathbf{\hat j} +(Q_x−P_y)\,\mathbf{\hat k} \); він вимірює тенденцію частинок в точці до обертання навколо осі, яка вказує в напрямку завитка в точці | ||||
| кубічна функція | многочлен ступеня 3; тобто функція виду\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), де\(a≠0\) | ||||
| поперечний переріз | перетин площини і твердого об'єкта | ||||
| перехресний продукт | \(\vecs u×\vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)\mathbf{\hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)\mathbf{\hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)\mathbf{\hat k},\)де\(\vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) і\(\vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) визначник - дійсне число, пов'язане з квадратною матрицею, паралелепіпедом, тривимірною призмою з шістьма гранями, які є паралелограмами, крутним моментом, вплив сили, що змушує об'єкт обертатися потрійний скалярний добуток вектора з хрестом добуток двох інших векторів:\(\vecs u⋅(\vecs v×\vecs w)\) векторний добуток на перехресний добуток двох векторів. | ||||
| критична точка функції двох змінних | точка\((x_0,y_0)\) називається критичною точкою,\(f(x,y)\) якщо дотримується одне з двох наступних умов: 1. \(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\)2. Принаймні один з\(f_x(x_0,y_0)\) і\(f_y(x_0,y_0)\) не існує | ||||
| критична точка | якщо\(f'(c)=0\) або\(f'(c)\) не визначено, ми говоримо, що c є критичною точкою\(f\) | ||||
| координатна площина | площина, що містить дві з трьох осей координат у тривимірній системі координат, названі осями, які вона містить:\(xy\) -plane,\(xz\) -plane, або\(yz\) -plane | ||||
| конвергентна послідовність | збіжна послідовність - це послідовність,\(\displaystyle {a_n}\) для якої існує дійсне число\(\displaystyle L\)\(\displaystyle a_n\) таке, яке довільно близьке до тих\(\displaystyle L\) пір, поки\(\displaystyle n\) є досить великим | ||||
| зближення ряду | ряд сходиться, якщо послідовність часткових сум для цього ряду збігається | ||||
| контурна карта | графік кривих різних рівнів заданої функції\(f(x,y)\) | ||||
| безперервність протягом інтервалу | функція, яку можна простежити за допомогою олівця, не піднімаючи олівець; функція є безперервною протягом відкритого інтервалу, якщо вона безперервна в кожній точці інтервалу; функція\(f(x)\) є безперервною протягом замкнутого інтервалу форми [\(a,b\)] якщо вона безперервна в кожній точці в (\(a,b\)), і він безперервний з правого\(a\) і лівого на\(b\) | ||||
| спадкоємність з правого | Функція є безперервною праворуч при if\(\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)=f(a)\) | ||||
| безперервність зліва | Функція є безперервною ліворуч при b, якщо\(\displaystyle \lim_{x→b^−}f(x)=f(b)\) | ||||
| безперервність в точці | Функція\(f(x)\) є неперервною в точці a, якщо і тільки якщо виконуються наступні три умови: (1)\(f(a)\) визначено, (2)\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) існує і (3)\(\displaystyle \lim{x→a}f(x)=f(a)\) | ||||
| обмеження | нерівність або рівняння за участю однієї або декількох змінних, яка використовується в задачі оптимізації; обмеження встановлює обмеження на можливі рішення задачі | ||||
| постійне правило | похідна постійної функції дорівнює нулю:\(\dfrac{d}{dx}(c)=0\), де\(c\) константа | ||||
| постійне множинне правило | похідна константи,\(c\) помноженої на функцію,\(f\) така ж, як і константа, помножена на похідну:\(\dfrac{d}{dx}\big(cf(x)\big)=cf′(x)\) | ||||
| постійний множинний закон для обмежень | граничний закон\[\lim_{x→a}cf(x)=c⋅\lim_{x→a}f(x)=cL \nonumber \] | ||||
| консервативне поле | векторне поле, для якого існує скалярна функція\(f\) така, що\(\vecs ∇f=\vecs{F}\) | ||||
| підключений набір | відкритий набір\(S\), який не може бути представлений як об'єднання двох або більше нероз'єднаних, непорожніх відкритих підмножин | ||||
| підключений регіон | область, в якій будь-які дві точки можуть бути з'єднані шляхом з трасою, що міститься повністю всередині області | ||||
| конічний перетин | конічний переріз - це будь-яка крива, утворена перетином площини з конусом двох ворсів | ||||
| умовна конвергенція | якщо ряд\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) сходиться, але ряд\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|\) розходиться,\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) то ряд, як кажуть, сходиться умовно | ||||
| тест на увігнутість | \(f\)припустимо, двічі диференційовані протягом інтервалу\(I\); якщо\(f''>0\) над\(I\),\(f\) то увігнуті вгору над\(I\); якщо\(f''<\) над\(I\),\(f\) то увігнутий вниз над\(I\) | ||||
| увігнутість | вгору або вниз крива графіка функції | ||||
| увігнуті вгору | якщо\(f\) диференціюється протягом інтервалу\(I\) і\(f'\) збільшується більше\(I\),\(f\) то увігнуті вгору над\(I\) | ||||
| увігнуті вниз | якщо\(f\) диференціюється протягом інтервалу\(I\) і\(f'\) зменшується над\(I\),\(f\) то увігнута вниз над\(I\) | ||||
| система комп'ютерної алгебри (CAS) | технологія, яка використовується для виконання багатьох математичних завдань, включаючи інтеграцію | ||||
| композитна функція | задано дві функції\(f\) і\(g\), нова функція, позначається\(g∘f\), така, що\((g∘f)(x)=g(f(x))\) | ||||
| компонентні функції | компонентними функціями векторно-значної функції\(\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}\) є\(f(t)\) і\(g(t)\), а компонентними функціями векторно-значної функції\(\vecs r(t)=f(t)\hat{\mathbf{i}}+g(t)\hat{\mathbf{j}}+h(t)\hat{\mathbf{k}}\) є\(f(t)\),\(g(t)\) і\(h(t)\) | ||||
| компонента | скаляр, який описує вертикальний або горизонтальний напрямок вектора | ||||
| додаткове рівняння | для неоднорідного лінійного диференціального\[a+2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x), \nonumber \] рівняння пов'язане однорідне рівняння, зване додатковим рівнянням, є\[a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=0 \nonumber \] | ||||
| порівняння тест | Якщо\(0≤a_n≤b_n\) для всіх\(n≥N\) і\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) сходиться, то\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) сходиться; якщо\(a_n≥b_n≥0\) для всіх\(n≥N\) і\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) розходиться, то\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) розходиться. | ||||
| закритий набір | множина\(S\), яка містить усі його граничні точки | ||||
| замкнута крива | крива, для якої існує параметризація\(\vecs r(t), a≤t≤b\), така, що\(\vecs r(a)=\vecs r(b)\), і крива проходить рівно один раз | ||||
| замкнута крива | крива, яка починається і закінчується в одній точці | ||||
| циркуляція | схильність рідини рухатися у напрямку кривої\(C\). Якщо\(C\) замкнута крива, то циркуляція\(\vecs F\) уздовж\(C\) - це лінійний інтеграл\(∫_C \vecs F·\vecs T \,ds\), який ми також позначимо\(∮_C\vecs F·\vecs T \,ds\). | ||||
| характеристичне рівняння | рівняння\(aλ^2+bλ+c=0\) для диференціального рівняння\(ay″+by′+cy=0\) | ||||
| зміна змінних | заміна змінної, наприклад\(u\), для виразу в integrand | ||||
| правило ланцюга | правило ланцюга визначає похідну від складеної функції як похідну зовнішньої функції, оцінену у часи внутрішньої функції, похідну внутрішньої функції | ||||
| центроїд | центроїд області - геометричний центр області; пламіни часто представлені областями в площині; якщо пластинка має постійну щільність, центр маси пластинки залежить тільки від форми відповідної плоской області; в цьому випадку центр маси пластинки відповідає центроїд представницького регіону | ||||
| центр маси | точка, в якій можна було б сконцентрувати загальну масу системи, не змінюючи момент | ||||
| контактна | крива у формі функції\(y=a\cdot\cosh(x/a)\) - контактна; кабель рівномірної щільності, підвішений між двома опорами, приймає форму контактної | ||||
| вантажопідйомність | максимальна популяція організму, яку навколишнє середовище може підтримувати нескінченно довго | ||||
| кардіоїдних | плоска крива простежується точкою по периметру кола, яка рухається навколо фіксованого кола того ж радіуса; рівняння кардіоїдних є\(r=a(1+\sin θ)\) або\(r=a(1+\cos θ)\) | ||||
| обмежена послідовність | послідовність\(\displaystyle {a_n}\) обмежена, якщо існує константа\(\displaystyle M\) така, що\(\displaystyle |a_n|≤M\) для всіх натуральних чисел\(\displaystyle n\) | ||||
| обмежений нижче | послідовність\(\displaystyle {a_n}\) обмежена нижче, якщо існує константа\(\displaystyle M\) така, що\(\displaystyle M≤a_n\) для всіх натуральних чисел\(\displaystyle n\) | ||||
| обмежений вище | послідовність\(\displaystyle {a_n}\) обмежена вище, якщо існує константа\(\displaystyle M\) така, що\(\displaystyle a_n≤M\) для всіх натуральних чисел\(\displaystyle n\) | ||||
| крайова задача | диференціальне рівняння з пов'язаними граничними умовами | ||||
| гранична точка | точка\(R\) є\(P_0\) крайовою точкою, якщо кожен\(δ\) диск, центрований навколо,\(P_0\) містить точки як всередині, так і зовні\(R\) | ||||
| граничні умови | умови, які дають стан системи в різний час, такі як положення пружинно-масової системи в два різні часи | ||||
| бінормальний вектор | одиничний вектор, ортогональний до одиничного дотичного вектора та вектору одиниці нормалі | ||||
| біноміальний ряд | серія Maclaurin для\( f(x)=(1+x)^r\); це дається\( (1+x)^r=\sum_{n=0}^∞(^r_n)x^n=1+rx+\dfrac{r(r−1)}{2!}x^2+⋯+\dfrac{r(r−1)⋯(r−n+1)}{n!}x^n+⋯\) для\( |x|<1\) | ||||
| база | число\(b\) в експоненціальній функції\(f(x)=b^x\) та логарифмічна функція\(f(x)=\log_bx\) | ||||
| середня швидкість | зміна положення об'єкта, поділене на довжину часового періоду; середня швидкість об'єкта за часовий проміжок [\(t,a\)] (if\(t<a\) або [\(a,t\)] if\(t>a\)), з позицією, заданою\(s(t)\), тобто\(v_{ave}=\dfrac{s(t)−s(a)}{t−a}\) | ||||
| середнє значення функції | (Або\(f_{ave})\) середнє значення функції на інтервалі можна знайти, обчисливши певний інтеграл функції і розділивши це значення на довжину інтервалу | ||||
| середня швидкість зміни | є функцією\(f(x)\) протягом інтервалу\([x,x+h]\)\(\frac{f(x+h)−f(a)}{b−a}\) | ||||
| автономне диференційне рівняння | рівняння, в якому права сторона є функцією\(y\) поодинці | ||||
| асимптотично нестійкий розв'язок | \( y=k\)якщо існує\( ε>0\) таке, що для будь-якого значення рішення\( c∈(k−ε,k+ε)\) початкової задачі\( y′=f(x,y),y(x_0)=c\) ніколи не наближається до\( k\)\( x\) нескінченності | ||||
| асимптотично стійкий розв'язок | \( y=k\)якщо існує\( ε>0\) таке, що для будь-якої величини\( c∈(k−ε,k+ε)\) розв'язання початкової задачі\( y′=f(x,y),y(x_0)=c\) наближається\( k\) як\( x\) до нескінченності | ||||
| асимптотично напівстійкий розчин | \( y=k\)якщо він не є ні асимптотично стабільним, ні асимптотично нестабільним | ||||
| арифметична послідовність | послідовність, в якій різниця між кожною парою послідовних членів однакова називається арифметичною послідовністю | ||||
| параметризація довжини дуги | репараметризація векторно-значної функції, у якій параметр дорівнює довжині дуги | ||||
| функція довжини дуги | функція\(s(t)\), яка описує довжину дуги кривої\(C\) як функцію\(t\) | ||||
| довжина дуги | довжина дуги кривої можна розглядати як відстань, яку людина буде подорожувати вздовж шляху кривої | ||||
| антидериватив | функція\(F\) така, що\(F′(x)=f(x)\) для всіх\(x\) в області з\(f\) є антипохідним\(f\) | ||||
| кутова координата | \(θ\)кут, утворений відрізком лінії, що з'єднує початок з точкою в полярній системі координат з позитивною радіальною (x) віссю, виміряною проти годинникової стрілки | ||||
| сума змін | кількість функції\(f(x)\) за інтервал\([x,x+h] is f(x+h)−f(x)\) | ||||
| чергування серійних випробувань | для чергуються рядів будь-якої форми, якщо\( b_{n+1}≤b_n\) для всіх цілих чисел\( n≥1\) і\( b_n→0\), то змінний ряд сходиться | ||||
| чергуються ряди | серія форми\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n\) або\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n\), де\( b_n≥0\), називається чергуються ряд | ||||
| алгебраїчна функція | функція, що включає будь-яку комбінацію лише основних операцій додавання, віднімання, множення, ділення, степенів та коренів, застосованих до вхідної змінної\(x\) | ||||
| вектор прискорення | друга похідна вектора положення | ||||
| прискорення | це швидкість зміни швидкості, тобто похідна швидкості | ||||
| функція абсолютного значення | \(f(x)=\begin{cases}−x, & \text{if } x<0\x, & \text{if } x≥0\end{cases}\) | ||||
| абсолютний мінімум | якщо\(f(c)≤f(x)\) для всіх\(x\) в домені\(f\), ми говоримо,\(f\) має абсолютний мінімум на\(c\) | ||||
| абсолютний максимум | якщо\(f(c)≥f(x)\) для всіх\(x\) в області\(f\), ми говоримо,\(f\) має абсолютний максимум при\(c\) | ||||
| абсолютний екстремум | якщо\(f\) має абсолютний максимум або абсолютний мінімум на\(c\), ми говоримо,\(f\) має абсолютний екстремум при\(c\) | ||||
| абсолютна похибка | якщо\(B\) є оцінкою деякої величини, що має фактичне значення\(A\), то абсолютна похибка задається\( |A−B|\) | ||||
| абсолютна конвергенція | якщо серія\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|\) сходиться, то серія,\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) як кажуть, сходиться абсолютно | ||||
| \(δ\)диск | відкритий диск радіуса з\(δ\) центром у точці\((a,b)\) | ||||
| \(δ\)м'яч | всі точки\(\mathbb{R}^3\) лежачи на відстані менше, ніж\(δ\) від\((x_0,y_0,z_0)\) | ||||
| стаціонарне рішення | розв'язок неоднорідного диференціального рівняння, пов'язаного з форсувальною функцією; у довгостроковій перспективі рішення наближається до сталого розв'язку |