11.9: Зміна змінних

Мотивуючі питання

• Що таке зміна змінних?
• Що таке якобійський, і як воно пов'язане зі зміною змінних?

В численні однієї змінної ми зіткнулися з ідеєю зміни змінної в певний інтеграл за допомогою методу підстановки. Наприклад, заданий певний інтеграл

\[ \int_0^2 2x(x^2+1)^3 \, dx, \nonumber \]

ми природно розглядаємо зміну змінної.\(u = x^2+1\text{.}\) З цієї підміни випливає, що\(du = 2x \, dx\text{,}\) і оскільки\(x = 0\) має на\(x = 2\) увазі\(u = 1\) і має на увазі\(u = 5\text{,}\) ми перетворили оригінальний інтеграл\(u\text{.}\) в новий інтеграл зокрема,\(x\)

\[ \int_0^2 2x(x^2+1)^3 \, dx = \int_1^5 u^3 \, du. \nonumber \]

Останній інтеграл, звичайно, набагато простіше оцінити.

Завдяки нашій роботі з полярними, циліндричними та сферичними координатами ми вже неявно бачили деякі проблеми, які виникають при використанні зміни змінних з двома або трьома змінними. Далі ми прагнемо зрозуміти загальні ідеї, що стоять за будь-якою зміною змінних у множинному інтегралі.

Попередній перегляд Активність 11.9.1

Розглянемо подвійний інтеграл

\[ I = \iint_D x^2+y^2 \, dA,\label{eq_11_9_COV_PA}\tag{11.9.1} \]

де\(D\) - верхня половина диска агрегату.

1. 1. Запишіть подвійний інтеграл,\(I\) заданий у Рівнянні (11.9.1), як ітераційний інтеграл у прямокутних координатах.
   2. Запишіть подвійний інтеграл,\(I\) заданий у Рівнянні (11.9.1) як ітераційний інтеграл у полярних координатах.
2. Коли ми запишемо подвійний інтеграл (11.9.1) як ітераційний інтеграл в полярних координатах, ми робимо зміну змінних, а саме
   \[ x = r \cos(\theta) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = r \sin(\theta).\label{eq_11_9_pol_to_rect}\tag{11.9.2} \]

   Потім ми також повинні\(dA\) перейти на\(r \, dr \, d\theta\text{.}\) Цей процес також ідентифікує «полярний прямокутник»\([r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]\) з оригінальним декартовим прямокутником, під перетворенням ¹ в Рівняння (11.9.2). Вершини полярного прямокутника перетворюються в вершини замкнутої та обмеженої області в прямокутних координатах.

   Для роботи з числовим прикладом давайте тепер розглянемо полярний прямокутник,\(P\) заданий\([1, 2] \times [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]\text{,}\) таким чином, що\(r_1 = 1\text{,}\)\(r_2=2\text{,}\)\(\theta_1 = \frac{\pi}{6}\text{,}\) і\(\theta_2 = \frac{\pi}{4}\text{.}\)

   1. Використовуйте перетворення, визначене рівняннями в (11.9.2), щоб знайти прямокутні вершини, які відповідають полярним вершинам в\(P\text{.}\) полярному прямокутнику Іншими словами, підставивши відповідні значення\(r\) і\(\theta\) в два рівняння в (11.9.2), знайти значення відповідні\(x\) та\(y\) координати для вершин полярного прямокутника\(P\text{.}\) Позначити точку, яка відповідає полярній вершині,\((r_1, \theta_1)\) як\((x_1, y_1)\text{,}\) точку, відповідну полярній вершині,\((r_2, \theta_1)\) як\((x_2, y_2)\text{,}\) точку, відповідну полярній вершині\((r_1, \theta_2)\) як\((x_3, y_3)\text{,}\) і точка, що відповідає полярній вершині\((r_2, \theta_2)\) як\((x_4, y_4)\text{.}\)
   2. Намалюйте малюнок фігури в прямокутних координатах, що має точки\((x_1,y_1)\text{,}\)\((x_2,y_2)\text{,}\)\((x_3, y_3)\text{,}\) і\((x_4,y_4)\) як вершини. (Уважно зауважте, що через тригонометричних функцій при перетворенні ця область не буде схожа на декартовий прямокутник.) Яка площа цієї області в прямокутних координатах? Як ця область порівнюється з площею вихідного полярного прямокутника?

Перетворення - це інша назва функції: тут рівняння\(x = r\cos(\theta)\) і\(y = r\sin(\theta)\) визначити функцію\(T\)\(T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\) таким чином, що\(T\) є функцією (перетворенням) від\(\mathbb{R}^2\) до\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Ми розглядаємо це перетворення як відображення версії\(xy\) -plane де осі розглядаються як представляють\(r\) і\(\theta\) (\(r \theta\)-площину) до знайомої\(xy\) -площині.

11.9.1 Зміна змінних в полярних координатах

Загальна ідея зміни змінних пропонується Preview Activity 11.9.1. Там ми побачили, що при зміні змінних від прямокутних координат до полярних координат, полярний прямокутник\([r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]\) відображається з декартовим прямокутником при перетворенні

\[ x = r \cos(\theta) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = r \sin(\theta). \nonumber \]

Вершини полярного прямокутника\(P\) перетворюються в вершини замкнутої та обмеженої області\(P'\) в прямокутних координатах. Якщо ми розглядаємо стандартну систему координат як горизонтальну вісь представляють,\(r\) а вертикальну вісь представляють,\(\theta\text{,}\) то полярний прямокутник\(P\) з'являється нам ліворуч на малюнку 11.9.1. Зображення\(P'\) полярного прямокутника\(P\) при перетворенні, заданому (11.9.2), показано праворуч на малюнку 11.9.1. Таким чином, ми бачимо, що існує відповідність між простою областю (традиційний прямокутний прямокутник) та більш складною областю (частка кільцевого кільця) під функцією,\(T\) заданою\(T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\text{.}\)

Малюнок 11.9.1. Прямокутник\(P\) і його зображення\(P'\text{.}\)

Крім того, як передбачає активність попереднього перегляду 11.9.1, зазвичай випливає, що для оригінального полярного\(P = [r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]\text{,}\) прямокутника площа перетвореного прямокутника\(P'\) задається\(\frac{r_2+r_1}{2} \Delta r \Delta \theta\text{.}\) таким чином, як\(\Delta r\) і\(\Delta \theta\) перейти до 0 ця область стає звичним елементом області\(dA = r \, dr \, d\theta\) в полярному координати. Коли ми переходимо до роботи з іншими перетвореннями для різних змін координат, ми повинні зрозуміти, як перетворення впливає на область, щоб ми могли використовувати правильний елемент області в новій системі змінних.

11.9.2 Загальна зміна координат

Спочатку ми зосередимося на подвійних інтегралах. Як і у випадку з одиночними інтегралами, ми можемо спростити подвійний інтеграл форми

\[ \iint_D f(x,y) \, dA \nonumber \]

шляхом внесення зміни змінних (тобто підстановки) форми

\[ x = x(s, t) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = y(s, t) \nonumber \]

де\(x\) і\(y\) є функціями нових змінних\(s\) і\(t\text{.}\) Це перетворення вводить відповідність між задачею в\(xy\) -площині і однією в\(st\) -площині. Рівняння\(x=x(s,t)\) і\(y=y(s,t)\) перетворення\(s\) і\(t\) до\(x\) і\(y\text{;}\) ми називаємо ці формули зміною змінних формул. Щоб завершити зміну нових\(s,t\) змінних, нам потрібно зрозуміти елемент області\(dA\text{,}\) в цій новій системі. Проілюструвати ідею допомагає наступне заняття.

Активність 11.9.2

Розглянемо зміну змінних

\[ x = s + 2 t \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = 2 s + \sqrt{t}. \nonumber \]

Давайте подивимося, що відбувається з прямокутником\(T = [0,1] \times [1,4]\) в\(st\) -площині під цією зміною змінної.

1. Намалюйте позначену картинку\(T\) в\(st\) -площині.
2. Знайти зображення\(st\) -вершини\((0,1)\) в\(xy\) -площині. Так само знайдіть відповідні зображення інших трьох вершин прямокутника\(T\text{:}\)\((0,4)\text{,}\)\((1,1)\text{,}\) та\((1,4)\text{.}\)
3. У\(xy\) -площині намалюйте позначену картинку зображення,\(T'\text{,}\) оригіналу\(st\) -прямокутник\(T\text{.}\) Що, здається, є формою зображення,\(T'\text{?}\)
4. Щоб перетворити інтеграл зі зміною змінних, нам потрібно визначити елемент площі\(dA\) для зображення перетвореного прямокутника. Зверніть увагу, що\(T'\) це не зовсім паралелограм, оскільки рівняння, що визначають перетворення, не є лінійними. Але ми можемо наблизити площу\(T'\) з площею паралелограма. Як би ми знайшли площу паралелограма, яка наближає площу\(xy\) -фігури\(T'\text{?}\) (Підказка: Пам'ятайте, що говорить нам перехресний добуток двох векторів.)

Діяльність 11.9.2 представляє загальне уявлення про те, як працює зміна змінних. Розділимо прямокутний домен в\(st\) системі на підпрямокутники. \(T = [a, b] \times [a+\Delta s, b+\Delta t]\)Дозволяти бути одним з цих підпрямокутників. Потім ми перетворюємо це в область\(T'\) в стандартній\(xy\) декартовій системі координат. Область\(T'\) називається зображенням\(T\text{;}\) області\(T\) є попереднім зображенням\(T'\text{.}\) Хоча сторони цієї\(xy\) області\(T'\) не обов'язково прямі (лінійні), ми наблизимо елемент області\(dA\) для цієї області з площа паралелограма, сторони якого задані векторами\(\mathbf{v}\) і\(\mathbf{w}\text{,}\) де\(\mathbf{v}\) вектор від\((x(a, b), y(a, b))\) до\((x(a + \Delta s, b), y(a + \Delta s, b))\text{,}\) і\(\mathbf{w}\) є вектором від\((x(a, b), y(a, b))\) до\((x(a, b + \Delta t), y(a, b + \Delta t))\text{.}\)

Приклад зображення\(T'\) в\(xy\) -площині, що є результатом перетворення прямокутника\(T\) в\(st\) -площині, показаний на малюнку 11.9.2.

Малюнок 11.9.2. Наближення площі зображення, отриманого в результаті перетворення.

Складовими вектора\(\mathbf{v}\) є

\ begin {align*}\ mathbf {v} & =\ лівий\ кут x (a+\ Дельта s, b) - x (a, b), y (a+\ Дельта s, b) - y (a, b), 0\ праворуч\ діапазон\ кінець {align*}

і аналогічно тим\(\mathbf{w}\), для

\ begin {align*}\ mathbf {w} & =\ лівий\ ланкут x (a, b+\ Дельта t) - x (a, b), y (a, b+\ Дельта s) - y (a, b), 0\ вправо\ діапазон. \ end {вирівнювати*}

Трохи\(\mathbf{v}\) переписуючи і у\(\mathbf{w}\text{,}\) нас

\ begin {align*}\ mathbf {v} & =\ лівий\ ланкут\ frac {x (a+\ Дельта s, b) - x (a, b)} {\ Дельта s},\ frac {y (a+\ Дельта s, b) - y (a, b)} {\ Дельта s}, 0\ праворуч\ Delta s,\\ mbox {і}\\ [4pt]\ mathbf {w} & =\ лівий\ ланкут\ розрив {x (a, b+\ Дельта t) - x (a, b)} {\ Дельта t},\ frac {y (a, b+\ Дельта s) - y (a, b)} {\ Дельта t}, 0\ праворуч\ діапазон\ Дельта t.\ end {align*}

Для малих\(\Delta s\) і\(\Delta t\text{,}\) визначення часткової похідної говорить нам, що

\[ \mathbf{v} \approx \left\langle \frac{\partial x}{\partial s}(a,b), \frac{\partial y}{\partial s}(a,b), 0 \right\rangle \Delta s \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \mathbf{w} \approx \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}(a,b), \frac{\partial y}{\partial t}(a,b), 0 \right\rangle \Delta t. \nonumber \]

Нагадаємо, що площа паралелограма зі сторонами\(\mathbf{v}\) і\(\mathbf{w}\) є довжиною поперечного добутку двох векторів,\(|\mathbf{v} \times \mathbf{w}|\text{.}\) З цього ми спостерігаємо, що

\ begin {align*}\ mathbf {v}\ times\ mathbf {w} &\ приблизно\ лівий\ ланкут\ frac {\ частковий x} {\ частковий s} (a, b),\ frac {\ частковий y} (a, b), 0\ правий\ діапазон\ дельта s\ час\ лівий\ лангель\ frac {\ частковий х} {\ частковий t} (a, b),\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b), 0\ правий\ діапазон\ Дельта t\\ [4pt] & =\ лівий\ лангл 0 ,\ 0,\\ frac {\ частковий x} {\ частковий s} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b) -\ frac {\ частковий x} {\ частковий t} (a, b)\ frac {\ частковий y} (a, b)\ правий\ діапазон\ Дельта s\,\ Delta t. {вирівнювати*}

Нарешті, обчислюючи величину перехресного добутку, ми бачимо, що

\ begin {align*} |\ mathbf {v}\ times\ mathbf {w} | &\ приблизно\ ліворуч\ лангель 0,0,\ frac {\ частковий x} {\ частковий s} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b) -\ frac {\ частковий x} {\ частковий t} (a, b) б)\ frac {\ часткове y} {\ часткове s} (a, b)\ право\ діапазон\ Дельта s\,\ Дельта t\ праворуч |\\ [4pt] & =\ ліворуч |\ frac {\ partial x} {\ часткові s} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b) -\ frac {\ частковий x} {\ частковий t} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий s} (a, b)\ право|\ Дельта s\,\ Delta t.\ end {align*}

Тому у міру збільшення кількості підрозділів без обмежень в кожну сторону,\(\Delta s\) і\(\Delta t\) обидва йдуть в нуль, і у нас

\[ dA = \left|\frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s} \right| ds \, dt.\label{E_Area_Element}\tag{11.9.3} \]

Рівняння (11.9.3), отже, визначає загальну зміну змінної формули в подвійному інтегралі, і тепер ми можемо сказати, що

\[ \iint_T f(x,y) \, dy \, dx = \iint_{T'} f(x(s,t),y(s,t)) \left|\frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s}\right| ds \, dt. \nonumber \]

Кількість

\[ \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s} \nonumber \]

називається якобійським, а позначимо якобійський, використовуючи стенографічні позначення

\[ \frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} = \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s}. \nonumber \]

Нагадаємо, з розділу 9.4, що ми також можемо записати цей Якобіан як детермінант\(2 \times 2\) матриці\(\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array} \right] \text{.}\) Зверніть увагу, що, як обговорювалося в розділі 9.4, абсолютним значенням детермінанта\(\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array} \right]\) є площа паралелограма,\(\mathbf{v}\) визначена векторами\(\mathbf{w}\text{,}\) і так площа елемент\(dA\) in\(xy\) -coordinates також представлений елементом області\(\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right| \, ds \, dt\) в\(st\) -координатах, і\(\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right|\) є фактором, за допомогою якого перетворення збільшує площу.

Підводячи підсумок, попередня зміна змінної формули, яку ми вивели зараз, слід.

Зміна змінних у подвійному інтегралі

Припустимо, зміна змінних\(x = x(s,t)\) і\(y = y(s,t)\) перетворює замкнуту та обмежену область\(R\) в\(st\) -площині в замкнуту та обмежену область\(R'\) в\(xy\) -площині. У скромних умовах (які вивчаються в розширених числах) випливає, що

\[ \iint_{R'} f(x,y) \, dA = \iint_{R} f(x(s,t), y(s,t)) \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}\right| \, ds \, dt. \nonumber \]

Активність 11.9.3

Знайдіть якобіан при переході від прямокутних до полярних координат. Тобто для перетворення, заданого за допомогою\(x = r\cos(\theta)\text{,}\)\(y = r\sin(\theta)\text{,}\) визначають спрощений вираз для величини

\[ \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} - \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial r}. \nonumber \]

Що ви спостерігаєте за своїм результатом? Як це пов'язано з нашою попередньою роботою з подвійними інтегралами в полярних координатах?

Активність 11.9.4

\(D'\)Дозволяти область в\(xy\) -площині обмежена лініями\(y=0\text{,}\)\(x=0\text{,}\) і\(x+y=1\text{.}\) Ми будемо оцінювати подвійний інтеграл

\[ \iint_{D'} \sqrt{x+y}(x-y)^2 \, dA\label{eq_11_9_COV_ex}\tag{11.9.4} \]

зі зміною змінних.

1. Намалюйте область\(D'\) в\(xy\) -площині.
2. Ми хотіли б зробити заміну, яка полегшує антидиференціацію integrand. Давайте\(s = x+y\) і\(t = x-y\text{.}\) пояснити, чому це повинно полегшити антидиференціацію, зробивши відповідні заміни та написавши новий цілісний з точки зору\(s\) та\(t\text{.}\)
3. Вирішити рівняння\(s = x+y\)\(x\) і\(t = x-y\) для і\(y\text{.}\) (Це визначає стандартну форму перетворення, так\(x\) як ми будемо мати як функцію\(s\)\(t\text{,}\) і і\(y\) як функцію\(s\) і\(t\text{.}\))
4. Щоб насправді виконати цю зміну змінних, нам потрібно знати\(st\) -регіон\(D\), який відповідає\(xy\) -region\(D'\text{.}\)
   1. Якому\(st\) рівнянню відповідає\(xy\) рівняння\(x+y=1\text{?}\)
   2. Якому\(st\) рівнянню відповідає\(xy\) рівняння\(x=0\text{?}\)
   3. Якому\(st\) рівнянню відповідає\(xy\) рівняння\(y=0\text{?}\)
   4. Намалюйте\(st\) регіон\(D\), який відповідає\(xy\) домену\(D'\text{.}\)
5. Зробіть зміну змінних, зазначених подвійним\(t = x-y\) інтегралом\(s = x+y\) і в подвійному інтегралі (11.9.4) і встановіть ітераційний інтеграл у\(st\) змінних, значення яких є вихідним заданим подвійним інтегралом. Нарешті, оцініть ітераційний інтеграл.

11.9.3 Зміна змінних у потрійному інтегралі

Аргумент зміни змінної формули для потрійних інтегралів складний, і ми не будемо вдаватися в подробиці. Загальний процес, правда, такий же, як і двовимірний випадок. Задано тверде тіло\(S'\) в\(\mathbb{R}^3\text{,}\) системі\(xyz\) координат при зміні змінних перетворення\(x=x(s,t,u)\text{,}\)\(y=y(s,t,u)\text{,}\) і\(z = z(s,t,u)\)\(S'\) перетворюється в область\(S\) в\(stu\) -координатах. Будь-яку функцію,\(f = f(x,y,z)\) визначену на,\(S'\) можна розглядати як функцію\(f = f(x(s,t,u), y(s,y,u), z(s,t,u))\) у\(stu\) -координатах,\(S\text{.}\) визначених на Елемент гучності\(dV\) в\(xyz\) -координатах відповідає масштабованому елементу об'єму в\(stu\) -координатах, де масштабний коефіцієнт задається параметром абсолютне значення Якобіана,\(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\text{,}\) що є визначником\(3 \times 3\) матриці

\[ \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial x}{\partial u} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial u} \\[4pt] \frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial u} \end{array} \right]\text{.} \nonumber \]

(Нагадаємо, що цей детермінант був введений в Розділі 9.4.) \(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\)Тобто, дається

\[ \frac{\partial x}{\partial s}\left[\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial u} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial t}\right] - \frac{\partial x}{\partial t}\left[\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial z}{\partial u} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial s}\right] + \frac{\partial x}{\partial u}\left[\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial z}{\partial t} - \frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial s}\right]. \nonumber \]

Підводячи підсумок,

Зміна змінних у потрійному інтегралі

Припустимо, зміна змінних\(x = x(s,t,u)\text{,}\)\(y = y(s,t,u)\text{,}\) і\(z = z(s,t,u)\) перетворює замкнуту та обмежену область\(S\) в\(stu\) -координатах на замкнуту та обмежену область\(S'\) в\(xyz\) -координатах. У скромних умовах (які вивчаються в розширених численні) потрійний інтеграл\(\iiint_{S'} f(x,y,z) \, dV \) дорівнює

\[ \iiint_{S} f(x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) \ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)} \right| \, ds \, dt \, du. \nonumber \]

Активність 11.9.5

Знайдіть якобіан при переході від декартових до циліндричних координат. Тобто для перетворення, заданого\(x = r\cos(\theta)\text{,}\)\(y = r\sin(\theta)\text{,}\) і\(z = z\text{,}\) визначити спрощений вираз для величини

\[ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}. \nonumber \]

Що ви спостерігаєте за своїм результатом? Як це пов'язано з нашою попередньою роботою з потрійними інтегралами в циліндричних координатах?

Активність 11.9.6

Розглянемо тверде\(S'\) тіло, визначене нерівностями,\(0 \leq x \leq 2\text{,}\)\(\frac{x}{2} \leq y \leq \frac{x}{2}+1\text{,}\) і\(0 \leq z \leq 6\text{.}\) Розглянемо перетворення, визначене\(s = \frac{x}{2}\text{,}\)\(t = \frac{x-2y}{2}\text{,}\) і\(u = \frac{z}{3}\text{.}\) Нехай\(f(x,y,x) = x-2y+z\text{.}\)

1. Перетворення перетворює тверде тіло\(S'\) в\(xyz\) -координатах у поле\(S\) в\(stu\) -координатах. Застосуйте перетворення до меж твердого тіла,\(S'\) щоб знайти\(stu\) -coordinatte опису поля\(S\text{.}\)
2. Знайдіть якобійців\(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\text{.}\)
3. Використовуйте перетворення для виконання зміни змінних та оцінки\(\iiint_{S'} f(x,y,z) \, dV\) шляхом оцінки
   \[ \iiint_{S} f(x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) \ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)} \right| \, ds \, dt \, du\text{.} \nonumber \]

11.9.4 Резюме

• Якщо інтеграл описується через один набір змінних, ми можемо записати цей набір змінних через інший набір з такою ж кількістю змінних. Якщо нові змінні обрані належним чином, перетворений інтеграл може бути легше оцінити.
• Якобіан - це скалярна функція, яка пов'язує площу або об'ємний елемент в одній системі координат з відповідним елементом в новій системі, що визначається зміною змінних.