Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.9: Зміна змінних

Мотивуючі питання
  • Що таке зміна змінних?
  • Що таке якобійський, і як воно пов'язане зі зміною змінних?

В численні однієї змінної ми зіткнулися з ідеєю зміни змінної в певний інтеграл за допомогою методу підстановки. Наприклад, заданий певний інтеграл

202x(x2+1)3dx,

ми природно розглядаємо зміну змінної.u=x2+1. З цієї підміни випливає, щоdu=2xdx, і оскількиx=0 має наx=2 увазіu=1 і має на увазіu=5, ми перетворили оригінальний інтегралu. в новий інтеграл зокрема,x

202x(x2+1)3dx=51u3du.

Останній інтеграл, звичайно, набагато простіше оцінити.

Завдяки нашій роботі з полярними, циліндричними та сферичними координатами ми вже неявно бачили деякі проблеми, які виникають при використанні зміни змінних з двома або трьома змінними. Далі ми прагнемо зрозуміти загальні ідеї, що стоять за будь-якою зміною змінних у множинному інтегралі.

Попередній перегляд Активність 11.9.1

Розглянемо подвійний інтеграл

I=Dx2+y2dA,

деD - верхня половина диска агрегату.

    1. Запишіть подвійний інтеграл,I заданий у Рівнянні (11.9.1), як ітераційний інтеграл у прямокутних координатах.
    2. Запишіть подвійний інтеграл,I заданий у Рівнянні (11.9.1) як ітераційний інтеграл у полярних координатах.
  1. Коли ми запишемо подвійний інтеграл (11.9.1) як ітераційний інтеграл в полярних координатах, ми робимо зміну змінних, а саме
    x=rcos(θ)      and      y=rsin(θ).

    Потім ми також повинніdA перейти наrdrdθ. Цей процес також ідентифікує «полярний прямокутник»[r1,r2]×[θ1,θ2] з оригінальним декартовим прямокутником, під перетворенням 1 в Рівняння (11.9.2). Вершини полярного прямокутника перетворюються в вершини замкнутої та обмеженої області в прямокутних координатах.

    Для роботи з числовим прикладом давайте тепер розглянемо полярний прямокутник,P заданий[1,2]×[π6,π4], таким чином, щоr1=1,r2=2,θ1=π6, іθ2=π4.

    1. Використовуйте перетворення, визначене рівняннями в (11.9.2), щоб знайти прямокутні вершини, які відповідають полярним вершинам вP. полярному прямокутнику Іншими словами, підставивши відповідні значенняr іθ в два рівняння в (11.9.2), знайти значення відповідніx таy координати для вершин полярного прямокутникаP. Позначити точку, яка відповідає полярній вершині,(r1,θ1) як(x1,y1), точку, відповідну полярній вершині,(r2,θ1) як(x2,y2), точку, відповідну полярній вершині(r1,θ2) як(x3,y3), і точка, що відповідає полярній вершині(r2,θ2) як(x4,y4).
    2. Намалюйте малюнок фігури в прямокутних координатах, що має точки(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3), і(x4,y4) як вершини. (Уважно зауважте, що через тригонометричних функцій при перетворенні ця область не буде схожа на декартовий прямокутник.) Яка площа цієї області в прямокутних координатах? Як ця область порівнюється з площею вихідного полярного прямокутника?
Перетворення - це інша назва функції: тут рівнянняx=rcos(θ) іy=rsin(θ) визначити функціюTT(r,θ)=(rcos(θ),rsin(θ)) таким чином, щоT є функцією (перетворенням) відR2 доR2. Ми розглядаємо це перетворення як відображення версіїxy -plane де осі розглядаються як представляютьr іθ (rθ-площину) до знайомоїxy -площині.

11.9.1 Зміна змінних в полярних координатах

Загальна ідея зміни змінних пропонується Preview Activity 11.9.1. Там ми побачили, що при зміні змінних від прямокутних координат до полярних координат, полярний прямокутник[r1,r2]×[θ1,θ2] відображається з декартовим прямокутником при перетворенні

x=rcos(θ)      and      y=rsin(θ).

Вершини полярного прямокутникаP перетворюються в вершини замкнутої та обмеженої областіP в прямокутних координатах. Якщо ми розглядаємо стандартну систему координат як горизонтальну вісь представляють,r а вертикальну вісь представляють,θ, то полярний прямокутникP з'являється нам ліворуч на малюнку 11.9.1. ЗображенняP полярного прямокутникаP при перетворенні, заданому (11.9.2), показано праворуч на малюнку 11.9.1. Таким чином, ми бачимо, що існує відповідність між простою областю (традиційний прямокутний прямокутник) та більш складною областю (частка кільцевого кільця) під функцією,T заданоюT(r,θ)=(rcos(θ),rsin(θ)).

Малюнок 11.9.1. ПрямокутникP і його зображенняP.

Крім того, як передбачає активність попереднього перегляду 11.9.1, зазвичай випливає, що для оригінального полярногоP=[r1,r2]×[θ1,θ2], прямокутника площа перетвореного прямокутникаP задаєтьсяr2+r12ΔrΔθ. таким чином, якΔr іΔθ перейти до 0 ця область стає звичним елементом областіdA=rdrdθ в полярному координати. Коли ми переходимо до роботи з іншими перетвореннями для різних змін координат, ми повинні зрозуміти, як перетворення впливає на область, щоб ми могли використовувати правильний елемент області в новій системі змінних.

11.9.2 Загальна зміна координат

Спочатку ми зосередимося на подвійних інтегралах. Як і у випадку з одиночними інтегралами, ми можемо спростити подвійний інтеграл форми

Df(x,y)dA

шляхом внесення зміни змінних (тобто підстановки) форми

x=x(s,t)      and      y=y(s,t)

деx іy є функціями нових зміннихs іt. Це перетворення вводить відповідність між задачею вxy -площині і однією вst -площині. Рівнянняx=x(s,t) іy=y(s,t) перетворенняs іt доx іy; ми називаємо ці формули зміною змінних формул. Щоб завершити зміну новихs,t змінних, нам потрібно зрозуміти елемент областіdA, в цій новій системі. Проілюструвати ідею допомагає наступне заняття.

Активність 11.9.2

Розглянемо зміну змінних

x=s+2t      and      y=2s+t.

Давайте подивимося, що відбувається з прямокутникомT=[0,1]×[1,4] вst -площині під цією зміною змінної.

  1. Намалюйте позначену картинкуT вst -площині.
  2. Знайти зображенняst -вершини(0,1) вxy -площині. Так само знайдіть відповідні зображення інших трьох вершин прямокутникаT:(0,4),(1,1), та(1,4).
  3. Уxy -площині намалюйте позначену картинку зображення,T, оригіналуst -прямокутникT. Що, здається, є формою зображення,T?
  4. Щоб перетворити інтеграл зі зміною змінних, нам потрібно визначити елемент площіdA для зображення перетвореного прямокутника. Зверніть увагу, щоT це не зовсім паралелограм, оскільки рівняння, що визначають перетворення, не є лінійними. Але ми можемо наблизити площуT з площею паралелограма. Як би ми знайшли площу паралелограма, яка наближає площуxy -фігуриT? (Підказка: Пам'ятайте, що говорить нам перехресний добуток двох векторів.)

Діяльність 11.9.2 представляє загальне уявлення про те, як працює зміна змінних. Розділимо прямокутний домен вst системі на підпрямокутники. T=[a,b]×[a+Δs,b+Δt]Дозволяти бути одним з цих підпрямокутників. Потім ми перетворюємо це в областьT в стандартнійxy декартовій системі координат. ОбластьT називається зображеннямT; областіT є попереднім зображеннямT. Хоча сторони цієїxy областіT не обов'язково прямі (лінійні), ми наблизимо елемент областіdA для цієї області з площа паралелограма, сторони якого задані векторамиv іw, деv вектор від(x(a,b),y(a,b)) до(x(a+Δs,b),y(a+Δs,b)), іw є вектором від(x(a,b),y(a,b)) до(x(a,b+Δt),y(a,b+Δt)).

Приклад зображенняT вxy -площині, що є результатом перетворення прямокутникаT вst -площині, показаний на малюнку 11.9.2.

Малюнок 11.9.2. Наближення площі зображення, отриманого в результаті перетворення.

Складовими вектораv є

\ begin {align*}\ mathbf {v} & =\ лівий\ кут x (a+\ Дельта s, b) - x (a, b), y (a+\ Дельта s, b) - y (a, b), 0\ праворуч\ діапазон\ кінець {align*}

і аналогічно тимw, для

\ begin {align*}\ mathbf {w} & =\ лівий\ ланкут x (a, b+\ Дельта t) - x (a, b), y (a, b+\ Дельта s) - y (a, b), 0\ вправо\ діапазон. \ end {вирівнювати*}

Трохиv переписуючи і уw, нас

\ begin {align*}\ mathbf {v} & =\ лівий\ ланкут\ frac {x (a+\ Дельта s, b) - x (a, b)} {\ Дельта s},\ frac {y (a+\ Дельта s, b) - y (a, b)} {\ Дельта s}, 0\ праворуч\ Delta s,\\ mbox {і}\\ [4pt]\ mathbf {w} & =\ лівий\ ланкут\ розрив {x (a, b+\ Дельта t) - x (a, b)} {\ Дельта t},\ frac {y (a, b+\ Дельта s) - y (a, b)} {\ Дельта t}, 0\ праворуч\ діапазон\ Дельта t.\ end {align*}

Для малихΔs іΔt, визначення часткової похідної говорить нам, що

vxs(a,b),ys(a,b),0Δs      and      wxt(a,b),yt(a,b),0Δt.

Нагадаємо, що площа паралелограма зі сторонамиv іw є довжиною поперечного добутку двох векторів,|v×w|. З цього ми спостерігаємо, що

\ begin {align*}\ mathbf {v}\ times\ mathbf {w} &\ приблизно\ лівий\ ланкут\ frac {\ частковий x} {\ частковий s} (a, b),\ frac {\ частковий y} (a, b), 0\ правий\ діапазон\ дельта s\ час\ лівий\ лангель\ frac {\ частковий х} {\ частковий t} (a, b),\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b), 0\ правий\ діапазон\ Дельта t\\ [4pt] & =\ лівий\ лангл 0 ,\ 0,\\ frac {\ частковий x} {\ частковий s} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b) -\ frac {\ частковий x} {\ частковий t} (a, b)\ frac {\ частковий y} (a, b)\ правий\ діапазон\ Дельта s\,\ Delta t. {вирівнювати*}

Нарешті, обчислюючи величину перехресного добутку, ми бачимо, що

\ begin {align*} |\ mathbf {v}\ times\ mathbf {w} | &\ приблизно\ ліворуч\ лангель 0,0,\ frac {\ частковий x} {\ частковий s} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b) -\ frac {\ частковий x} {\ частковий t} (a, b) б)\ frac {\ часткове y} {\ часткове s} (a, b)\ право\ діапазон\ Дельта s\,\ Дельта t\ праворуч |\\ [4pt] & =\ ліворуч |\ frac {\ partial x} {\ часткові s} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий t} (a, b) -\ frac {\ частковий x} {\ частковий t} (a, b)\ frac {\ частковий y} {\ частковий s} (a, b)\ право|\ Дельта s\,\ Delta t.\ end {align*}

Тому у міру збільшення кількості підрозділів без обмежень в кожну сторону,Δs іΔt обидва йдуть в нуль, і у нас

dA=|xsytxtys|dsdt.

Рівняння (11.9.3), отже, визначає загальну зміну змінної формули в подвійному інтегралі, і тепер ми можемо сказати, що

Tf(x,y)dydx=Tf(x(s,t),y(s,t))|xsytxtys|dsdt.

Кількість

xsytxtys

називається якобійським, а позначимо якобійський, використовуючи стенографічні позначення

(x,y)(s,t)=xsytxtys.

Нагадаємо, з розділу 9.4, що ми також можемо записати цей Якобіан як детермінант2×2 матриці[xsxtysyt]. Зверніть увагу, що, як обговорювалося в розділі 9.4, абсолютним значенням детермінанта[xsxtysyt] є площа паралелограма,v визначена векторамиw, і так площа елементdA inxy -coordinates також представлений елементом області|(x,y)(s,t)|dsdt вst -координатах, і|(x,y)(s,t)| є фактором, за допомогою якого перетворення збільшує площу.

Підводячи підсумок, попередня зміна змінної формули, яку ми вивели зараз, слід.

Зміна змінних у подвійному інтегралі

Припустимо, зміна зміннихx=x(s,t) іy=y(s,t) перетворює замкнуту та обмежену областьR вst -площині в замкнуту та обмежену областьR вxy -площині. У скромних умовах (які вивчаються в розширених числах) випливає, що

Rf(x,y)dA=Rf(x(s,t),y(s,t))|(x,y)(s,t)|dsdt.

Активність 11.9.3

Знайдіть якобіан при переході від прямокутних до полярних координат. Тобто для перетворення, заданого за допомогоюx=rcos(θ),y=rsin(θ), визначають спрощений вираз для величини

xryθxθyr.

Що ви спостерігаєте за своїм результатом? Як це пов'язано з нашою попередньою роботою з подвійними інтегралами в полярних координатах?

Активність 11.9.4

DДозволяти область вxy -площині обмежена лініямиy=0,x=0, іx+y=1. Ми будемо оцінювати подвійний інтеграл

Dx+y(xy)2dA

зі зміною змінних.

  1. Намалюйте областьD вxy -площині.
  2. Ми хотіли б зробити заміну, яка полегшує антидиференціацію integrand. Давайтеs=x+y іt=xy. пояснити, чому це повинно полегшити антидиференціацію, зробивши відповідні заміни та написавши новий цілісний з точки зоруs таt.
  3. Вирішити рівнянняs=x+yx іt=xy для іy. (Це визначає стандартну форму перетворення, такx як ми будемо мати як функціюst, і іy як функціюs іt.)
  4. Щоб насправді виконати цю зміну змінних, нам потрібно знатиst -регіонD, який відповідаєxy -regionD.
    1. Якомуst рівнянню відповідаєxy рівнянняx+y=1?
    2. Якомуst рівнянню відповідаєxy рівнянняx=0?
    3. Якомуst рівнянню відповідаєxy рівнянняy=0?
    4. Намалюйтеst регіонD, який відповідаєxy доменуD.
  5. Зробіть зміну змінних, зазначених подвійнимt=xy інтеграломs=x+y і в подвійному інтегралі (11.9.4) і встановіть ітераційний інтеграл уst змінних, значення яких є вихідним заданим подвійним інтегралом. Нарешті, оцініть ітераційний інтеграл.

11.9.3 Зміна змінних у потрійному інтегралі

Аргумент зміни змінної формули для потрійних інтегралів складний, і ми не будемо вдаватися в подробиці. Загальний процес, правда, такий же, як і двовимірний випадок. Задано тверде тілоS вR3, системіxyz координат при зміні змінних перетворенняx=x(s,t,u),y=y(s,t,u), іz=z(s,t,u)S перетворюється в областьS вstu -координатах. Будь-яку функцію,f=f(x,y,z) визначену на,S можна розглядати як функціюf=f(x(s,t,u),y(s,y,u),z(s,t,u)) уstu -координатах,S. визначених на Елемент гучностіdV вxyz -координатах відповідає масштабованому елементу об'єму вstu -координатах, де масштабний коефіцієнт задається параметром абсолютне значення Якобіана,(x,y,z)(s,t,u), що є визначником3×3 матриці

[xsxtxuysytyuzsztzu].

(Нагадаємо, що цей детермінант був введений в Розділі 9.4.) (x,y,z)(s,t,u)Тобто, дається

xs[ytzuyuzt]xt[yszuyuzs]+xu[ysztytzs].

Підводячи підсумок,

Зміна змінних у потрійному інтегралі

Припустимо, зміна зміннихx=x(s,t,u),y=y(s,t,u), іz=z(s,t,u) перетворює замкнуту та обмежену областьS вstu -координатах на замкнуту та обмежену областьS вxyz -координатах. У скромних умовах (які вивчаються в розширених численні) потрійний інтегралSf(x,y,z)dV дорівнює

Sf(x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) |(x,y,z)(s,t,u)|dsdtdu.

Активність 11.9.5

Знайдіть якобіан при переході від декартових до циліндричних координат. Тобто для перетворення, заданогоx=rcos(θ),y=rsin(θ), іz=z, визначити спрощений вираз для величини

(x,y,z)(r,θ,z).

Що ви спостерігаєте за своїм результатом? Як це пов'язано з нашою попередньою роботою з потрійними інтегралами в циліндричних координатах?

Активність 11.9.6

Розглянемо твердеS тіло, визначене нерівностями,0x2,x2yx2+1, і0z6. Розглянемо перетворення, визначенеs=x2,t=x2y2, іu=z3. Нехайf(x,y,x)=x2y+z.

  1. Перетворення перетворює тверде тілоS вxyz -координатах у полеS вstu -координатах. Застосуйте перетворення до меж твердого тіла,S щоб знайтиstu -coordinatte опису поляS.
  2. Знайдіть якобійців(x,y,z)(s,t,u).
  3. Використовуйте перетворення для виконання зміни змінних та оцінкиSf(x,y,z)dV шляхом оцінки
    Sf(x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) |(x,y,z)(s,t,u)|dsdtdu.

11.9.4 Резюме

  • Якщо інтеграл описується через один набір змінних, ми можемо записати цей набір змінних через інший набір з такою ж кількістю змінних. Якщо нові змінні обрані належним чином, перетворений інтеграл може бути легше оцінити.
  • Якобіан - це скалярна функція, яка пов'язує площу або об'ємний елемент в одній системі координат з відповідним елементом в новій системі, що визначається зміною змінних.