7: Диференціальні рівняння
- Page ID
- 61130
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 7.1: Вступ до диференціальних рівнянь
- Тут вводять поняття диференціальних рівнянь. Диференціальне рівняння - це рівняння, яке надає опис похідної функції, а це означає, що воно повідомляє нам швидкість зміни функції. Використовуючи цю інформацію, ми хотіли б якомога більше дізнатися про саму функцію. Наприклад, ми б в ідеалі хотіли мати алгебраїчний опис функції.
- 7.2: Якісна поведінка розв'язків диференційних рівнянь
- Оскільки похідна в точці говорить нам про нахил дотичної прямої в цій точці, диференціальне рівняння дає нам важливу інформацію про дотичні лінії до графіка розв'язку. Ми будемо використовувати цю інформацію про дотичні лінії для створення поля нахилу для диференціального рівняння, що дозволяє нам накидати рішення початкових задач. Нашою метою буде якісне розуміння рішень.
- 7.3: Метод Ейлера
- Метод Ейлера - це алгоритм наближення розв'язку до задачі початкового значення, слідуючи за дотичними лініями, поки ми робимо горизонтальні кроки по осі t. Якщо ми хочемо наблизити y (t) для деяких фіксованих t, взявши горизонтальні кроки розміром Δt, то похибка в нашому наближенні пропорційна Δt.
- 7.4: Роздільні диференціальні рівняння
- Роздільне диференціальне рівняння - це таке, яке може бути переписано з усіма входженнями залежної змінної, множачи похідну, і всі входження незалежної змінної на іншій стороні рівняння. Ми можемо знайти розв'язки деяких відокремлюваних диференціальних рівнянь шляхом розділення змінних, інтеграції відносно t і врешті-решт розв'язування результуючого алгебраїчного рівняння для y, що дозволяє розв'язувати багато важливих диференціальних рівнянь.
- 7.5: Моделювання диференціальними рівняннями
- У нашій роботі на сьогоднішній день ми бачили кілька способів виникнення диференціальних рівнянь у природному світі, від зростання популяції до температури чашки кави. У цьому розділі ми більш детально розглянемо, як диференціальні рівняння дають нам природний спосіб опису різних явищ. Як ми побачимо, ключовим є зосередження уваги на розумінні різних факторів, які спричиняють зміну кількості.
- 7.6: Зростання населення та логістичне рівняння
- Зростання населення Землі - одне з нагальних питань сучасності. Чи буде чисельність населення продовжувати зростати? Або він, можливо, вирівняється в якийсь момент, і якщо так, то коли? У цьому розділі ми розглянемо два способи, за допомогою яких ми можемо використовувати диференціальні рівняння, щоб допомогти нам вирішити такі питання. Перш ніж ми почнемо, давайте знову розглянемо два важливих диференціальних рівняння, які ми бачили в попередній роботі цієї глави.
- 7.E: Диференціальні рівняння (вправи)
- Це домашні вправи, які супроводжують главу 7 Boelkins et al. «Активне обчислення» TextMap.