5: Пошук антипохідних та оцінка інтегралів
- Page ID
- 60949
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 5.1: Побудова точних графіків антипохідних
- Враховуючи графік функції f, ми можемо побудувати графік її антипохідної F за умови, що (а) ми знаємо початкове значення F, скажімо F (a), і (b) ми можемо оцінити інтеграл R b a f (x) dx саме для відповідних варіантів a і b. багато, а графіки будь-яких двох антипохідних будуть відрізнятися тільки вертикальним перекладом.
- 5.2: Друга фундаментальна теорема числення
- Друга фундаментальна теорема обчислення є формальним, більш загальним твердженням попереднього факту: якщо f - неперервна функція, а c - будь-яка константа, то A (x) = R x c f (t) dt - це унікальна антипохідна f, яка задовольняє A (c) = 0. Разом, Перший і Другий FTC дозволяють нам формально побачити, як диференціація та інтеграція є майже зворотними процесами за допомогою спостережень, що Z x c d dt [f (t)] dt = f (x) − f (c) та d dx «Z x c f (t) dt# = f (x).
- 5.3: Інтеграція шляхом підміни
- Методика u-заміщення допомагає нам оцінити невизначені інтеграли виду f (g (x)) g' (x) dx через підстановки u = g (x) і du = g' (x) dx. Ключовою частиною вибору виразу в x для представлення u є ідентифікація пари функція-похідна. Для цього ми часто шукаємо «внутрішню» функцію g (x), яка є частиною складеної функції, досліджуючи, чи присутній g' (x) (або постійна кратна g' (x)) як множник integrand.
- 5.4: Інтеграція частинами
- За допомогою методу Інтеграції частинами ми можемо оцінити невизначені інтеграли, які включають добуток основних функцій через заміщення, що дозволяє нам ефективно торгувати однією з функцій у добутку для його похідної, а іншу - для його антипохідної, намагаючись знайти іншу продукт функцій, який простіше інтегрувати.
- 5.5: Інші варіанти пошуку алгебраїчних похідних
- Метод частинних дробів дозволяє андиференціювати будь-яку раціональну функцію, оскільки будь-яка поліноміальна функція може бути врахована у добуток лінійних і нескорочуваних квадратичних членів. До розвитку обчислювальних систем алгебри інтегральні таблиці дозволяли учням числення легше оцінювати інтеграли. Системи комп'ютерної алгебри можуть відігравати важливу роль у пошуку антипохідних, хоча ми повинні бути обережними, щоб спостерігати за незвичайними або незнайомими розширеними функціями.
- 5.6: Чисельна інтеграція
- Іноді ми не можемо використовувати Першу фундаментальну теорему числення, оскільки інтегралу бракує елементарної алгебраїчної антипохідної, ми можемо оцінити значення інтеграла, використовуючи послідовність наближень суми Рімана. Правила трапеції та середини - це два підходи до обчислення сум Рімана.
- 5.E: Пошук антипохідних та оцінка інтегралів (вправи)
- Це домашні вправи для супроводу глави 5 Boelkins et al. «Активне обчислення» TextMap.