3.5: Оптимізація

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.4: Апроксимуючі функції поблизу заданої точки - поліноми Тейлора
- 3.6: Намальовування графіків

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Одним з важливих застосувань диференціального числення є знаходження максимального (або мінімального) значення функції. Це часто знаходить реальні програми в таких проблемах, як наступне.

Приклад 3.5.1 Огородження вигулу.

Фермер має 400 м огороджувальних матеріалів. Який найбільший прямокутний вигул, який можна обгородити?

Рішення Ми опишемо загальний підхід до такого роду проблем в розділах 3.5.2 і 3.5.3 нижче, але тут ми можемо взяти удар при запуску проблеми.

Почніть з визначення змінних та їх одиниць (загалом ми можемо намалювати малюнок теж); нехай розміри вигулу будуть $x$ на $y$ метри.
Закрита територія - це те $A m^2$ , де
\ begin {вирівнювати*} A &= х\ cdot y\ end {вирівнювати*}
На цьому етапі ми не можемо застосувати обчислення, яке ми розробили, оскільки область є функцією двох змінних, і ми знаємо лише, як працювати з функціями однієї змінної. Нам потрібно усунути одну змінну.
Ми знаємо, що периметр прямокутника (а значить і розміри $x$ і $y$ ) обмежений кількістю огороджувальних матеріалів, які фермер повинен вручити:
\ begin {вирівнювати*} 2x+2y &\ leq 400\\\ кінець {вирівнювати*}

і тому ми маємо
\ begin {align*} y &\ leq 200x\ end {align*} Зрозуміло, що площа вигулу максимізується, коли ми використовуємо всі можливі огорожі, тому
\ begin {збирати*} y = 200-х\ кінець {збирати*}
Тепер підставляємо це назад в наш вираз для області
\ begin {вирівнювати*} A &= х\ cdot (200-x)\ кінець {вирівнювати*}
Оскільки область не може бути негативною (і наша довжина також $x,y$ не може бути негативною), ми також повинні мати
\ begin {збирати*} 0\ leq x\ leq 200\ end {збирати*}
Таким чином, питання про найбільший вигул укладеному стає проблемою знаходження максимального значення
\ begin {align*} A &= x\ cdot (200-x) &\ текст {з урахуванням обмеження $0\ leq x\ leq 200$.} \ end {вирівнювати*}

Наведений вище приклад досить простий, що ми, швидше за все, можемо визначити відповідь кількома різними методами. Загалом, нам знадобляться більш систематичні методи вирішення завдань виду

Знайти максимальне значення $y = f(x)$ предмета $a \leq x \leq b$

Для цього нам потрібно вивчити, як виглядає функція поблизу її максимального і мінімального значень.

Локальні та глобальні максими та мініми

Ми починаємо з того, що запитуємо:

Припустимо, що максимальне (або мінімальне) значення $f(x)$ є $f(c)$ те, що говорить нам про $c\text{?}$

Зверніть увагу, що ми ще не зробили ідеї максимуму і мінімуму дуже точними. На даний момент думайте про максимум як «найбільше значення», а мінімальне - як «найменше значення».

Попередження 3.5.2.

Важливо розрізняти «найменшу величину» і «найменшу величину». Наприклад, тому що

\ begin {збирати*} -5\ lt -1\ end {збирати*}

число $-5$ менше, ніж $-1\text{.}$ Але величина $-1\text{,}$ якого менше, ніж величина $-5\text{,}$ якого $|-1|=1\text{,}$ є $|-5|=5\text{.}$ Таким чином, найменшим числом у множині $\{-1, -5\}$ є $-5\text{,}$ тоді як число в множині $\{-1,-5\}$ , що має найменшу величину, $-1\text{.}$

Тепер повернемося до роздумів про те, що відбувається навколо максимуму. Припустимо, що $f(x)$ максимальне значення дорівнює $f(c)\text{,}$ тоді для всіх «сусідніх» точок, функція повинна бути менше.

Розглянемо похідну від $f'(c)\text{:}$

\ begin {вирівнювати*} f' (c) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (c+h) -f (c)} {h}. \ end {вирівнювати*}

Розділіть вищевказану межу на ліву та праву межі:

Розглянемо пункти праворуч від $x=c\text{,}$ Для всіх $h \gt 0\text{,}$
\ begin {align*} f (c+h) &\ le f (c) &\ text {що означає, що}\\ f (c+h) -f (c) &\ le 0 &\ text {що також означає}\\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ le 0 &\ текст {з}\ frac {\ текст {негативний} {\ текст {позитивний}} =\ текст {негативний}. \ end {вирівнювати*}
Але тепер, якщо ми стискаємо, $h \to 0$ ми отримаємо
\ begin {align*}\ lim_ {h\ to 0^+}\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ leq 0\ end {align*}
(За умови, що ліміт існує).
Розглянемо пункти зліва від « $x=c\text{.}$ Для всіх» $h \lt 0\text{,}$
\ begin {align*} f (c+h) &\ le f (c) &\ text {що означає, що}\\ f (c+h) -f (c) &\ le 0 &\ text {що також означає}\\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ ge 0 &\ текст {з}\ frac {\ текст {негативний} {\ текст {негативний}} =\ текст {позитивний}. \ end {вирівнювати*}
Але тепер, якщо ми стискаємо, $h \to 0$ ми отримаємо
\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {h\ to 0^-}\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ geq 0\ end {align*}
(За умови, що ліміт існує).
Отже, якщо похідна $f'(c)$ існує, то вищевказані праві та ліві межі повинні погодитися, що змушує $f'(c) = 0\text{.}$

Таким чином, можна зробити висновок, що

Якщо максимальне значення $f(x)$ є $f(c)$ і $f'(c)$ існує, то $f'(c)=0\text{.}$

Використовуючи подібні міркування, можна також побачити, що

Якщо мінімальне значення $f(x)$ є $f(c)$ і $f'(c)$ існує, то $f'(c)=0\text{.}$

Зверніть увагу на дві речі щодо вищевказаних міркувань:

По-перше, для того, щоб аргумент працював, нам потрібно лише те, що $f(x) \lt f(c)$ для $x$ близьких $c$ — неважливо, що відбувається для $x$ значень, далеких від $c\text{.}$
По-друге, у наведеному вище аргументі нам потрібно було розглянути $f(x)$ як ліворуч, $x$ так і праворуч від $c\text{.}$ Якщо функція $f(x)$ визначена на замкнутому інтервалі, $[a,b]\text{,}$ то вищевказаний аргумент застосовується лише тоді, коли $a \lt c \lt b$ — не коли $c$ є однією з кінцевих точок. $a$ і $b\text{.}$

Розглянемо функцію нижче

Ця функція має лише 1 максимальне значення (середня зелена точка на графіку) і 1 мінімальне значення (крайня права синя точка), однак вона має 4 точки, в яких похідна дорівнює нулю. У невеликих інтервалах навколо тих точок, де похідна дорівнює нулю, ми можемо бачити, що функція локально є максимумом або мінімумом, навіть якщо це не глобальний максимум або мінімум. Нам явно потрібно бути більш ретельним розрізняти ці випадки.

Визначення 3.5.3.

Нехай $a\le b$ і нехай функція $f(x)$ буде визначена для всіх $x \in [a,b]\text{.}$ Тепер нехай $a \leq c \leq b\text{,}$ тоді

Ми говоримо, що $f(x)$ має глобальний (або абсолютний) мінімум, $x=c$ якщо $f(x)\ge f(c)$ для всіх $a\le x\le b\text{.}$
Аналогічно, ми говоримо, що $f(x)$ має глобальний (або абсолютний) максимум при $x=c$ якщо $f(x)\le f(c)$ для всіх $a\le x\le b\text{.}$

Тепер нехай $a \lt c \lt b$ (зверніть увагу на суворі нерівності), то

Ми говоримо, що $f(x)$ має локальний мінімум $x=c$ при наявності $a'$ і $b'$ підкоряючись $a\le a' \lt c \lt b'\le b$ таким, що $f(x)\ge f(c)$ для всіх $x$ підкоряються $a' \lt x \lt b'\text{.}$ Зверніть увагу на суворі нерівності в $a' \lt c \lt b'\text{.}$
Аналогічно, ми говоримо, що $f(x)$ має локальний максимум $x=c$ при наявності $a'$ і $b'$ підкоряючись $a\le a' \lt c \lt b'\le b$ таким, що $f(x)\le f(c)$ для всіх $x$ підкоряються $a' \lt x \lt b'\text{.}$ Зверніть увагу на суворі нерівності в $a' \lt c \lt b'\text{.}$

Глобальні максимуми та мінімуми функції називаються глобальними екстремумами функції, тоді як локальні максимуми та мінімуми називаються локальними екстремами.

Розглянемо ще раз функцію, яку ми показали на малюнку вище.

Він має 2 локальних максимума і 2 локальних мінімума. Глобальний максимум відбувається в середній зеленій точці (що також є локальним максимумом), тоді як глобальний мінімум - у крайній правій синій точці (що не є локальним мінімумом).

Використовуючи вищевказане визначення, ми можемо узагальнити те, що ми дізналися вище, як наступну теорему ¹:

Теорема 3.5.4.

Якщо функція $f(x)$ має локальний максимум або локальний мінімум при $x=c$ і якщо $f'(c)$ існує, то $f'(c)=0\text{.}$

Часто (але не завжди) буває так, що при $f(x)$ наявності локального максимуму у $x=c\text{,}$ функції $f(x)$ збільшується строго в міру $x$ підходів $c$ зліва і зменшується строго, як $x$ йде $c$ вправо. Тобто, $f'(x) \gt 0$ для $x$ тільки ліворуч від $c$ і $f'(x) \lt 0$ для $x$ тільки праворуч від $c\text{.}$ Тоді, це часто так, тому що $f'(x)$ зменшується, як $x$ збільшується через $c\text{,}$ це $f''(c) \lt 0\text{.}$
І навпаки, якщо $f'(c)=0$ і $f''(c) \lt 0\text{,}$ то, просто праворуч від $c$ $f'(x)$ повинен бути негативним, так що $f(x)$ зменшується, і просто зліва від $c$ $f'(x)$ повинен бути позитивним, так $f(x)$ що збільшується. Так $f(x)$ має локальний максимум при $c\text{.}$
Аналогічно, часто буває, що, коли $f(x)$ має локальний мінімум $x=c\text{,}$ $f'(x) \lt 0$ на $x$ тільки ліворуч від $c$ і $f'(x) \gt 0$ для $x$ тільки праворуч від $c$ і $f''(x) \gt 0\text{.}$
І навпаки, якщо $f'(c)=0$ і $f''(c) \gt 0\text{,}$ то, просто праворуч від $c$ $f'(x)$ повинен бути позитивним, так $f(x)$ що збільшується, і, просто зліва від $c$ $f'(x)$ повинен бути негативним, так що $f(x)$ зменшується. Так $f(x)$ має локальний мінімум на $c\text{.}$

Теорема 3.5.5.

Якщо $f'(c)=0$ і $f''(c) \lt 0\text{,}$ тоді $f(x)$ має локальний максимум при $c\text{.}$

Якщо $f'(c)=0$ і $f''(c) \gt 0\text{,}$ тоді $f(x)$ має локальний мінімум на $c\text{.}$

Зверніть увагу на суворі нерівності.

Теорема 3.5.4 говорить про те, що, коли $f(x)$ має локальний максимум або мінімум, $x=c\text{,}$ є дві можливості.

Похідна. $f'(c)=0\text{.}$ Цей випадок проілюстрований на наступному малюнку.

Зверніть увагу, що в цьому прикладі безперервно $f'(x)$ змінюється від негативного до позитивного при локальному мінімумі, приймаючи значення нуль на локальному мінімумі (червона крапка).
Похідної $f'(c)$ не існує. Цей випадок проілюстрований на наступному малюнку.

Зверніть увагу, що в цьому прикладі $f'(x)$ різко змінюється від негативного до позитивного при локальному $x=0$ мінімумі () і $f'(0)$ не існує.

Ця теорема демонструє, що точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, дуже важливі. Це спрощує подальше обговорення, якщо ми дамо цим пунктам імена.

Визначення 3.5.6.

$f(x)$ Дозволяти бути функція і нехай $c$ точка в його області. Тоді

якщо $f'(c)$ існує і дорівнює нулю, ми називаємо $x=c$ критичну точку функції, і
якщо $f'(c)$ не існує, то ми $x=c$ викликаємо однину точку функції.

Попередження 3.5.7.

Зверніть увагу, що деякі люди (і тексти) об'єднають обидва ці випадки і називають $x=c$ критичну точку, коли або похідна дорівнює нулю, або не існує. Читач повинен знати про відсутність конвенції щодо цього пункту ² і повинен бути обережним, щоб зрозуміти, чи використовується більш інклюзивне визначення критичної точки, або якщо в тексті використовується більш точне визначення, яке відрізняє критичні та однині точки.

Тепер ми розглянемо кілька простих прикладів, що включають локальні максимуми і мінімуми, критичні точки і сингулярні точки. Потім перейдемо до глобальних максимумів і мінімумів.

Приклад 3.5.8 Локальний макс і хв $x^3-6x$ .

У цьому прикладі ми будемо шукати локальні максимуми та мінімуми функції $f(x) = x^3-6x$ на інтервалі $-2\le x\le 3\text{.}$

Спочатку обчислити похідну
\ begin {вирівнювати*} f' (x) &= 3x^2-6. \ end {вирівнювати*}
Оскільки це многочлен, він визначається скрізь в області, і тому не буде жодних одиничних точок. Отже, ми зараз шукаємо критичні моменти.
Для цього шукаємо нулі похідної.
\ почати {вирівнювати*} f' (x) &= 3x^2-6 = 3 (x^2-2) = 3 (x-\ sqrt {2}) (x+\ sqrt {2}). \ end {вирівнювати*}

Ця похідна приймає значення $0$ при двох різних значеннях $x\text{.}$ $x=c_-=-\sqrt{2}$ А саме і $x=c_+=\sqrt{2}\text{.}$ Ось ескіз графіка $f(x)\text{.}$

З малюнка бачимо, що
- $f(x)$ має локальний мінімум на $x=c_+$ (тобто ми маємо $f(x)\ge f(c_+)$ кожного разу $x$ , коли близько $c_+$ ) і
- $f(x)$ має локальний максимум на $x=c_-$ (тобто ми маємо $f(x)\le f(c_-)$ кожного разу $x$ , коли близько $c_-$ ) і
- глобальний мінімум $f(x)\text{,}$ for $x$ в інтервалі $-2\le x\le 3\text{,}$ знаходиться в $x=c_+$ (тобто ми маємо $f(x)\ge f(c_+)$ щоразу $-2\le x\le 3$ ) і
- глобальний максимум $f(x)\text{,}$ for $x$ в інтервалі $-2\le x\le 3\text{,}$ дорівнює $x=3$ (тобто ми маємо $f(x)\le f(3)$ щоразу $-2\le x\le 3$ ).
Зауважте, що ми ретельно сконструювали цей приклад, щоб проілюструвати, що глобальний максимум (або мінімум) функції на інтервалі може бути або не бути локальним максимумом (або мінімумом) функції.

Приклад 3.5.9 Локальний макс і хв $x^3$ .

У цьому прикладі ми будемо шукати локальні максимуми та мінімуми функції $f(x) = x^3$ на інтервалі $-1\le x\le 1\text{.}$

Спочатку обчислимо похідну:
\ begin {вирівнювати*} f' (x) &= 3x^2. \ end {вирівнювати*}
Знову ж таки, це многочлен і так визначається на всій області. Функція не матиме сингулярних точок, але може мати критичні точки.
Похідна дорівнює нулю тільки тоді, коли $x=0\text{,}$ так $x=c=0$ є єдиною критичною точкою функції.
Графік $f(x)$ накидається нижче. З цього ескізу ми бачимо, що не $f(x)$ має ні локального максимуму, ні локального мінімуму, $x=c$ незважаючи на те, що $f'(c)=0$ — ми маємо $f(x) \lt f(c)=0$ для всіх $x \lt c=0$ і $f(x) \gt f(c)=0$ для всіх. $x \gt c=0\text{.}$
Зауважте, що цей приклад був побудований, щоб проілюструвати, що критична точка (або сингулярна точка) функції не повинна бути локальним максимумом або мінімумом для функції.
Перечитати теорему 3.5.4. У ньому написано ³. що, «якщо $f(x)$ має локальний максимум/мінімум при $x=c$ і якщо $f$ диференційований $x=c\text{,}$ тоді $f'(c)=0$ ». Це не говорить, що «якщо $f'(c)=0$ тоді $f$ має локальний максимум/мінімум на $x=c$ ».

Приклад 3.5.10 Локальний макс і хв $|x|$ .

У цьому прикладі ми будемо шукати локальні максимуми та мінімуми функції

\ begin {align*} f (x) = |x| =\ почати {випадки} х &\ текст {якщо} x\ ge 0\\ -x &\ text {якщо} x\ lt 0\ кінець {випадки}\ кінець {align*}

на проміжку $-1\le x\le 1\text{.}$

Знову почніть з обчислення похідної (перечитайте приклад 2.2.10):
\ begin {align*} f' (x) =\ begin {випадки} 1 &\ текст {якщо} x\ gt 0\\ текст {undefined} &\ текст {якщо} x = 0\\ -1 &\ текст {якщо} x\ lt 0\ кінець {випадки}\ end {align*}
Ця похідна ніколи не приймає значення, $0\text{,}$ тому функція не має критичних точок. Однак похідна не існує в точці, $x=0\text{,}$ так що точка є одниною точкою.
Ось ескіз графіка $f(x)\text{.}$

З малюнка ми бачимо, що $f(x)$ має локальний (а насправді глобальний) мінімум $x=0$ при тому, що не $f'(0)$ є критичною точкою.
Ще раз перечитайте теорему 3.5.4. У ньому сказано, що «якщо $f(x)$ має локальний максимум/мінімум при, $x=c$ а якщо $f$ диференційований при $x=c$ , то $f'(c)=0$ ». Це нічого не говорить про те, що відбувається в точках, де похідної не існує. Дійсно, саме тому ми повинні враховувати як критичні точки, так і особливі точки, коли ми шукаємо максимуми та мінімуми.

Пошук глобальних максимумів і мінімумів

Тепер у нас є методика пошуку локальних максимумів і мінімумів — просто шукайте значення, $x$ для яких $f'(x)=0$ або $f'(x)$ не існує. А як щодо пошуку глобальних максимумів і мінімумів? Почнемо з того, що чітко заявимо, що за відповідних гіпотез глобальні максимуми та мінімуми гарантовано існують.

Теорема 3.5.11.

Нехай функція $f(x)$ буде визначена і неперервна на замкнутому, скінченному інтервалі ⁴

$-\infty \lt a\le x\le b \lt \infty\text{.}$ Потім $f(x)$ досягається максимум і мінімум мінімум один раз. Тобто існують $a\le x_m, x_M\le b$ такі цифри, що

\ begin {збирати*} f (x_m)\ le f (x)\ le f (x_m)\ qquad\ текст {для всіх} a\ ле х\ ле б\ end {збирати*}

Отже, давайте знову розглянемо питання

Припустимо, що максимальне (або мінімальне) значення $f(x)\text{,}$ for $a\le x\le b\text{,}$ є $f(c)\text{.}$ Що це говорить нам про $c\text{?}$

Якщо $c$ підкоряється $a \lt c \lt b$ (зверніть увагу на суворі нерівності), то $f$ має локальний максимум (або мінімум) at $x=c$ і теорема 3.5.4 говорить нам, що $f'(c)=0$ або $f'(c)$ не існує. Єдине інше місце, яке може відбутися максимум або мінімум, знаходяться в кінцях інтервалу. Ми можемо підсумувати це так:

Теорема 3.5.12.

Якщо $f(x)$ має глобальний максимум або глобальний мінімум, $a\le x\le b\text{,}$ бо в $x=c$ то є 3 можливості. Або

$f'(c)=0\text{,}$ або
$f'(c)$ не існує, або
$c=a$ або $c=b\text{.}$

Тобто глобальний максимум або мінімум повинен відбуватися або в критичній точці, особливій точці або в кінцевих точках інтервалу.

Ця теорема дає підставу для методу знаходження максимальних і мінімальних значень $f(x)$ for $a\le x\le b\text{:}$

Слідство 3.5.13.

$f(x)$ Дозволяти бути функцією на інтервалі $a \leq x \leq b\text{.}$ Тоді знайти глобальний максимум і мінімум функції:

Складіть список всіх значень $c\text{,}$ with, $a\le c\le b\text{,}$ для яких
- $f'(c)=0\text{,}$ або
- $f'(c)$ не існує, або
- $c=a$ або $c=b\text{.}$
Тобто — обчислити функцію у всіх критичних точках, сингулярних точках та кінцевих точках.
Оцініть $f(c)$ для кожного з $c$ цього списку. Найбільшим (або найменшим) з цих значень є найбільшим (або найменшим) значенням $f(x)$ for $a\le x\le b\text{.}$

Давайте тепер продемонструємо, як користуватися цією стратегією. Функція в цьому першому прикладі не надто проста, але це хороший приклад функції, яка містить як сингулярну, так і критичну точку.

Приклад 3.5.14 Пошук макс і хв $2x^{5/3}+3x^{2/3}$ .

Знайти найбільші та найменші значення функції $f(x)=2x^{5/3}+3x^{2/3}$ для $-1\le x\le 1\text{.}$

Рішення Ми будемо застосовувати метод в Слідство 3.5.13. Можливо, найпростіше знайти значення в кінцевих точках інтервалів, а потім перейти до значень у будь-яких критичних або сингулярних точках.

Перш ніж потрапити в речі, зверніть увагу, що ми можемо переписати функцію, факторинг її:
\ почати {вирівнювати*} f (x) &= 2x^ {5/3} +3x^ {2/3} = x^ {2/3}\ cdot\ ліворуч (2x+ 3\ праворуч)\ кінець {вирівнювати*}
Обчислимо функцію в кінцевих точках інтервалу:
\ почати {вирівнювати*} f (1) &= 2 +3 = 5\\ f (-1) &= 2\ cdot (-1) ^ {5/3} + 3\ cdot (-1) ^ {2/3} =-2 + 3 = 1\ кінець {вирівнювати*}
Для обчислення функції в критичній і сингулярній точках спочатку потрібно знайти похідну:
\ почати {вирівнювати*} f' (x) &= 2\ cdot\ розриву {5} {3} x^ {2/3} + 3\ cdot\ розриву {2} {3} x^ {3} {-1/3} x {3} + 2 x^ {-1/3}\\ &=\ frac {10 x + 6} {3} + 2 x^ {-1/3}\\ &=\ frac {10 x + 6} {3} {1/3}}\ кінець {вирівнювати*}
Зверніть увагу, що чисельник і знаменник визначені для всіх $x\text{.}$ Єдине місце, де похідна не визначена, - це коли знаменник дорівнює нулю. Отже, єдина особлива точка знаходиться $x=0\text{.}$ на відповідному значенні функції
\ begin {вирівнювати*} f (0) &= 0\ end {вирівнювати*}
Щоб знайти критичні точки, нам потрібно вирішити $f'(x) = 0\text{:}$
\ begin {вирівнювати*} 0 &=\ гідророзриву {10 x + 6} {3 x^ {1/3}}\ end {вирівнювати*}
Отже, ми повинні мати $10x=-6$ або $x=-3/5\text{.}$ Відповідне значення функції
\ begin {align*} f (x) &= x^ {2/3}\ cdot\ ліворуч (2x + 3\ праворуч) &\ text {нагадати це зверху, потім}\\ f (-3/5) &= (-3/5) ^ {2/3}\ cdot\ ліворуч (2\ cdot\ frac {-3} {5} + 3\ праворуч)\\\ =\ left (\ frac {9} {25}\ праворуч) ^ {1/3}\ cdot\ frac {-6 + 15} {5}\ &=\ ліворуч (\ FRAC {9} {25}\ праворуч) ^ {1/3}\ cdot\ frac {9} {5}\ приблизно 1,28 \ end {вирівнювати*}
Відзначимо, що якщо ми не хочемо наближати корінь (якщо, наприклад, у нас немає під рукою калькулятора), то можемо також написати
\ почати {вирівнювати*} f (-3/5) &=\ ліворуч (\ frac {9} {25}\ праворуч) ^ {1/3}\ cdot\ frac {9} {5}\ &=\ ліворуч (\ frac {9} {25} {25}\ &= 5\ cdot\ праворуч) ^ {1/3}\ cdot\ frac {9} {25}\ cdot (\ frac {9} {25}\ праворуч) ^ {4/3}\ end {вирівнювати*}
Оскільки $0 \lt 9/25 \lt 1\text{,}$ ми знаємо, що $0 \lt \left( \frac{9}{25} \right)^{4/3} \lt 1\text{,}$ і, отже,
\ begin {збирати*} 0\ lt f (-3/5) = 5\ cdot\ ліворуч (\ frac {9} {25}\ праворуч) ^ {4/3}\ lt 5. \ end {збирати*}

Підсумовуємо нашу роботу в цій таблиці

$c$	$-\frac{3}{5}$	$0$	$-1$	$1$
тип	критична точка	однини точки	кінцева точка	кінцева точка
$f(c)$	$\frac{9}{5}\root{3}\of{\frac{9}{25}}\approx 1.28$	$0$	$1$	$5$

Найбільше значення $f$ в таблиці є, $5$ а найменше значення $f$ в таблиці $0\text{.}$
Таким чином, $-1\leq x \leq 1$ на інтервалі глобальний максимум $f$ є $5\text{,}$ і приймається в $x=1\text{,}$ той час як глобальне $f(x)$ мінімальне значення є $0\text{,}$ і приймається при $x=0\text{.}$
Для повноти ми також накидаємо графік цієї функції на тому ж інтервалі.

Пізніше (в розділі 3.6) ми побачимо, як побудувати такий ескіз без використання калькулятора або комп'ютера.

Макс/хв Приклади

Як зазначалося на початку цього розділу, проблема знаходження максимумів і мінімумів є дуже важливим застосуванням диференціального числення в реальному світі. Тепер перейдемо до ряду прикладів цього процесу. Але для керівництва читача ми опишемо загальну процедуру, яку слід дотримуватися для цих проблем.

Читайте — уважно прочитайте проблему. Розберемося, яка інформація дається в постановці проблеми і що нас просять обчислити.
Діаграма — намалювати схему. Це, як правило, допоможе вам визначити, що ви знаєте про проблему і які кількості вам потрібно розробити.
Змінні — призначати змінні величинам у задачі разом з їх одиницями. Зазвичай це гарна ідея, щоб зробити розумний вибір імен змінних: $A$ для області, $h$ для висоти, $t$ для часу і т.д.
Відносини — знайти відносини між змінними. На даний момент ви повинні знати кількість, яка нас цікавить (та, яку ми хочемо максимізувати або мінімізувати), і нам потрібно встановити зв'язок між нею та іншими змінними.
Зменшити — відношення до функції однієї змінної. Для того, щоб застосувати відоме нам обчислення, ми повинні мати функцію однієї змінної. Для цього нам потрібно використовувати всю інформацію, яку ми маємо, щоб усунути змінні. Слід також опрацювати область результуючої функції.
Максимізувати або мінімізувати — тепер ми можемо застосувати методи Corollary 3.5.13, щоб знайти максимум або мінімум необхідної нам кількості (як диктує проблема).
Будьте обережні - переконайтеся, що ваша відповідь має сенс. Переконайтеся, що величини є фізичними. Наприклад, довжина і області не можуть бути негативними.
Дайте відповідь на питання — будьте впевнені, що ваша відповідь дійсно відповідає на питання, поставлене в задачі.

Почнемо з відносно простої проблеми:

Приклад 3.5.15 Побудова контейнера максимального об'єму.

Закрита прямокутна ємність з квадратною основою повинна бути виготовлена з двох різних матеріалів. Матеріал для основи коштує 5 доларів за квадратний метр, тоді як матеріал для інших п'яти сторін коштує 1 долар за квадратний метр. Знайдіть розміри контейнера, який має максимально можливий обсяг, якщо загальна вартість матеріалів становить 72 долари.

Рішення Ми можемо виконати кроки, які ми виклали вище, щоб знайти рішення.

Потрібно визначити площу двох видів використовуваних матеріалів і відповідну загальну вартість.
Намалюйте малюнок коробки.

Більш корисна картинка - розгорнута коробка праворуч.
На зображенні ми вже ввели дві змінні. Квадратна основа має сторони довжини $b$ метрів і має висоту $h$ метрів. Нехай площа основи буде $A_b$ і площа інших п'ятірок сторін буде $A_s$ (обидві в $m^2$ ), а загальна вартість буде $C$ (в доларах). Нарешті, нехай обсяг вкладеного буде $V m^3\text{.}$
Деяка проста геометрія говорить нам, що
\ почати {вирівнювати*} a_b &= b ^ 2\\ a_s &= 4 ч + б ^ 2\ V &= b ^ 2h\ C &= 5\ cdot a_b + 1\ cdot a_s = 5b^2+4bh+b^2 = 6b^2+4bh. \ end {вирівнювати*}
Для усунення однієї зі змінних ми використовуємо той факт, що загальна вартість становить 72 долари.
\ почати {вирівнювати*} C &= 6b^2+4bh = 72 &\ текст {перевпорядкування}\\ 4bh &= 72-6b^2 &\ текст {ізолювати} h\\ h &=\ розриву {72-6b^2} {4b} =\ розрив {3} {2}\ cdot\ frac {12-b^2} {b}\ кінець {align*}
Підставляючи це в обсяг, дає
\ почати {вирівнювати*} V&= b^2 h =\ гідророзриву {3b} {2} (12-b^2) = 18b -\ гідророзриву {3} {2} b^3\ end {align*}
Тепер зауважте, що оскільки $b$ це довжина, вона не може бути негативною, тому $b \geq 0\text{.}$ далі, оскільки обсяг не може бути негативним, ми також повинні мати
\ begin {збирати*} 12-b^2\ geq 0\ end {збирати*}
і так $b \leq \sqrt{12}\text{.}$
Тепер ми можемо застосувати Corollary 3.5.13 до вищевказаного виразу для тому з $0 \leq b \leq \sqrt{12}\text{.}$ кінцевими точками дають:
\ почати {вирівнювати*} V (0) &= 0\\ V (\ sqrt {12}) &= 0\ кінець {вирівнювати*}
Похідна - це
\ begin {вирівнювати*} V' (b) &= 18 -\ гідророзриву {9b^2} {2}\ end {вирівнювати*}
Так як це многочлен, то немає однини точок. Однак ми можемо вирішити $V'(b) = 0$ , щоб знайти критичні точки:
\ begin {align*} 18 -\ розрив {9b^2} {2} &= 0 &\ текст {розділити на 9 і помножити на 2}\\ 4 - b^2 &= 0\ end {align*}
$b = \pm 2\text{.}$ Отже, єдиною критичною точкою в домені є $b=2\text{.}$ відповідний обсяг
\ почати {вирівнювати*} V (2) &= 18\ разів2 -\ розриву {3} {2}\ раз 2^3\\ &= 36 - 12 = 24. \ end {вирівнювати*}
Отже, за наслідками 3.5.13, максимальна гучність - коли 24, коли $b=2$ і
\ почати {вирівнювати*} h &=\ гідророзриву {3} {2}\ cdot\ гідророзриву {12-b^2} {b} =\ гідророзриву {3} {2}\ гідророзриву {12-4} {2} = 6. \ end {вирівнювати*}
Всі наші величини мають сенс; довжини, площі та обсяги є ненегативними.
Перевіривши питання ще раз, ми бачимо, що нас запитують розміри контейнера (а не його обсяг), тому ми можемо відповісти

Контейнер з розмірами $2 \times 2 \times 6m$ буде максимально можливим.

Приклад 3.5.16 Побудова іншої коробки.

Прямокутний лист картону розміром 6 дюймів на 9 дюймів. З кутів картону вирізаються чотири однакових квадрата, як показано на малюнку нижче, а решта складають у відкриту прямокутну коробку. Яким повинен бути розмір вирізаних квадратів, щоб максимально збільшити обсяг коробки?

Рішення Це дуже схоже на попередній, тому нам, можливо, не потрібно вдаватися до таких деталей.

Після прочитання уважно виробляємо наступну картину:
Нехай висота коробки буде $x$ дюймами, а підстави - $\ell \times w$ дюймами. Обсяг коробки тоді дорівнює $V$ кубічним дюймам.
Деяка проста геометрія говорить нам, що $\ell = 9-2x, w=6-2x$ і так
\ почати {вирівнювати*} V &= x (9-2x) (6-2x)\ текст {кубічні дюйми}\\ &= 54x-30x^2+4x^3. \ end {вирівнювати*}
Зверніть увагу, що оскільки всі довжини повинні бути невід'ємними, ми повинні мати
\ begin {збирати*} x,\ ell, w\ geq 0\ end {збирати*}
і так $0 \leq x \leq 3$ (якщо $x \gt 3$ тоді $w \lt 0$ ).
Тепер ми можемо застосувати Слідство 3.5.13. Спочатку кінцеві точки інтервалу дають
\ почати {вирівнювати*} V (0) &= 0 & V (3) &= 0\ кінець {вирівнювати*}

Похідна - це

\ почати {вирівнювати*} V '(x) &= 54 - 60x+12x^2\\ &= 6 (9-10x+2x^2)\ кінець {вирівнювати*}

Так як це многочлен, то немає однини точок. Щоб знайти критичні точки, вирішуємо $V'(x) = 0$ отримати

\ почати {вирівнювати*} x_\ pm &=\ frac {10\ pm\ sqrt {100 - 4\ times2\ times9}} {4}\\ &=\ розриву {10\ pm\ sqrt {28}} {4}} {4} =\ frac {5\ pm\ sqrt {7}} {}\ end {вирівнювати*}

Потім ми можемо скористатися калькулятором для приблизного

\ begin {align*} x_+ &\ приблизно 3.82 & x_- &\ приблизно 1,18. \ end {вирівнювати*}

Так $x_-$ знаходиться всередині домену, поки $x_+$ лежить зовні.

В якості альтернативи ⁵, ми можемо $x_\pm$ зв'язатися, спочатку зазначивши, що $2 \leq \sqrt{7} \leq 3\text{.}$ З цього ми знаємо, що

\ почати {вирівнювати*} 1=\ розрив {5-3} {2} &\ leq x_- =\ розрив {5 -\ sqrt {7}} {2}\ leq\ frac {5-2} {2} = 1.5\\ 3.5=\ frac {5+2} {2} &\ leq x_+ =\ frac {5 +\ sqrt {7} {2}\ leq\ гідророзриву {5+3} {2} = 4\ end {align*}
Оскільки гучність дорівнює нулю, коли $x=0,3\text{,}$ він повинен бути так, що гучність максимальна, коли $x = x_- = \frac{5 - \sqrt{7}}{2}\text{.}$
Зверніть увагу, що оскільки $0 \lt x_- \lt 3$ ми знаємо, що інші довжини є позитивними, тому наша відповідь має сенс. Далі питання запитує лише довжину, $x$ а не отриманий обсяг, тому ми відповіли на питання.

У наступних двох прикладах є нова зморшка. Кожен передбачає знаходження мінімального значення функції $f(x)$ з $x$ переходом на всі дійсні числа, а не просто через скінченний інтервал, як у слідстві 3.5.13. $+\infty$ Як у прикладі 3.5.18, так і в прикладі 3.5.19 функція $f(x)$ $x$ має тенденцію до $+\infty$ або або $-\infty\text{.}$ Отже, мінімальне значення $f(x)$ буде досягнуто для деякого кінцевого значення $x\text{,}$ якого буде локальним мінімумом, а також глобальним мінімумом.

Теорема 3.5.17.

$f(x)$ Дозволяти бути визначено і безперервно для всіх $-\infty \lt x \lt \infty\text{.}$ $c$ Дозволяти бути скінченним дійсним числом.

Якщо $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ і якщо $f(x)$ має глобальний мінімум, $x = c\text{,}$ то є 2 можливості. Або
- $f'(c) = 0\text{,}$ або
- $f'(c)$ не існує
Тобто глобальний мінімум повинен відбуватися або в критичній точці, або в особливій точці.
Якщо $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ і якщо $f(x)$ має глобальний максимум в $x = c\text{,}$ то є 2 можливості. Або
- $f'(c) = 0\text{,}$ або
- $f'(c)$ не існує
Тобто глобальний максимум повинен відбуватися або в критичній точці, або в особливій точці.

Приклад 3.5.18 Як далеко від точки до прямої.

Знайдіть точку на лінії $y=6-3x$ , яка найближча до точки $(7,5)\text{.}$

Рішення У цій задачі

Проста картинка
Деякі позначення нам вже дано. Нехай точка на лінії має координати, $(x,y)\text{,}$ і нам не потрібні одиниці. І нехай $\ell$ буде відстань від точки $(x,y)$ до точки $(7,5)\text{.}$
Оскільки точки знаходяться на лінії, координати $(x,y)$ повинні підкорятися.
\ begin {збирати*} y=6-3x\ end {збирати*}
Зверніть увагу, що $x$ і не $y$ мають додаткових обмежень. Відстань $\ell$ задається
\ begin {вирівнювати*}\ ell^2 &= (x-7) ^2 + (y-5) ^2\ end {вирівнювати*}
Тепер ми можемо усунути змінну $y\text{:}$
\ почати {вирівнювати*}\ Елл ^ 2 &= (х-7) ^2 + (y-5) ^2\\ &= (х-7) ^2 + (6-3x-5) ^2 = (х-7) ^2 + (1-3x) ^2\\ &= х ^2-14x+49 + 1-6х+9х^2 = 10х^2-20x+50\\ &= 10 x^2-2x+5)\\ ell &=\ sqrt {10}\ cdot\ sqrt {x^2-2x+5}\ кінець {вирівнювати*}
Зверніть увагу, що як $x \to \pm \infty$ відстань $\ell \to +\infty\text{.}$
Тепер ми можемо застосувати теорему 3.5.17
- Оскільки відстань визначена для всіх реальних, $x\text{,}$ ми не повинні перевіряти кінцеві точки домену — їх немає.
- Сформуйте похідну:
  \ почати {вирівнювати*}\ dfrac {d\ ell} {dx} &=\ sqrt {10}\ frac {2x-2} {2\ sqrt {x^2-2x+5}}\ end {align*}
  Це нуль, коли $x=1\text{,}$ і не визначено, якщо $x^2-2x+5 \lt 0\text{.}$ Однак, так як
  \ begin {вирівнювати*} x^2-2x+5 &= (x^2-2x+1) +4 =\ піддужка {(x-1) ^2} _ {\ geq0} +4\ end {вирівнює*}
  ми знаємо, що $x^2-2x+5 \geq 4\text{.}$ Таким чином функція не має сингулярних точок, і єдина критична точка виникає $x=1\text{.}$ на відповідне значення функції тоді
  \ почати {вирівнювати*}\ ell (1) &=\ sqrt {10}\ sqrt {1-2+5} = 2\ sqrt {10}. \ end {вирівнювати*}
- Таким чином, мінімальне значення відстані є $\ell=2\sqrt{10}$ і відбувається при $x=1\text{.}$
Ця відповідь має сенс — відстань не негативна.
Питання задається точкою, яка мінімізує відстань, а не те мінімальну відстань. Звідси відповідь - $x=1, y=6-3 = 3\text{.}$ тобто.

Точка, яка мінімізує відстань $(1,3)\text{.}$

Зверніть увагу, що ми можемо полегшити аналіз, спостерігаючи, що точка, яка мінімізує відстань, також мінімізує квадратну відстань. Так що замість мінімізації функції $\ell\text{,}$ ми можемо просто мінімізувати $\ell^2\text{:}$

\ begin {вирівнювати*}\ ell^2 &= 10 (x^2-2x+5)\ end {вирівнювати*}

Отримана алгебра трохи простіша, і нам не доведеться полювати на одиничні точки.

Приклад 3.5.19 Як далеко від точки до кривої.

Знайти мінімальну відстань від $(2,0)$ кривої $y^2=x^2+1\text{.}$

Рішення. Це дуже схоже на попереднє питання.

Прочитавши проблему уважно, можемо намалювати картинку.
У цій задачі нам не потрібні одиниці, а змінні $x,y$ постачаються. Визначаємо відстань, яке має бути, $\ell$ і воно задається
\ begin {вирівнювати*}\ ell^2 &= (x-2) ^2+y^2. \ end {вирівнювати*}
Як зазначалося в попередній проблемі, ми мінімізуємо квадратну відстань, оскільки це також мінімізує відстань.
Оскільки $x,y$ задовольнити, $y^2=x^2+1\text{,}$ ми можемо записати відстань як функцію $x\text{:}$
\ begin {вирівнювати*}\ ell^2 &= (x-2) ^2 + y^2 = (x-2) ^2 + (x^2+1)\ end {вирівнювати*}
Зверніть увагу, $x \to \pm \infty$ що як квадратна відстань $\ell^2 \to +\infty\text{.}$
Оскільки квадратна відстань є поліномом, вона не матиме жодних сингулярних точок, лише критичних точок. Похідна - це
\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ ell^2 &= 2 (x-2) + 2x = 4x-4\ кінець {вирівнювати*}
тому єдина критична точка виникає при $x=1\text{.}$
Коли $x=1, y=\pm \sqrt{2}$ і відстань
\ почати {вирівнювати*}\ ell^2 &= (1-2) ^2 + (1+1) = 3 &\ ell=\ sqrt {3}\ кінець {вирівнювати*}
і, таким чином, мінімальна відстань від $(2,0)$ кривої до $\sqrt{3}\text{.}$

Приклад 3.5.20 Побудова корита.

З металевого листа шириною $45$ см слід спорудити жолоб для води шляхом згинання по третині листа з кожного боку через кут $\theta\text{.}$ Що $\theta$ дозволить жолобу нести максимальну кількість води?

Рішення $0 \leq \theta \leq \pi\text{,}$ Зрозуміло, що ми повернулися в домен ⁶ з Слідство 3.5.13.

Уважно прочитавши проблему, ми повинні зрозуміти, що вона дійсно просить нас максимізувати площу поперечного перерізу. Фігура дійсно допомагає.
З цього ми змушені визначити висоту $h$ $cm$ та площу поперечного перерізу $A$ $cm^2\text{.}$ Обидва функції $\theta\text{.}$
\ begin {вирівнювати*} h &= 15\ sin\ тета\ кінець {align*}
тоді як площа може бути обчислена як сума центрального $15 \times h$ прямокутника, плюс два трикутники. Кожен трикутник має висоту $h$ і основу $15 \cos \theta\text{.}$ Отже
\ почати {вирівнювати*} A &= 15h + 2\ cdot\ frac {1} {2}\ cdot h\ cdot 15\ cos\ тета\\ &= 15h\ ліворуч (1 +\ cos\ тета\ праворуч)\ кінець {вирівнювати*}
Так як $h = 15\sin \theta$ ми можемо переписати область як функцію просто $\theta\text{:}$
\ begin {align*} A (\ тета) &= 225\ sin\ тета\ лівий (1 +\ cos\ тета\ праворуч)\ end {align*}
де $0 \leq \theta \leq \pi\text{.}$
Тепер використовуємо Слідство 3.5.13. Кінці інтервалу дають
\ почати {вирівнювати*} A (0) &= 225\ sin 0 (1 +\ cos 0) = 0\\ A (\ пі) &= 225\ sin\ pi (1+\ cos\ pi) = 0\ кінець {align*}
Похідна - це
\ begin {align*} A' (\ тета) &= 225\ cos\ тета\ cdot (1+\ cos\ тета) + 225\ sin\ тета\ cdot (-\ sin\ тета)\\ &= 225\ ліворуч [\ cos\ тета +\ cos ^ 2\ тета\ право]\ qquad\ текст {відгук}\ sin^2\ тета = 1\ cos\ тета = 1\ cos\ ^2\ тета\\ &= 225\ ліворуч [\ cos\ тета +2\ cos^2\ тета -1\ праворуч]\ end {align*}
Це безперервна функція, тому немає одиничних точок. Однак ми все ще можемо полювати на критичні точки $A'(\theta) = 0\text{.}$ , вирішуючи Це
\ begin {вирівнювати*} 2\ cos^2\ тета +\ cos\ тета -1 &= 0 &\ текст {фактор обережно}\\ (2\ cos\ theta -1) (\ cos\ theta+1) &= 0\ кінець {align*}
Отже, ми повинні мати $\cos \theta =-1$ або $\cos\theta = \frac{1}{2}\text{.}$ На домені $0\leq \theta \leq \pi\text{,}$ це означає $\theta = \pi/3$ чи $\theta = \pi\text{.}$
\ почати {вирівнювати*} A (\ пі) &= 0\\ A (\ pi/3) &= 225\ sin (\ pi/3) (1 +\ cos (\ pi/3))\\ & = 225\ cdot\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ cdot\ ліворуч (1 +\ frac {1} {2}\ праворуч)\\ &= 225 cdot\ frac {3\ sqrt {3}} {4}\ приблизно 292.28\ кінець {вирівнювати*}
Таким чином, площа поперечного перерізу максимізується, коли $\theta = \dfrac{\pi}{3}\text{.}$

Приклад 3.5.21 Найближчі та найдальші точки кривої до заданої точки.

Знайдіть точки на еліпсі $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ , які є найближчими до точки та найвіддаленішими від неї $(1,0)\text{.}$

Розв'язок Поки це ще одна задача на відстань, можливі значення $x,y$ обмежені, тому нам потрібен Слідство 3.5.13, а не теорема 3.5.17.

Починаємо з малювання малюнка:
$\ell$ Дозволяти відстань від точки $(x,y)$ на еліпсі до точки $(1,0)\text{.}$ Як було вище, ми максимізуємо квадратну відстань.
\ begin {вирівнювати*}\ ell^2 &= (x-1) ^2 + y^2. \ end {вирівнювати*}
Так як $(x,y)$ лежати на еліпсі у нас
\ begin {збирати*}\ розриву {x^2} {4} +y^2=1\ end {збирати*}

Зверніть увагу, що це також показує, що $-2 \leq x \leq 2$ і $-1 \leq y \leq 1\text{.}$

Ізоляція $y^2$ та заміна цього в наш вираз для $\ell^2$ дає

\ begin {вирівнювати*}\ ell^2 &= (x-1) ^2 +\ піддужка {1-x^2/4} _ {=y^2}. \ end {вирівнювати*}
Тепер ми можемо застосувати Слідство 3.5.13. Кінцеві точки домену дають
\ почати {вирівнювати*}\ Елл ^ 2 (-2) &= (-2-1) ^2 + 1 - (-2) ^2/4 = 3^2+1-1 = 9\\\ ell^2 (2) &= (2-1) ^2 + 1 - 2^2/4 = 1+1-1 = 1\ кінець {вирівнювати*}
Похідна - це
\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ ell^2 &= 2 (x-1) - х/2 =\ гідророзриву {3x} {2} - 2\ end {align*}
Таким чином, немає одиничних точок, але є критична точка $x = 4/3\text{.}$ на відповідній квадратній відстані
\ begin {align*}\ ell^2 (4/3) &=\ ліворуч (\ frac {4} {3} -1\ праворуч) ^2 +1 -\ розрив {(4/3) ^2} {4}\ &= (1/3) ^2 + 1 - (4/9) = 6/9 = 2/3. \ end {вирівнювати*}

Для підведення підсумків (і надання відстаней і координат точок):

$x$	$(x,y)$	$\ell$
$-2$	$(-2,0)$	$3$
$\frac{4}{3}$	$\big(\frac{4}{3},\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\big)$	$\sqrt{\frac{2}{3}}$
$2$	$(2,0)$	$1$

Точка максимальної відстані є, $(-2,0)\text{,}$ а точка мінімальної відстані дорівнює $\left(\frac{4}{3},\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\text{.}$

Приклад 3.4.22 Найбільший прямокутник всередині трикутника.

Знайти розміри прямокутника найбільшої площі, який можна вписати в рівносторонній трикутник сторони, $a$ якщо одна сторона прямокутника лежить на підставі трикутника.

Рішення Оскільки прямокутник повинен сидіти всередині трикутника, його розміри обмежені, і ми в кінцевому підсумку будемо використовувати Слідство 3.5.13.

Акуратно намалюйте малюнок:

Ми намалювали (зліва) трикутник у $xy$ -площині з його основою на $x$ -осі. База була намальована бігом від $(-a/2,0)$ до, $(a/2,0)$ тому її центр лежить на початку. Трохи Піфагор (або трохи тригонометрії) говорить нам про те, що висота трикутника

\ почати {вирівнювати*}\ sqrt {a^2- (a^2) ^2} &=\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ cdot a = a\ cdot\ sin\ frac {\ pi} {3}\ кінець {align*}

Таким чином, вершина у верхній частині трикутника лежить на $\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a\right)\text{.}$
Якщо побудувати прямокутник, який не стосується сторін трикутника, то ми можемо збільшити розміри прямокутника, поки він не торкнеться трикутника і таким чином зробити його площу більше. Таким чином, ми можемо припустити, що два верхніх кути прямокутника торкаються трикутника, як намальовано на малюнку праворуч вище.
Тепер нехай прямокутник буде $2x$ широким і $y$ високим. І нехай $A$ позначимо його площу. Чітко
\ begin {вирівнювати*} A &= 2xy. \ end {вирівнювати*}
де $0 \leq x \leq a/2$ і $0\leq y\leq \frac{\sqrt{3}}{2}a\text{.}$
Наша конструкція означає, що верхній правий кут прямокутника буде мати координати $(x,y)$ і лежати на лінії, що з'єднує верхню вершину трикутника $(0,\sqrt{3}a/2)$ в нижній правій вершині $(a/2,0)\text{.}$ в Для того, щоб записати область як функцію $x$ поодинці, нам потрібно рівняння для цього рядка оскільки він розповість нам, як писати $y$ як функція Лінія має нахил $x\text{.}$
\ begin {align*}\ текст {нахил} &=\ frac {\ sqrt {3} a/2 - 0} {0-a/2} = -\ sqrt {3}. \ end {вирівнювати*}
і проходить через точку, $(0,\sqrt{3}a/2)\text{,}$ щоб будь-яка точка $(x,y)$ на цій лінії задовольняла:
\ begin {вирівнювати*} y &= -\ sqrt {3} x +\ frac {\ sqrt {3}} {2} a.\ end {align*}
Тепер ми можемо записати область як функцію $x$ поодинці
\ почати {вирівнювати*} A (x) &= 2x\ ліворуч (-\ sqrt {3} x +\ frac {\ sqrt {3}} {2} a\ праворуч)\\ &=\ sqrt {3} x (a-2x). \ end {вирівнювати*}
з $0\leq x \leq a/2\text{.}$
Кінці домену дають:
\ begin {вирівнювати*} A (0) &= 0 & A (a/2) &= 0. \ end {вирівнювати*}
Похідна - це
\ почати {вирівнювати*} A' (x) &=\ sqrt {3}\ ліворуч (x\ cdot (-2) + 1\ cdot (a-2x)\ праворуч) =\ sqrt {3} (a-4x). \ end {вирівнювати*}
Оскільки це многочлен, то немає одиничних точок, але є критична точка на $x=a/4\text{.}$ Там
\ почати {вирівнювати*} A (а/4) &=\ sqrt {3}\ cdot\ frac {a} {4}\ cdot (a - a/2) =\ sqrt {3}\ cdot\ frac {a^2} {8}.\\ y &= -\ sqrt {3}\ cdot (а/4) +\ frac {\ sqrt {3} {2} a =\ sqrt {3}\ cdot\ frac {a} {4}. \ end {вирівнювати*}
Перевіривши питання ще раз, ми бачимо, що у нас запитують розміри, а не площа, тому відповідь $2x \times y\text{:}$

Найбільший такий прямокутник має розміри. $\frac{a}{2} \times \frac{\sqrt{3} a}{4}\text{.}$

Цей наступний приклад є хорошим прикладом фізики. У ньому ми виведемо Закон Снелла ⁷ з принципу Ферма ⁸.

Приклад 3.5.23 закон Снелла.

Розглянемо малюнок нижче, який показує траєкторію променя світла, коли він проходить через два різних середовища (скажімо, повітря і воду).

Нехай $c_a$ буде швидкість світла в повітрі і $c_w$ швидкість світла у воді. Принцип Ферма стверджує, що промінь світла завжди буде подорожувати по шляху, який мінімізує витрачений час. Отже, якщо промінь світла рухається від $P$ (у повітрі) до $Q$ (у воді), то він «вибере» точку $O$ (на інтерфейсі) так, щоб мінімізувати загальний час, прийнятий. Скористайтеся цією ідеєю, щоб показати закон Снелла,

\ begin {align*}\ розриву {\ sin\ theta_i} {\ sin\ theta_r} &=\ розриву {c_a} {c_w}\ end {align*}

де $\theta_i$ - кут падіння і $\theta_r$ - кут заломлення (як показано на малюнку вище).

Рішення Ця задача трохи більш абстрактна, ніж інші ми розглянули, але ми все ще можемо застосувати Теорему 3.5.17.

Нам дається цифра в постановці задачі і вона містить всі відповідні точки і кути. Однак це спростить речі, якщо ми вирішимо про систему координат. Припустимо, що точка $O$ лежить на $x$ -осі, в $(x,0)\text{.}$ координатах Точка $P$ потім лежить над віссю в той $(X_P,+Y_P)\text{,}$ час як $Q$ лежить нижче осі в $(X_Q,-Y_Q)\text{.}$ Це намальовано нижче.
Заява закону Снелла містить терміни, $\sin \theta_i$ і $\sin \theta_r\text{,}$ тому для нас є гарною ідеєю побачити, як висловити їх з точки зору координат, які ми щойно ввели:
\ begin {align*}\ sin\ theta_i &=\ frac {\ текст {навпроти}} {\ текст {гіпотенуза}} =\ frac {(X-x_p)} {\ sqrt {(x_p-x) ^2}}\\ sin\ theta_r &=\ frac {\ текст {навпроти}} {текст {гіпотенуза}} =\ розрив {(x_q-x)} {\ sqrt {(x_q-x) ^2 + Y_Q^2}}\ кінець {вирівнювати*}
Нехай $\ell_P$ позначимо відстань $PO\text{,}$ і $\ell_Q$ позначимо відстань. $OQ\text{.}$ Тоді ми маємо
\ почати {вирівнювати*}\ Ell_p &=\ sqrt {(x_p-x) ^2+Y_P^2}\\ ELL_Q &=\ sqrt {(x_q-x) ^2+Y_Q^2}\ end {align*}
Якщо ми потім позначимо загальний час, прийнятий $T\text{,}$ тоді
\ почати {вирівнювати*} Т &=\ розрив {\ Ell_p} {c_a} +\ розрив {\ ell_Q} {c_w} =\ розрив {1} {c_a}\ sqrt {(x_p-x) ^2+Y_P^2} +\ розрив {1} {c_w}\ sqrt {(x_q-x) ^2+Y_Q^2}\ end {align*}
який пишеться як функція, $x$ оскільки всі інші терміни є константами.
Зверніть увагу, що як $x \to +\infty$ або $x\to-\infty$ загальний час $T \to \infty$ і так ми можемо застосувати теорему 3.5.17. Похідна - це
\ begin {align*}\ dfrac {dT} {dx} &=\ розрив {1} {c_a}\ розрив {-2 (x_p-x)} {2\ sqrt {(x_p-x) ^2+Y_P^2}} +\ frac {1} {c_w}\ frac {-2 (x_q-x)} {2\ {sqrt (x_q-x) ^2+Y_Q^2}}\ end {вирівнювати*}
Зверніть увагу, що терміни всередині квадратних коренів не можуть бути нульовими або негативними, оскільки вони обидва суми квадратів і $Y_P,Y_Q \gt 0\text{.}$ Таким чином, немає однини точок, але є критична точка, коли $T'(x) = 0\text{,}$ саме коли
\ почати {вирівнювати*} 0 &=\ розрив {1} {c_a}\ розрив {x_p-x} {\ sqrt {(x_P-x) ^2+Y_P^2}} +\ frac {c_w}\ frac {x_q-x} {\ sqrt {(x_q-x) ^2+Y_Q^2}\\ &=\ гідророзриву {-\ sin\ theta_i} {c_a} +\ розрив {\ sin\ theta_r} {c_w}\ end {align*}
Перевпорядкувати це, щоб отримати
\ begin {align*}\ розриву {\ sin\ theta_i} {c_a} &=\ розриву {\ sin\ theta_r} {c_w}\\ end {align*}

перемістити синуси в одну сторону
\ begin {align*}\ frac {\ sin\ theta_i} {\ sin\ theta_r} &=\ frac {c_a} {c_w}\ end {align*} що є саме законом Снелла.

Приклад 3.5.24 Пошук найкращого кута огляду.

Статуя Свободи має висоту $46$ м і стоїть на п'єдесталі висотою $47$ м. Як далеко від статуї повинен стояти спостерігач, щоб максимально зменшити кут, піднесеного статуєю на око спостерігача, який знаходиться на $1.5$ м над підставою п'єдесталу?

Рішення Очевидно, якщо ми стоїмо занадто близько, то все, що спостерігач бачить, є п'єдесталом, тоді як якщо вони стоять занадто далеко, то все крихітне. Найкраще місце для фотографування знаходиться десь посередині.

Малюємо ретельну картинку ⁹

і ми можемо поставити відповідні довжини і кути.
Висота статуї - $h = 46$ м, а висота п'єдесталу (над оком) - $p = 47-1.5 = 45.5$ м Горизонтальна відстань від статуї до ока $x\text{.}$ є два відповідних кути. По-перше $\theta$ , кут, підтягнутий статуєю, в той час як $\varphi$ кут, поглиблений частиною п'єдесталу над оком.
Деяка тригонометрія дає нам
\ почати {вирівнювати*}\ тан\ варфі &=\ гідророзриву {p} {x}\\ tan (\ varphi+\ тета) &=\ розриву {p+h} {x}\ end {align*}
Таким чином
\ begin {вирівнювати*}\ варфі &=\ арктан\ розрив {p} {x}\\ varphi+\ тета &=\ арктин\ гідророзриву {p+h} {x}\ end {align*}
і так
\ begin {align*}\ тета &=\ арктан\ фракція {p+h} {x} -\ арктин\ гідророзриву {p} {x}. \ end {вирівнювати*}
Якщо ми дозволимо глядачеві стояти в будь-якій точці перед статуєю, то $0\le x \lt \infty\text{.}$ далі спостерігаємо, що як $x \rightarrow \infty$ або $x \rightarrow 0$ кут, $\theta \rightarrow 0\text{,}$ так як
\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ rightarrow 0}\ арктин\ розрив {p+h} {x} &=\ розрив {\ pi} {2}\\ lim_ {x\ rightarrow 0}\ арктин\ frac {p} {x} &=\ frac {\ pi} {2}\ кінець {вирівнювати*}

Очевидно, що найбільше значення $\theta$ буде строго позитивним, і тому доведеться приймати для деяких $0 \lt x \lt \infty\text{.}$ (Зверніть увагу на суворі нерівності.) Це $x$ буде як локальний максимум, так і глобальний максимум. Як не $\theta$ є одниною ні в якому, $0 \lt x \lt \infty\text{,}$ нам потрібно лише шукати критичні точки.

Ретельне застосування правила ланцюга показує, що похідна

\ begin {align*}\ dfrac {d\ тета} {dx} &=\ гідророзриву {1} {1+ (\ frac {p+h} {x}) ^2}\ cdot\ ліворуч (\ frac {- (p+h)} {x^2}\ праворуч) -\ розрив {1} {1+ (\ frac {p} {x}) ^2}\ cdot\ ліворуч (\ розрив {-p} {x^2}\ праворуч)\\ &=\ розрив {- (p+h)} {x^2+ (p+h) ^2} +\ frac {p} {x^2+p ^ 2}\ end {align*}

Так виникає критична точка, коли

\ begin {вирівнювати*}\ розриву {(p+h)} {x^2+ (p+h) ^2} &=\ розриву {p} {x^2+p ^ 2} &\ текст {перехресне множення}\\ (р+ч) (x^2+p ^ 2) &= p (x^2+ (p+h) ^2) &\ текст {зібрати $x-терміни}\\ x^2 (р+ч-р) &= р (р+ч) ^2 - р^2 (р+ч) &\ текст {очистити}\\ h x^2 &= p (р+ч) (р+ч-р) = pH (р+ч)\\ &\ hskip1in\ текст {скасувати загальні фактори}\ \ х ^ 2 &= р (р+ч)\\ х &=\ пм\ sqrt {p (p+h)}\ приблизно\ пм 64,9м\ кінець {вирівнювати*}
При цьому найкраще місце для того, щоб стояти приблизно $64.9$ м спереду або позаду статуї. У цей момент $\theta \approx 0.348$ радіани або $19.9^\circ\text{.}$

Приклад 3.5.25 Переміщення об'єктів навколо кутів.

Знайдіть довжину найдовшого стрижня, який можна переносити горизонтально (не допускається нахил) з коридору шириною $3$ м в коридор шириною $2$ м. Два коридори перпендикулярні один одному.

Рішення

Припустимо, що ми проводимо стрижень за кут, то якщо стрижень максимально довгий, він повинен стосуватися кута і зовнішніх стін обох коридорів. Картинка цього показана нижче.

Ви можете бачити, що це породжує два подібних трикутника, по одному всередині кожного коридору. Також максимальна довжина стрижня змінюється з кутом, який він робить зі стінами коридору.
Припустимо, що кут між стрижнем і внутрішньою стінкою $3$ m коридору такий $\theta\text{,}$ , як показано на малюнку вище. При цьому він зробить кут з зовнішньою $\frac{\pi}{2}-\theta$ стіною 2м коридору. $\ell_1(\theta)$ Позначають довжиною частини стрижня, що утворює гіпотенузу верхнього трикутника на малюнку вище. Аналогічно позначають $\ell_2(\theta)$ по довжині частини стрижня, що утворює гіпотенузу нижнього трикутника на малюнку вище. Тоді
\ begin {збирати*}\ ell_1 (\ тета) =\ frac {3} {\ sin\ тета}\ qquad\ ell_2 (\ тета) =\ frac {2} {\ cos\ theta}\ end {gatheta}
і загальна довжина
\ begin {збирати*}\ ell (\ тета) =\ ell_1 (\ тета) +\ ell_2 (\ тета) =\ frac {3} {\ sin\ тета} +\ frac {2} {\ cos\ theta}\ end {gatheta}
де $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\text{.}$
Довжина найдовшого стрижня ми можемо рухатися через коридор таким чином є мінімумом Примітка, що $\ell(\theta)$ не $\ell(\theta)\text{.}$ визначено на $\theta = 0, \frac{\pi}{2}\text{.}$ Дійсно ми знаходимо, що як $\theta \rightarrow 0^+$ або $\theta\rightarrow \frac{\pi}{2}^-\text{,}$ довжина $\ell\rightarrow +\infty\text{.}$ (Ви повинні бути в змозі уявити, що відбувається з нашим стрижнем в цих двох межах). Очевидно, що мінімальний $\ell(\theta)$ дозволений буде кінцевим і буде досягнутий для деяких $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$ (зверніть увагу на сувору нерівність), і таким чином буде локальним мінімумом, а також глобальним мінімумом. Таким чином, нам потрібно лише знайти нулі $\ell'(\theta)\text{.}$
Диференціація $\ell$ дає

\ begin {align*}\ dfrac {d\ ell} {d\ тета} &= -\ frac {3\ cos\ тета} {\ sin^2\ тета} +\ frac {2\ sin\ тета} {\ cos^2\ тета}. \ end {вирівнювати*}

Це не існує $\theta = 0, \frac{\pi}{2}$ (який ми вже проаналізували), але існує на кожному $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$ і дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю. А саме коли

\ почати {вирівнювати*} 2\ sin^3\ тета &= 3\ cos^3\ тета &\ текст {розділити на $\ cos^3\ тета$}\\ 2\ tan^3\ тета &= 3\\ tan\ тета &=\ sqrt [3] {\ frac {3} {2}}\ кінець {вирівнювати*}
Від цього ми можемо відновитися $sin\theta$ і $cos\theta\text{,}$ без необхідності обчислювати $\theta$ себе. Ми можемо, наприклад, побудувати прямокутний трикутник з суміжною довжиною $\sqrt[3]{2}$ і протилежною довжиною $\sqrt[3]{3}$ (так, щоб $\tan\theta=\sqrt[3]{3/2}$ ):

Має гіпотенузу $\sqrt{ 3^{2/3} + 2^{2/3}}\text{,}$ і так

\ почати {вирівнювати*}\ sin\ тета &=\ розрив {3^ {1/3}} {\ sqrt {3^ {2/3} +2^ {2/3}}}\\ cos\ theta &=\ розрив {2^ {1/3}} {\ sqrt {3^ {2/3} +2^ {2/3}}}\ кінець {вирівнювати*}

Крім того, можна використовувати посвідчення:

\ begin {вирівнювати*} 1 +\ tan^2\ тета &=\ сек^2\ тета & 1+\ cot^2\ тета &=\ csc^2\ тета\ кінець {align*}

для отримання виразів для $1/\cos\theta$ і $1/\sin\theta\text{.}$
Використовуючи наведені вище вирази для $\sin\theta, \cos\theta$ ми знаходимо мінімум $\ell$ (який є найдовшим стрижнем, який ми можемо рухатися):
\ begin {align*}\ ell &=\ гідророзриву {3} {\ sin\ тета} +\ гідророзриву {2} {\ cos\ theta} =\ гідророзриву {3} {\ корінь 3} {\ sqrt {2^ {\ frac {2} {3}} +3^ {\ frac {2} {3}}}} +\ frac 2} {\ frac {\ корінь 3\ з 2} {\ sqrt {2^ {\ frac {2} {3}} +3^ {\ frac {2} {3}}}}\\ & =\ sqrt {2^ {\ frac {3}} +3^ {\ frac {2} {3}}}\ великий [3^ {3} {2} {3}} +2^ {\ гідророзриву {2} {3}}\ великий]\\ & ; = {\ великий [2^ {\ розрив {2} {3}} +3^ {\ розрив {2} {3}}\ великий]}} ^ {\ розрив {3} {2}}\ приблизно 7.02\ текст {м}\ кінець {вирівняй*}}

Вправи

Вправи для § 3.5.1

Етап 1

Вправа $\PageIndex{1}$

Визначте кожну критичну точку та кожну особливу точку, $f(x)$ показану на графіку нижче. Яким відповідають локальні екстреми?

Вправа $\PageIndex{2}$

Визначте кожну критичну точку та кожну особливу точку $f(x)$ на графіку нижче. Яким відповідають локальні екстреми? Які відповідають глобальним екстремумам за показаний інтервал?

Вправа $\PageIndex{3}$

Намалюйте графік, $y=f(x)$ де a $f(2)$ - це локальний максимум, але це не глобальний максимум.

Етап 2

Вправа $\PageIndex{4}$

Припустимо $f(x)=\dfrac{x^2-10}{x-5}\text{.}$

Знайти всі критичні точки.
Знайти всі одиничні точки.
Які можливі точки, де локальні екстреми $f(x)$ можуть існувати?

Етап 3

Вправа $\PageIndex{5}$

Нижче наведено ряд кривих, всі з яких мають однину точку в $x=2\text{.}$ Для кожної позначте, чи $x=2$ є локальним максимумом, локальним мінімумом чи ні.

Вправа $\PageIndex{6}$

Намалюйте графік, $y=f(x)$ де $f(2)$ локальний максимум, але не $x=2$ є критичною точкою.

Вправа $\PageIndex{7}$

$f(x)=\sqrt{\left|(x-5)(x+7)\right|} \nonumber$

Знайти всі критичні точки і всі одиничні точки $f(x)\text{.}$ Ви не повинні вказувати, чи є точка критичною чи єдиною.

Вправа $\PageIndex{8}$

Припустимо $f(x)$ , постійна функція $f(x)=4\text{.}$ Які критичні точки та сингулярні точки $f(x)\text{?}$ Які її локальні та глобальні максимуми та мінімуми?