Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3: Застосування похідних

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    60580

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У розділі 2.2 ми визначили\(x=a\text{,}\)\(f'(a)\text{,}\) похідну at абстрактної функції\(f(x)\text{,}\) як її миттєву швидкість зміни при\(x=a\text{:}\)

    \ begin {вирівнювати*} f' (a) &=\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}\ end {align*}

    Це абстрактне визначення, і вся теорія, яку ми розробили, щоб розібратися з ним, виявляється вкрай корисним просто тому, що «миттєва швидкість зміни» з'являється у величезній кількості налаштувань. Ось кілька прикладів.

    • Якщо ви рухаєтеся уздовж лінії і\(x(t)\) ваша позиція на лінії в той час,\(t\text{,}\) то ваша швидкість зміни положення,\(x'(t)\text{,}\) ваша швидкість. Якщо замість цього\(v(t)\) ваша швидкість в той час,\(t\text{,}\) то ваша швидкість зміни швидкості\(v'(t)\text{,}\) - це ваше прискорення. Ми розглянемо це далі в розділі 3.1.
    • Якщо\(P(t)\) розмір певної популяції (скажімо, кількість людей на землі) в той час,\(t\text{,}\) то\(P'(t)\) це швидкість, з якою змінюється розмір цієї популяції. Його називають чистою народжуваністю. Ми розглянемо його далі в розділі 3.3.3.
    • Радіовуглецеве датування, процедура, яка використовується для визначення віку, наприклад, археологічних матеріалів, заснована на розумінні швидкості розпаду нестійкого ізотопу вуглецю. Ми розглянемо цю процедуру в розділі 3.3.1
    • Конденсатор - це електричний компонент, який використовується для багаторазового зберігання і звільнення електричного заряду (скажімо електронів) в електронній схемі. Якщо\(Q(t)\) заряд на конденсаторі в той час,\(t\text{,}\) то\(Q'(t)\) це миттєва швидкість, з якою заряд надходить в конденсатор. Це називається струмом. Стандартна одиниця заряду - кулон. Один кулон - це величина заряду приблизно\(6.241 \times 10^{18}\) електронів. Стандартною одиницею по струму є підсилювач. Один підсилювач представляє один кулон в секунду.

    • 3.1: Швидкість і прискорення
      Якщо ви рухаєтеся вздовж\(x\) осі —і ваше положення в той час\(t\) є,\(x(t)\text{,}\) то ваша швидкість в часі\(t\)\(v(t)=x'(t)\) і ваше прискорення в часі\(t\)\(a(t)=v'(t) = x''(t)\text{.}\)
    • 3.2: Супутні тарифи
      Розглянемо наступну проблему: сферична куля надувається зі швидкістю\(13cm^3/sec\text{.}\) Як швидко змінюється радіус, коли куля має радіус\(15cm\text{?}\)
    • 3.3: Експоненціальне зростання і розпад - перший погляд на диференціальні рівняння
      Диференціальне рівняння - це рівняння для невідомої функції, яка включає в себе похідну від невідомої функції. Наприклад, закон Ньютона охолодження говорить: Швидкість зміни температури об'єкта пропорційна різниці температур між об'єктом і його оточенням.
    • 3.4: Апроксимуючі функції поблизу заданої точки - поліноми Тейлора
      Припустимо, що вас цікавлять значення якоїсь функції\(f(x)\) для\(x\) майже якоїсь фіксованої точки\(a\text{.}\) Коли функція є поліномом або раціональною функцією, ми можемо використовувати деяку арифметику (а може бути і якусь важку роботу), щоб записати відповідь. Наприклад:
    • 3.5: Оптимізація
      Одним з важливих застосувань диференціального числення є знаходження максимального (або мінімального) значення функції. Це часто знаходить реальні програми в таких проблемах, як наступне.
    • 3.6: Намальовування графіків
      Одне з найбільш очевидних застосувань похідних - допомогти нам зрозуміти форму графіка функції. У цьому розділі ми будемо використовувати наші накопичені знання про похідні для виявлення найважливіших якісних ознак графіків\(y=f(x)\text{.}\). Мета цього розділу - виділити особливості графіка\(y=f(x)\), які легко
    • 3.7: Правило L'Hôpital та невизначені форми
      Повернемося до обмежень (Глава 1) і подивимося, як ми можемо використовувати похідні для спрощення певних сімей обмежень, які називаються невизначені форми. Ми знаємо, з теореми 1.4.3 про арифметику меж, що якщо