3: Застосування похідних

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.15: (необов'язково) - є $\lim_{x\to c}f'(x)$ Equal to $f'(c)\text{?}$
- 3.1: Швидкість і прискорення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У розділі 2.2 ми визначили $x=a\text{,}$ $f'(a)\text{,}$ похідну at абстрактної функції $f(x)\text{,}$ як її миттєву швидкість зміни при $x=a\text{:}$

\ begin {вирівнювати*} f' (a) &=\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}\ end {align*}

Це абстрактне визначення, і вся теорія, яку ми розробили, щоб розібратися з ним, виявляється вкрай корисним просто тому, що «миттєва швидкість зміни» з'являється у величезній кількості налаштувань. Ось кілька прикладів.

Якщо ви рухаєтеся уздовж лінії і $x(t)$ ваша позиція на лінії в той час, $t\text{,}$ то ваша швидкість зміни положення, $x'(t)\text{,}$ ваша швидкість. Якщо замість цього $v(t)$ ваша швидкість в той час, $t\text{,}$ то ваша швидкість зміни швидкості $v'(t)\text{,}$ - це ваше прискорення. Ми розглянемо це далі в розділі 3.1.
Якщо $P(t)$ розмір певної популяції (скажімо, кількість людей на землі) в той час, $t\text{,}$ то $P'(t)$ це швидкість, з якою змінюється розмір цієї популяції. Його називають чистою народжуваністю. Ми розглянемо його далі в розділі 3.3.3.
Радіовуглецеве датування, процедура, яка використовується для визначення віку, наприклад, археологічних матеріалів, заснована на розумінні швидкості розпаду нестійкого ізотопу вуглецю. Ми розглянемо цю процедуру в розділі 3.3.1
Конденсатор - це електричний компонент, який використовується для багаторазового зберігання і звільнення електричного заряду (скажімо електронів) в електронній схемі. Якщо $Q(t)$ заряд на конденсаторі в той час, $t\text{,}$ то $Q'(t)$ це миттєва швидкість, з якою заряд надходить в конденсатор. Це називається струмом. Стандартна одиниця заряду - кулон. Один кулон - це величина заряду приблизно $6.241 \times 10^{18}$ електронів. Стандартною одиницею по струму є підсилювач. Один підсилювач представляє один кулон в секунду.

3.1: Швидкість і прискорення
Якщо ви рухаєтеся вздовж $x$ осі —і ваше положення в той час $t$ є, $x(t)\text{,}$ то ваша швидкість в часі $t$ $v(t)=x'(t)$ і ваше прискорення в часі $t$ $a(t)=v'(t) = x''(t)\text{.}$
3.2: Супутні тарифи
Розглянемо наступну проблему: сферична куля надувається зі швидкістю $13cm^3/sec\text{.}$ Як швидко змінюється радіус, коли куля має радіус $15cm\text{?}$
3.3: Експоненціальне зростання і розпад - перший погляд на диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння - це рівняння для невідомої функції, яка включає в себе похідну від невідомої функції. Наприклад, закон Ньютона охолодження говорить: Швидкість зміни температури об'єкта пропорційна різниці температур між об'єктом і його оточенням.
3.4: Апроксимуючі функції поблизу заданої точки - поліноми Тейлора
Припустимо, що вас цікавлять значення якоїсь функції $f(x)$ для $x$ майже якоїсь фіксованої точки $a\text{.}$ Коли функція є поліномом або раціональною функцією, ми можемо використовувати деяку арифметику (а може бути і якусь важку роботу), щоб записати відповідь. Наприклад:
3.5: Оптимізація
Одним з важливих застосувань диференціального числення є знаходження максимального (або мінімального) значення функції. Це часто знаходить реальні програми в таких проблемах, як наступне.
3.6: Намальовування графіків
Одне з найбільш очевидних застосувань похідних - допомогти нам зрозуміти форму графіка функції. У цьому розділі ми будемо використовувати наші накопичені знання про похідні для виявлення найважливіших якісних ознак графіків $y=f(x)\text{.}$ . Мета цього розділу - виділити особливості графіка $y=f(x)$ , які легко
3.7: Правило L'Hôpital та невизначені форми
Повернемося до обмежень (Глава 1) і подивимося, як ми можемо використовувати похідні для спрощення певних сімей обмежень, які називаються невизначені форми. Ми знаємо, з теореми 1.4.3 про арифметику меж, що якщо