3: Кілька інтегралів
- Page ID
- 60747
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
In your previous calculus courses you defined and worked with single variable integrals, like \(\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}{x}\text{.}\) In this chapter, we define and work with multivariable integrals, like \(\iint_{R} f(x,y)\ \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\) and \(\iiint_{V} f(x,y,z)\ \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\text{.}\) We start with two variable integrals.
- 3.1: Подвійні інтеграли
- Припустимо, що ви хочете обчислити масу пластини, яка заповнює область\(\mathcal{R}\) в\(xy\) -площині. Припустимо далі, що щільність плити, скажімо, в кілограмах на квадратний метр, залежить від положення.
- 3.2: Подвійні інтеграли в полярних координатах
- Поки що, встановлюючи інтеграли, ми завжди скорочували область інтеграції в крихітні прямокутники, малюючи в багатьох лініях постійних\(x\) і багато ліній постійної\(y\text{.}\)
- 3.3: Застосування подвійних інтегралів
- Подвійні інтеграли корисні не тільки для обчислювальних областей і обсягів. Ось кілька інших додатків, які призводять до подвійних інтегралів.
- 3.4: Площа поверхні
- Припустимо, що ми хочемо знайти площу\(S\text{,}\) частини, поверхні\(z=f(x,y)\text{.}\) Ми починаємо з\(S\) розрізання на крихітні шматочки.
- 3.5: Потрійні інтеграли
- Потрійні інтеграли, тобто інтеграли над тривимірними областями, так само, як подвійні інтеграли, тільки тим більше. Ми розкладаємо область інтеграції на крихітні кубики, наприклад, обчислюємо внесок з кожного куба, а потім використовуємо інтеграли, щоб скласти всі різні частини. Ми розглянемо деталі зараз за допомогою ряду прикладів.
- 3.6: Потрійні інтеграли в циліндричних координатах
- Багато проблем володіють природною симетрією. Ми можемо полегшити нашу роботу, використовуючи системи координат, як-от полярні координати, які пристосовані до цих симетрій. Ми розглянемо ще дві такі системи координат — циліндричну і сферичну координати.
- 3.7: Потрійні інтеграли в сферичних координатах
- У тому випадку, якщо ми хочемо обчислити, наприклад, масу об'єкта, який є інваріантним при обертаннях про походження, вигідно використовувати інше узагальнення полярних координат до трьох вимірів. Система координат називається сферичними координатами.
- 3.8: Додатково - Інтеграли в загальних координатах
- Одним з найважливіших інструментів, що використовуються при роботі з одиночними змінними інтегралами, є зміна змінної (підстановки) правила
Мініатюра: діаграма, що зображує відпрацьований потрійний інтегральний приклад. Питання: «Знайдіть об'єм області, обмеженої вище сферою\(x^2+y^2+z^2 = a^2\) і нижче конусом,\(z^2 \sin^2(a) = (x^2+y^2)\cos^2(a)\) де\(a\) знаходиться в інтервалі\([0,π]\) (Public Domain; Inductiveload через Вікіпедію).