3: Кілька інтегралів

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.10: Мультиплікатори Лагранжа
- 3.1: Подвійні інтеграли

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

In your previous calculus courses you defined and worked with single variable integrals, like $\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}{x}\text{.}$ In this chapter, we define and work with multivariable integrals, like $\iint_{R} f(x,y)\ \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}$ and $\iiint_{V} f(x,y,z)\ \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\text{.}$ We start with two variable integrals.

3.1: Подвійні інтеграли
Припустимо, що ви хочете обчислити масу пластини, яка заповнює область $\mathcal{R}$ в $xy$ -площині. Припустимо далі, що щільність плити, скажімо, в кілограмах на квадратний метр, залежить від положення.
3.2: Подвійні інтеграли в полярних координатах
Поки що, встановлюючи інтеграли, ми завжди скорочували область інтеграції в крихітні прямокутники, малюючи в багатьох лініях постійних $x$ і багато ліній постійної $y\text{.}$
3.3: Застосування подвійних інтегралів
Подвійні інтеграли корисні не тільки для обчислювальних областей і обсягів. Ось кілька інших додатків, які призводять до подвійних інтегралів.
3.4: Площа поверхні
Припустимо, що ми хочемо знайти площу $S\text{,}$ частини, поверхні $z=f(x,y)\text{.}$ Ми починаємо з $S$ розрізання на крихітні шматочки.
3.5: Потрійні інтеграли
Потрійні інтеграли, тобто інтеграли над тривимірними областями, так само, як подвійні інтеграли, тільки тим більше. Ми розкладаємо область інтеграції на крихітні кубики, наприклад, обчислюємо внесок з кожного куба, а потім використовуємо інтеграли, щоб скласти всі різні частини. Ми розглянемо деталі зараз за допомогою ряду прикладів.
3.6: Потрійні інтеграли в циліндричних координатах
Багато проблем володіють природною симетрією. Ми можемо полегшити нашу роботу, використовуючи системи координат, як-от полярні координати, які пристосовані до цих симетрій. Ми розглянемо ще дві такі системи координат — циліндричну і сферичну координати.
3.7: Потрійні інтеграли в сферичних координатах
У тому випадку, якщо ми хочемо обчислити, наприклад, масу об'єкта, який є інваріантним при обертаннях про походження, вигідно використовувати інше узагальнення полярних координат до трьох вимірів. Система координат називається сферичними координатами.
3.8: Додатково - Інтеграли в загальних координатах
Одним з найважливіших інструментів, що використовуються при роботі з одиночними змінними інтегралами, є зміна змінної (підстановки) правила

Мініатюра: діаграма, що зображує відпрацьований потрійний інтегральний приклад. Питання: «Знайдіть об'єм області, обмеженої вище сферою $x^2+y^2+z^2 = a^2$ і нижче конусом, $z^2 \sin^2(a) = (x^2+y^2)\cos^2(a)$ де $a$ знаходиться в інтервалі $[0,π]$ (Public Domain; Inductiveload через Вікіпедію).