2.1: Робота

Хоча обчислювальні області та обсяги є приємними математичними програмами інтеграції, ми також можемо використовувати інтеграцію для обчислення величин важливості у фізиці та статистиці. Однією з таких величин є робота. Робота - це спосіб кількісної оцінки кількості енергії, яка необхідна для дії проти сили ¹. У SI ² метричних одиниць сила$F$ має одиниці ньютонів (які є кілограмами на секунду в квадраті),$x$ має одиниці метрів, а робота$W$ має одиниці джоулів (які є ньютон-метрами або кілограмами в квадраті на секунду в квадраті).

Визначення 2.1.1

Робота, виконана силою$F(x)$ при переміщенні об'єкта$x=b$ від$x=a$ до

\ begin {збирати*} W=\ int_a^b F (x)\, d {x}\ end {збирати*}

Зокрема, якщо сила постійна,$F\text{,}$$x\text{,}$ незалежна від роботи є$F\cdot(b-a)\text{.}$

Ось деяка мотивація для цього визначення. Розглянемо частинку маси, що$m$ рухається уздовж$x$ -осі. Нехай положення частинки в той час$t$ буде$x(t)\text{.}$ Частка починається з позиції в$a$ той час$\alpha\text{,}$ рухається вправо, закінчуючи в положенні в$b \gt a$$\beta\text{.}$ той час як частинка рухається, вона підпорядковується силі, залежної від положення$F(x)\text{.}$ Тоді закон Ньютона рух ³ говорить ⁴, що сила маса разів прискорення

\ begin {збирати*} м\ розрив {d^ {2} x} {dt^ {2}}} (t) = F\ великий (x (t)\ великий)\ кінець {збирати*}

Тепер розглянемо наше визначення роботи вище. Це говорить нам про те, що робота, виконана при переміщенні частинки$x=b$ від$x=a$ до

\ begin {вирівнювати*} W &=\ int_a^b F (x)\, d {x}\ end {align*}

Однак ми знаємо позицію як функцію часу, тому можемо підставити$x=x(t)\text{,}$$\, d{x}=\dfrac{dx}{dt}\, d{t}$ (використовуючи теорему 1.4.6) і переписати вищевказаний інтеграл:

$$\begin{align*} W = \int_a^b F(x) \, d{x} &= \int_{t=\alpha}^{t=\beta} F(x(t))\dfrac{dx}{dt} \, d{t}\\ \end{align*}$$

Використовуючи другий закон Ньютона, ми можемо переписати наш integrand:

\ почати {вирівнювати*} &= м\ int_\ альфа^\ бета\ розрив {d^ {2} x} {dt^ {2}}\ dfrac {dx} {dt}\, d {t}\ &= м\ int_\ альфа^\ бета\ dfrac {dv} {dt} v (t)\, d {t} &\ текст {починаючи з $v (t) =\ dfrac {dx} {dt} $}\\ &= м\ int_\ альфа^\ бета\ dfrac {d} {dt}\ лівий (\ frac {1} {2} v (t) ^2\ праворуч)\, d {t}\ end {align*}

Що тут сталося? За правилом ланцюга, для будь-якої функції$f(t)\text{:}$

\ begin {align*}\ dfrac {d} {dt}\ left (\ frac {1} {2} f (t) ^2\ праворуч) &= f (t) f' (t). \ end {вирівнювати*}

У наведеному вище обчисленні ми використовували цей факт з$f(t) = v(t)\text{.}$ Тепер, використовуючи фундаментальну теорему числення (Теорема 1.3.1 частина 2), ми маємо

\ begin {align*} W & = m\ int_\ альфа^\ бета\ dfrac {d} {dt}\ лівий (\ frac {1} {2} v (t) ^2\ праворуч)\, d {t}\\ &=\ розрив {1} {2} мв (\ бета) ^2 -\ frac {1} {2} мв (\ альфа) ^2. \ end {вирівнювати*}

За визначенням, функція$\frac{1}{2} mv(t)^2$ є кінетичною енергією ⁵ частинки в той час.$t\text{.}$ Отже, робота$W$ Визначення 2.1.1 - це зміна кінетичної енергії від часу, коли частка була в$x=a$$x=b\text{.}$

Приклад: 2.1.2 Закон Гука

Уявіть, що уздовж$x$ -осі лежить пружина. Лівий кінець закріплений на стіні, але правий кінець вільно лежить на$x=0\text{.}$ Таким чином, пружина знаходиться на «природній довжині».

• Тепер припустимо, що ми хочемо розтягнути пружину так, щоб її правий кінець був на$x=L\text{.}$
• Закон Гука ⁶ говорить, що коли (лінійна) пружина розтягується (або стискається)$x$ одиницями, що перевищують її природну довжину, вона надає силу величини,$kx\text{,}$ де константа$k$ є постійною пружини цієї пружини.
• У нашому випадку, як тільки ми розтягнули пружину$x$ одиницями вправо, пружина буде намагатися відтягнути правий кінець, приклавши силу величини,$kx$ спрямовану вліво.
• Щоб продовжити розтягування пружини, нам доведеться застосувати компенсуючу силу величини,$kx$ спрямовану вправо. Тобто ми повинні застосувати силу$F(x) = +kx\text{.}$
• Отже, щоб розтягнути пружину на$L$ одиниці від її природної довжини, ми повинні забезпечити роботу.

  \ begin {вирівнювати*} W &=\ int_0^l k x\, d {x} =\ frac {1} {2} kL^2\ end {align*}

Приклад: 2.1.3 Весна

Пружина має природну довжину$0.1$ м Якщо потрібна сила$12$ N, щоб тримати її розтягнутою до довжини$0.12$ м, скільки потрібно роботи, щоб розтягнути її від$0.12$ м до$0.15$ м?

Рішення:

Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно буде визначити постійну пружини, а потім інтегрувати відповідну функцію.

• Наше перше завдання - визначити постійну пружини.$k\text{.}$ Нам кажуть, що коли пружина розтягується на довжину$0.12$ м, тобто на довжину$0.12-0.1=0.02$ м за її природну довжину, то пружина генерує силу величини$12$ N.
• Закон Гука стверджує, що сила, яку надає пружина, коли вона розтягується$x$ одиницями, має величину$k x\text{,}$ так

  \ почати {вирівнювати*} 12 &= k\ cdot 0.02 = k\ cdot\ frac {2} {100} &\ текст {таким чином}\\ k &=600. \ end {вирівнювати*}

• Так розтягнути пружину
  • від довжини$0.12$ м, тобто довжини$x=0.12-0.1=0.02$ м за її природну довжину,
  • до довжини$0.15$ м, тобто на довжину$x=0.15-0.1=0.05$ м за її природну довжину,

  бере роботу

  \ почати {вирівнювати*} W &=\ int_ {0.02} ^ {0.05} k x\, d {x} =\ лівий [\ frac {1} {2} kx^2\ праворуч] _ {0.02} ^ {0.05}\ &=300\ великий (0,05^2-0,02 ^ 2\ великий)\\ &= 0,63\ mathrm {J}\\ кінець вирівнювати*}

Приклад: 2.1.4 Відкачування резервуара

Циліндричний резервуар ⁷ висоти$h$ і радіуса$r$ заповнений рідиною щільності$\rho\text{.}$ Ми хотіли б знати, скільки потрібно роботи, щоб відкачати всю рідину з верхньої частини резервуара.

Рішення: Ми будемо вирішувати цю проблему, застосовуючи стандартну стратегію інтегрального числення «розрізати на дрібні шматочки». Ось як ми обчислили площі та обсяги - розрізаємо проблему на дрібні шматочки, з'ясуємо, скільки кожен шматок вносить, а потім складаємо внески, використовуючи інтеграл.

• Почніть з нарізки пласта (а точніше рідини всередині нього) на тонкі, горизонтальні, циліндричні млинці, як на малюнку вище. Приступаємо до визначення того, скільки потрібно роботи, щоб відкачати цей млинцевий обсяг рідини ⁸.
• Кожен млинець являє собою присадкуватий циліндр з товщиною$\, d{x}$ і круглим перетином радіуса$r$ і площі,$\pi r^2\text{.}$ отже, він має об'єм$\pi r^2 \, d{x}$ і масу.$\rho \times \pi r^2\, d{x}\text{.}$
• Біля поверхні Землі сила тяжіння надає спадну силу$mg$ на тілі маси$m\text{.}$ Постійна$g=9.8$ m/$\mathrm{sec}^2$ називається стандартним прискоренням за рахунок гравітації ⁹. Щоб ми підняли млинець, ми повинні застосувати компенсуючу висхідну силу,$mg\text{,}$ яка для нашого млинця є

  \ begin {вирівнювати*} F &= г\ rho\ раз\ пі r^2\, d {x}\ end {align*}

• Щоб вийняти млинець на висоті$x$ з резервуара, нам потрібно підняти його на висоту,$h\text{.}$ тому ми повинні підняти його на відстань,$h-x$ використовуючи силу,$F=\pi \rho g r^2\, d{x}\text{,}$ яка забирає роботу.$\pi\rho g r^2\,(h-x)\, \, d{x}\text{.}$
• Загальна робота по спустошенню всього водойми становить

  \ begin {align*} W&=\ int_0^h\ pi\,\ rho g\, r^2 (h-x)\, d {x} =\ пі\,\ рхо г\, r^2\ int_0^h (h-x)\, d {x}\ &=\ пі\,\ rho g\, r^2\ Big [hx}\\ &=\ пі\,\ rho g\, r^2\ Big [hx\ frac {x^2} {2}\ Великий] _0^h\\ &=\ розриву {\ pi} {2}\,\ rho g\, r^2 h^2\ end {align*}

• Якщо вимірювати довжини в метрах і масу в кілограмах, то ця величина має одиниці джоулів. Якщо ми замість цього використовували ноги і фунти ¹⁰, то це буде мати одиниці «фут-фунтів». Один фут-фунт дорівнює 1.355817... Джоулів.

Приклад: 2.1.5 Швидкість втечі

Припустимо, що ви стріляєте зондом прямо з поверхні Землі - з якою початковою швидкістю зонд повинен рухатися, щоб уникнути гравітації Землі?

Рішення: Ми визначаємо це шляхом обчислення того, скільки роботи потрібно зробити, щоб уникнути гравітації Землі. Якщо припустити, що вся ця робота походить від початкової кінетичної енергії зонда, то ми можемо встановити мінімальну необхідну початкову швидкість.

• Робота, виконана гравітацією, коли маса рухається з поверхні Землі на висоту$h$ над поверхнею, становить

  \ begin {вирівнювати*} W &=\ int_0^h F (x)\, d {x}\ end {align*}

  де$F(x)$ - гравітаційна сила, що діє на масу на висоті$x$ над поверхнею Землі.
• Гравітаційна сила ¹¹ Землі, що діє на частинку маси$m$ на висоті$x$ над поверхнею Землі, становить

  \ begin {збирати*} F=-\ розриву {Гмм} {(R+x) ^2},\ end {збирати*}

  де$G$ - гравітаційна константа,$M$$R$ - маса Землі і радіус Землі. Зверніть увагу, що$R+x$ це відстань від об'єкта до центру Землі. Крім того, зверніть увагу, що ця сила є негативною, оскільки гравітація діє вниз.
• Отже, робота, виконана гравітацією на зонді, коли він рухається з поверхні Землі на висоту,$h\text{,}$ є $$\begin{align*} W&=-\int_0^h \frac{GMm}{(R+x)^2}\, d{x}\\ &=-GMm\int_0^h \frac{1}{(R+x)^2}\, d{x}\\ \end{align*}$$

  Швидке застосування правила підміни з$u=R+x$ дає

  \ begin {вирівнювати*} &=-ГММ\ int_ {u (0)} ^ {u (h)}\ розрив {1} {u^2}\, d {u}\ u}\ &= -Гмм\ лівий [-\ frac {1} {u}\ правий] _ {u=R} ^ {U=R+H}\\ &=\\ FRAC {Гмм} {R} +H} -\ розрив {Гмм} {R}\ end {вирівнювати*}
• Отже, якщо зонд повністю вислизає від Землі і проїжджає весь шлях до$h=\infty\text{,}$ гравітації, працює.

  \ begin {gather*}\ lim_ {h\ rightarrow\ infty}\ Big [\ frac {Gmm} {R+h} -\ frac {Gmm} {R}\ Big] =-\ frac {Gmm} {R}\ кінець {gather*}

  Знак мінус означає, що гравітація видалила енергію$\frac{GMm}{R}$ з зонда.
• Для завершення завдання нам знадобиться ще одне припущення. Припустимо, що вся ця енергія походить від початкової кінетичної енергії зонда і що зонд не оснащений будь-яким ракетним двигуном. Отже, початкова кінетична енергія$\frac{1}{2}mv^2$ (що надходить від початкової швидкості$v$) повинна бути принаймні такою ж великою, як і робота, обчислена вище. Тобто нам і потрібно

  \ begin {align*}\ frac {1} {2} mv^2 &\ ge\ frac {Gmm} {R} &\ text {який переставляє, щоб дати}\\ v &\ ge\ sqrt {\ frac {2GM} {R}}\ end {align*}

• Права сторона цієї нерівності,$\sqrt{\frac{2GM}{R}}\text{,}$ називається швидкістю втечі.

Приклад: 2.1.6 Підйом кабелю

Для підняття відра води, масою 8$5$ кг, з колодязя використовується трос масою 8 кг.$10$ Знайдіть виконану роботу.

Рішення: Позначити$y$ по висоті відра над верхівкою води в колодязі. Так відро піднімається з$y=0$$y=10\text{.}$ на кабель має масову щільність$0.5$ кг/м.Так коли ковш знаходиться на висоті$y\text{,}$

• трос, який залишається підняти, має масу$0.5(10-y)$ кг і
• що залишився кабель і вода піддаються низхідній гравітаційній силі величини$\big[0.5(10-y) + 8\big]g=\big[13-\frac{y}{2}\big]g\text{,}$, де$g=9.8$ м/сек$^2\text{.}$

Отже, щоб підняти ковш з висоти$y$ на висоту,$y+\, d{y}$ нам потрібно застосувати компенсуючу висхідну силу$\big[13-\frac{y}{2}\big]g$ через відстань$\, d{y}\text{.}$ Це вимагає роботи$\big[13-\frac{y}{2}\big]g\, d{y}\text{.}$ Отже, загальна необхідна робота

$$\int_0^{10}\Big[13-\frac{y}{2}\Big]g\, d{y} =g\left[13 y-\frac{y^2}{4}\right]_0^{10} =\big[130-25\big]g =105 g\ \mathrm{J} \nonumber$$

Вправи

Етап 1

1

Знайдіть роботу (в джоулі), необхідну для підняття 3-грамового блоку речовини висотою 10 сантиметрів проти сили тяжіння (з$g=9.8$ м/сек$^2$).

2

Скеля чинить силу 1 Н на землі, де вона сидить, завдяки гравітації. Використовувати$g=9.8$ м/с$^2\text{.}$

Яка маса породи?

Скільки роботи (в джоулі) потрібно, щоб підняти цей камінь на один метр у повітрі?

3

Розглянемо рівняння

$$W = \int_a^b F(x)\,\, d{x} \nonumber$$

де$x$ вимірюється в метрах і$F(x)$ вимірюється в кілограмах на секунду в квадраті (ньютони).

Для деяких великих$n\text{,}$ ми могли б наблизити

$$W \approx \sum_{i=1}^n F(x_i)\Delta x \nonumber$$

де$\Delta x = \frac{b-a}{n}$ і$x_i$ є деяким числом в інтервалі$[a+(i-1)\Delta x, a+i\Delta x]\text{.}$ (Це всього лише загальна форма суми Рімана).

1. Які бувають одиниці$\Delta x\text{?}$
2. Які бувають одиниці$F(x_i)\text{?}$
3. Використовуючи ваші відповіді вище, які одиниці$W\text{?}$

Зауваження: ми вже знаємо одиниці$W$ з тексту, але сума Рімана ілюструє, чому вони мають сенс, що випливають з цього конкретного інтеграла.

4

Припустимо,$f(x)$ має одиниці виміру$\dfrac{\mathrm{smoot}}{\mathrm{megaFonzie}}\text{,}$ і$x$ вимірюється в ^{сараях 12}. Які одиниці виміру кількості$\int_0^1 f(x)\,\, d{x}\text{?}$

5

Ви хочете зважити свій багаж перед польотом. У вас немає шкали або балансу, але у вас є важка пружина з місцевого магазину інженерного постачання. Ви прибиваєте його до своєї стіни, відзначаючи, де звисає дно. Ви підвішуєте з джерела однолітровий мішок з водою (масою один кілограм), і спостерігаєте, щоб пружина розтягнулася на 1 см. Де на стіні слід розмітити дно пружини, відповідне висячої масі 10кг?

Можна припустити, що весна підпорядковується закону Гука.

6

Робота, виконана силою при переміщенні об'єкта з положення$x = 1$ в$x = b$ є$W(b) = -b^3+6b^2-9b+4$ для будь-якого$b$ в$[1,3]\text{.}$ В якому положенні$x$ в$[1,3]$ є сила найсильніша?

Етап 2

Питання 9 - 16 пропонують практику на двох широких типах розрахунків, охоплених у тексті: підняття речей проти сили тяжіння та розтягування пружин. Ви можете зробити ті ж фізичні припущення, що і в тексті: тобто пружини слідують закону Гука, а прискорення за рахунок гравітації - постійна кількість$-9.8$ метрів на секунду в квадраті.

Для питань 18 і 19 використовуйте принцип (введений після визначення 2.1.1 та використаний у прикладі 2.1.5), що робота, виконана над частинкою силою на відстані, дорівнює зміні кінетичної енергії цієї частинки.

7 (✳)

Змінна сила$F(x) = \frac{a}{\sqrt{x}}$ Ньютона переміщує об'єкт уздовж прямої лінії, коли він знаходиться на відстані$x$ метрів від початку. Якщо робота, виконана при переміщенні об'єкта з$x = 1$$x = 16$ метрів на метри, є$18$ джоулями, яке значення$a\text{?}$ Не турбуйтеся про одиниці$a\text{.}$

8

Трубка повітря оснащена плунжером, який стискає повітря, коли він штовхається. Якщо природна довжина трубки повітря,$\ell\text{,}$ коли плунжер був штовхнув$x$ метрів повз його природного положення, сила, що чиниться повітрям, дорівнює$\frac{c}{\ell-x}$ N, де$c$ позитивна константа (в залежності від особливостей трубки повітря) і$x \lt \ell\text{.}$

1. Які бувають одиниці$c\text{?}$
2. Скільки роботи потрібно, щоб штовхнути плунжер від 1 метра повз його природного положення до 1,5 метрів повз його природного положення? (Ви можете припустити$\ell \gt 1.5\text{.}$)

9 (✳)

Знайдіть роботу (в джоулі), необхідну для розтягування струни$10$ см за межі рівноваги, якщо її постійна пружини дорівнює$k=50\ \mathrm{N}/\mathrm{m}\text{.}$

10 (✳)

Сила$10$ N (ньютонів) потрібна для утримання пружини, розтягнутої$5$ см за її природну довжину. Скільки роботи, в джоулі (J), робиться в розтягуванні пружини від її природної довжини до$50$ см за межі її природної довжини?

11 (✳)

Для підняття відра з землі використовується трос масою$8$ кг$5$ довжиною в метр. Скільки потрібно робіт, щоб підняти весь кабель на висоту$5$ м? Ігноруйте масу відра і його вміст.

12

Резервуар висотою 1 метр має п'ятикутний переріз площею 3 м$^2$ і наповнений водою. Скільки потрібно роботи, щоб відкачати всю воду?

Можна припустити, що щільність води становить 1 кг на 1000 см.$^3\text{.}$

13 (✳)

Скульптура у формі піраміди висотою$3$ м, що сидить на землі, була зроблена шляхом укладання менших і менших (дуже тонких) залізних пластин один на одного. Залізна плита на висоті$z$ м над рівнем землі являє собою квадрат, довжина сторони якого дорівнює$(3-z)$ м Всі залізні плити починаються на підлозі підвалу$2$ м нижче рівня землі.

Запишіть інтеграл, який представляє роботу, в джоулі, потрібно було перемістити все залізо з вихідного положення в теперішнє положення. Не оцінюйте інтеграл. (Можна використовувати$9.8$ m${}/{}$ s${}^2$ для прискорення за рахунок сили тяжіння і$8000$ кг${}/{}$ м${}^3$ для щільності заліза.)

14

Припустимо, пружина простягається на 5 см повз свою природну довжину, коли один кілограм підвішений з її кінця. Скільки робиться роботи, щоб продовжити весну від 5 см повз її природної довжини до 7 см повз її природної довжини?

15

Десять кілограмів дров піднімають на мотузці висотою 4 метри до палуби другого поверху. Якщо загальна виконана робота -$400$ джоулі, яка маса 4 метрів мотузки?

Можна припустити, що мотузка має однакову щільність на всьому шляху.

16

До середини 10-метрової мотузки, яка звисає у вікно, прикріплена вага 5 кг. Одна одна мотузка має масу 1 кг. Скільки потрібно роботи, щоб протягнути всю мотузку через вікно разом з вагою?

17

По підлозі тягнеться ящик. Тертя чинить силу в протилежному напрямку руху від коробки, і ця сила дорівнює$\mu \times m \times g\text{,}$ де є постійною,$\mu$$m$ є масою коробки і$g$ є прискорення за рахунок сили тяжіння. Ви можете припустити, що$g=9.8$ м/с$^2\text{.}$

1. Скільки робіт виконується перетягуванням ящика масою 10 кг по підлозі на три метри, якщо$\mu=0.4\text{?}$
2. Припустимо, в коробці міститься летюча речовина, яке швидко випаровується. Ви тягнете коробку з постійною швидкістю 1 м/сек протягом трьох секунд, а маса коробки в$t$ секундах ($0 \leq t \leq 3$) -$(10-\sqrt{t})$ кілограми. Якщо$\mu=0.4\text{,}$ скільки робіт виконується витягування коробки за три секунди?

18

Куля масою 1 кг кріпиться до пружини, а пружина кріпиться до столу. Куля рухається з деякою початковою швидкістю, а пружина уповільнює його. У найдальшому місці весна тягнеться на 10 см повз своєї природної довжини. Якщо постійна пружини 5 Н/м, яка була початкова швидкість кулі?

Ви можете припустити, що куля починає рухатися з початковою швидкістю$v_0\text{,}$ і що єдиною силою, що уповільнює його, є пружина. Ви також можете припустити, що пружина почалася на своїй природній довжині, вона слідує закону Гука, а коли вона витягується найдалі, швидкість кулі дорівнює 0 м/сек.

19

М'який викладач університету, який, безумовно, не шпигун, помічає, що коли їхня машина знаходиться на землі, вона на 2 см коротша, ніж коли вона знаходиться на домкраті. (Тобто: коли автомобіль знаходиться на домкраті, його розпірки знаходяться на своїй природній довжині; коли на землі вага автомобіля змушує розпірки стискати 2 см.) Професор університету підраховує, що якби вони перестрибнули на розвідний міст місцевого району, їх автомобіль впаде на землю зі швидкістю 4 м/сек. Якщо машина може просісти на 20 см, перш ніж важливі деталі зішкребти землю, а машина має масу 2000 кг незайнятої (2100 кг з професором всередині), чи може професор, який вже точно не причетний до міжнародних інтриг, сміливо стрибати на міст?

Припустимо, що автомобіль падає вертикально, стійки підкоряються закону Гука, а робота, виконана підкосами, дорівнює зміні кінетичної енергії автомобіля + професора. Використовуйте 9.8 м/сек$^2$ для прискорення за рахунок сили тяжіння.

Етап 3

20

Одноразовий паперовий стаканчик має форму прямого круглого конуса радіусом 5 см і висотою 15 см, і повністю заповнений водою. Скільки роботи проводиться всмоктування всієї води з конуса соломинкою?

Можна припустити, що 1 м$^3$ води має масу 1000 кілограмів, прискорення за рахунок сили тяжіння становить$-9.8$ м/сек$^2\text{,}$ і що вода рухається так високо вгору, як сама вершина чашки і не вище.

21 (✳)

Сферичний резервуар радіусом$3$ метрів наполовину наповнений водою. Він має носик довжиною$1$ метра стирчить вгору з верхньої частини бака. Знайдіть роботу, необхідну для відкачування всієї води в баку з носика. Щільність води -$1000$ кілограми на кубічний метр. Прискорення за рахунок гравітації становить$9.8$ метри в секунду в квадраті.

22

5-метровий трос витягується з глибокого отвору, де він звисав прямо вниз. Кабель має щільність$\rho(x) = (10-x)$ кг/м,$x$ де відстань від нижнього кінця мотузки. (Так, низ кабелю щільніше верхньої.) Скільки робіт виконується витягування кабелю з отвору?

23

Прямокутний бак оснащений плунжером, який може піднімати і знижувати рівень води за рахунок зменшення і збільшення довжини її підстави, як на схемах нижче. Бак має ширину підстави 1 м (яка не змінюється) і містить 3$^3$ м води.

Сила води, що діє на будь-який крихітний шматок плунжера,$PA\text{,}$ де$P$ знаходиться тиск води, і$\, d{A}$ площа крихітного шматочка. Тиск змінюється в залежності від глибини шматка (нижче поверхні води). Зокрема,$P=cD\text{,}$ де$D$ глибина крихітного шматка і$c$ є постійною, в даному випадку$c=9800$ Н/м$^3\text{.}$

1. Якщо довжина підстави становить 3 м, дайте силу води на весь вантуз. (Зробити це можна за допомогою інтеграла: це сума сили на всіх крихітних шматочках плунжера.)
2. Якщо довжина підстави дорівнює$x$ м, дайте силу води на весь вантуз.
3. Дайте роботу, необхідну для переміщення плунжера, щоб довжина підстави змінювалася від 3 м до 1 м.

24

Недіряве відро забирає 5 л води з колодязя, але капає по 1 л кожні десять секунд. Якщо ковш піднімався на 5 метрів з постійною швидкістю 1 метр кожні дві секунди, скільки роботи було зроблено?

Припустимо, що мотузка і відро мають незначну масу і один літр води має 1 кг маси, і використовуйте$9.8$ м/с$^2$ для прискорення за рахунок сили тяжіння.

25

Сила тяжіння між двома предметами, одним з маси,$m_1$ а іншим маси$m_2\text{,}$ -$r$ це$F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\text{,}$ де відстань між ними і$G$ є гравітаційною постійною.

Скільки потрібно роботи, щоб відокремити землю і Місяць досить далеко один від одного, щоб гравітаційне тяжіння між ними було незначним?

Припустимо, маса землі становить$6 \times 10^{24}$ кг, а маса Місяця -$7 \times 10^{22}$ кг, і що вони в даний час знаходяться на відстані 1$400\,000$ км один від одного. Крім того, припустимо$G = 6.7\times 10^{-11} \ \frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{sec}^2}\text{,}$ і єдиною силою, що діє на землю і Місяць, є гравітація між ними.

26

Правда чи помилково: робота, виконана підтягуванням звисаючого троса довжини$\ell$ і маси$m$ (з рівномірною щільністю) така ж, як і робота, виконана, піднявши вгору$m$ кульку маси на висоту$\ell/2\text{.}$

27

Резервуар висотою один метр заповнений водянистої грязі, яка осіла, щоб бути щільніше внизу, ніж вгорі.

На висоті$h$ метрів над дном резервуара перетин резервуара має форму кінцевої області, обмеженої двома кривими$y=x^2$ і$y=2-h-3x^2\text{.}$ На висоті$h$ метрів над дном резервуара щільність рідини становить$1000\sqrt{2-h}$ кілограми на кубічний метр.

Скільки робиться роботи, щоб відкачати всю рідину з бака?

Можна припустити, що прискорення за рахунок сили тяжіння дорівнює$9.8$ м/сек$^2\text{.}$

28

Пісочний годинник заввишки 0,2 м і має таку форму, що$y$ метрів вище або нижче його вертикального центру він має радіус$y^2+0.01$ м.

Він рівно наполовину наповнений піском, який має масу$M=\frac{1}{7}$ кілограмів.

Скільки роботи робиться на піску, швидко перевертаючи пісочний годинник?

Припустимо, що виконана робота рухається тільки проти сили тяжіння, при$g=9.8$ цьому м/сек$^2\text{,}$ і пісок має рівномірну щільність. Також припустимо, що в даний момент пісочний годинник перевертається, пісок ще не почав падати, як на малюнку вище.

29

Припустимо$x$, що в положенні частинка відчуває силу$F(x) = \sqrt{1-x^4}$ N. Приблизно виконана робота переміщення частинки з$x=0$$x=1/2\text{,}$ точної в межах$0.01$ J.

1. Наприклад - якщо ваш дорогий підручник із закритим джерелом впав на підлогу, робота кількісно визначає кількість енергії, необхідної для підняття об'єкта з підлоги, що діє проти сили тяжіння.
2. СІ скорочується від «le système international d'unités», що є французькою мовою для «міжнародної системи одиниць». Це остання міжнародно санкціонована версія метричної системи, опублікована в 1960 році. Він спрямований на встановлення розумних одиниць виміру (відсутність кубічних фурлонгів на Хогсхеда-Фаренгейта). Він визначає сім базових одиниць — метр (довжина), кілограм (маса), другий (час), кельвін (температура), ампер (електричний струм), моль (кількість речовини) і кандела (сила світла). З них потім можна встановити похідні одиниці - такі як метри в секунду для швидкості та швидкості.
3. Зокрема, другий із трьох законів руху Ньютона. Вони були вперше опубліковані в 1687 році в його «Філософія Naturalis Principia Mathematica».
4. Це насправді говорить щось більш витончене латинською мовою - Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressase, et fieri secundum lineam rectam qua vis Villa imprimitur. Або - Зміна руху завжди пропорційна рушійній силі, враженій; і робиться в тій лінії, в якій ця сила вражена. Дивно, що ви можете знайти в Інтернеті.
5. Це не текст фізики, тому ми не будемо занадто точними. Грубо кажучи, кінетична енергія - це енергія, якою володіє об'єкт завдяки тому, що він знаходиться в русі, на відміну від потенційної енергії, яка є енергією об'єкта завдяки його розташуванню в силовому полі. Лейбніц і Бернуллі визначили, що кінетична енергія пропорційна квадрату швидкості, тоді як сучасний термін «кінетична енергія» вперше був використаний лордом Кельвіном (ще тоді, коли він був ще Вільямом Томпсоном).
6. Роберт Гук (1635—1703) — англійський сучасник Ісаака Ньютона (1643—1727). Саме в листі Гука 1676 року Ньютон написав: «Якщо я бачив далі, то стоячи на плечах гігантів». Існує деяка думка, що це був сарказм, і Ньютон насправді висміював Гука, який мав деформацію хребта. Однак в той час Гук і Ньютон все ще були друзями. Через кілька років вони мали дещо публічне падіння над деякими роботами Ньютона з оптики.
7. Ми могли б призначити одиниці для цих вимірювань - наприклад, метри для довжини$h$ та$r$, і кілограми на кубічний метр для щільності$ρ$.
8. Потенціал для поганого «попрацювати, скільки працювати» каламбур тут.
9. Ця величина насправді не є постійною - вона трохи змінюється по всій поверхні землі залежно від місцевої щільності, висоти над рівнем моря і відцентрової сили від земного обертання. Він, наприклад, трохи вище в Осло і трохи нижче в Сінгапурі. Це насправді визначено бути$9.80665$ m/$\mathrm{sec}^2$ by the International Organisation for Standardization.
10. Для обох авторів надзвичайно загадково, чому людина буде займатися наукою чи технікою в імперських одиницях. Один з авторів все ще має кошмари про те, що йому довелося робити це як студент. Інший автор вдячний за те, що уникнув таких тортур.
11. Ньютон опублікував свій зворотний квадратний закон всесвітнього тяжіння в своїй Principia в 1687 році. Його закон говорить, що гравітаційна сила між двома масами$m_1$ and $m_2$ is $F = -G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ where $r$ is the distance separating the (centers of the) masses and $G= 6.674\times 10^{-11} \mathrm{N}\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2$ is the gravitational constant. Notice that $r$ measures the separation between the centers of the masses not the distance between the surfaces of the objects. Also, do not confuse $G$ with $g$ — standard acceleration due to gravity. The first measurement of $G$ was performed by Henry Cavendish in 1798 — the interested reader should look up the “Cavendish experiment” for details of this very impressive work.
12. Для цієї проблеми не має значення, що одиниці виміру, але гладкий - це дурна міра довжини; Мегафонзі - це апокрифічна міра прохолоди; а сарай - це гумористична (але насправді використовується) міра площі. Роз'яснення (та розваги) див. https://en.Wikipedia.org/wiki/List_of_humorous_units_of_measurement та https://en.Wikipedia.org/wiki/List_of_unusual_units_of_measurement (доступ до 27 липня 2017 року).