3.1.1: Десяткові та дроби
- Page ID
- 67564
- Читати і записувати числа в десяткових числах.
- Запишіть десяткові числа у вигляді дробів.
- Запишіть дроби у вигляді десяткових знаків.
Вступ
Крім позначення дробів, десяткове позначення - це ще один спосіб запису чисел від 0 до 1. Десяткові числа також можна використовувати для запису чисел між будь-якими двома цілими числами. Наприклад, вам, можливо, доведеться написати чек на 2 003,38$. Або, вимірюючи довжину кімнати, ви можете виявити, що довжина знаходиться між двома цілими числами, такими як 35.24 футів. У цій темі мова піде про читання і написання десяткових чисел, а також переписування їх в дробові позначення.
Щоб прочитати або записати числа, записані в десяткових числах, потрібно знати місце значення кожної цифри, тобто значення цифри виходячи з її положення всередині числа. При десяткових числах позиція числівника по відношенню до десяткової крапки визначає його місце значення. Наприклад, значення місця 4 в 45,6 знаходиться в десятому місці, тоді як значення місця 6 в 45,6 знаходиться на десятому місці.
Десяткове позначення
Десяткові числа - це числа, значення місця яких засновані на 10s. Цілі числа насправді десяткові числа, які більше або рівні нулю. Діаграму значень місця можна розширити, включивши числа менше одиниці, які іноді називають десятковими дробами. Десяткова крапка використовується для поділу цілої числової частини числа і частини дробу числа.
Скажімо, ви вимірюєте довжину під'їзної дороги і виявите, що це 745 футів. Ви б сказали це число як сімсот сорок п'ять. Тоді більш точне вимірювання показує, що це 745,36 футів. Давайте розмістимо це число в діаграмі значень місця.
Те, що ви хочете вивчити зараз, - це значення місця десяткової частини, які є цифрами 3 та 6 на діаграмі нижче.
| Десяткові числа | Сотні | Десятки | Оні | Десяткова крапка | Десяті | Соті |
| 745.36 | 7 | 4 | 5 | . | 3 | 6 |
Зверніть увагу, як імена значень місця починаються з десяткової крапки. Ліворуч від десяткової крапки знаходяться ті, десятки і сотні місць, де ви ставите цифри, які представляють цілі числа, які більше або рівні нулю. Праворуч від десяткової крапки знаходяться десяті і соті частки, де ви ставите цифри, що представляють числа, які є дробовими частинами одиниці, числа, які більше нуля і менше одиниці.
Знову ж таки, місце значення числа залежить від того, наскільки далеко воно знаходиться від десяткової крапки. Це видно на графіку нижче, де кожне число має цифру «4», що займає різне місце значення.
| Десяткові числа | Тисячі | Сотні | Десятки | Оні | Десяткова крапка | Десяті | Соті | Тисячні |
| 0,004 | 0 | . | 0 | 0 | 4 | |||
| 0,04 | 0 | . | 0 | 4 | ||||
| 0.4 | 0 | . | 4 | |||||
| 4 | 4 | . | ||||||
| 40 | 4 | 0 | . | |||||
| 400 | 4 | 0 | 0 | . | ||||
| 4000 | 4 | 0 | 0 | 0 | . |
Уявіть, що в міру спуску великого балона обсяг повітря всередині нього йде від 1000 літрів, до 100 літрів, до 10 літрів, до 1 літра. Зверніть увагу, що ви поділяєте значення місця на десять, як ви йдете вправо. Ви ділите 100 на 10, щоб дістатися до десятки місця. Це тому, що є 10 десятків у 100. Потім ви ділите 10 на 10, щоб дістатися до тих місць, тому що в 10 є 10.
Тепер припустимо, балон продовжує втрачати обсяг, переходячи від 1 літра, до 0,1 літра, до 0,01 л, а потім до 0,001 л. Зверніть увагу, що ви продовжуєте ділити на 10 при переході до десяткових знаків. Ви ділите 1 на,\(\ 10\left(\frac{1}{10}\right)\) щоб дістатися до десятого місця, яке в основному розбиває один на 10 частин. А щоб дістатися до сотні місця, ви розбиваєте десяту ще на десять частин, в результаті чого виходить дріб\(\ \frac{1}{100}\). Взаємозв'язок між десятковими знаками і дробами фіксується в таблиці нижче.
| Слово форма | Десяткове позначення | Позначення дробу |
| тисяча | 1 000 | \(\ \frac{1,000}{1}\) |
| сто | 100 | \(\ \frac{100}{1}\) |
| десять | 10 | \(\ \frac{10}{1}\) |
| один | 1 | \(\ \frac{1}{1}\) |
| одна десята | 0.1 | \(\ \frac{1}{10}\) |
| сотий | 0,01 | \(\ \frac{1}{100}\) |
| тисячна | 0,001 | \(\ \frac{1}{1,000}\) |
Розглянемо число з більшою кількістю цифр. Припустимо, у рибалки є мережа, повна риби, яка важить 1 357,924 кілограмів. Щоб написати це число, потрібно використовувати тисячне місце, яке складається з 10 сотень. Ви також використовуєте тисячні місця, яке становить\(\ \frac{1}{10}\) соту. Іншими словами, в сотих десятьтисячних частках.
| Десяткові числа | не збоку | -й бічний | ||||||
| Тисячі | Сотні | Десятки | Оні | Десяткова крапка | Десяті | Соті | Тисячні | |
| 1 357.924 | 1 | 3 | 5 | 7 | . | 9 | 2 | 4 |
Як бачите, перехід від десяткової крапки вліво - це одиниці, десятки, сотні, тисячі і т.д. це «без ї сторони», які є числами більше або дорівнюють одиниці. Переміщення від десяткової крапки вправо становить десяті, соті, тисячні. Це «а сторона», яка є числами менше 1.
1 357.924
не з боку,
Візерунок, що йде вправо або вліво від десяткової крапки, однаковий, але є дві великі відмінності:
- Значення місця праворуч від десяткової крапки закінчуються на «th».
- Не існує такого поняття, як «однотипні». З вашої роботи з дробами ви знаєте, що 5 і\(\ \frac{5}{1}\) однакові.
Яке місце значення 8 в 4,279.386?
Рішення
Запишіть число в діаграмі місця-значення. Прочитайте значення 8 з діаграми.
| Десяткові числа | не збоку | -й бічний | ||||||
| Тисячі | Сотні | Десятки | Оні | Десяткова крапка | Десяті | Соті | Тисячні | |
| 4 279.386 | 4 | 2 | 7 | 9 | . | 3 | 8 | 6 |
У числі 4 279.386 8 знаходиться на сотих місцях.
Що таке значення місця 7 в 324,2671?
- тисячі
- тисячних
- сотні
- сотих
- Відповідь
-
- Неправильний. Цифра 7 знаходиться праворуч від десяткової крапки, а це означає, що вона менше одиниці і на тій стороні. Правильна відповідь - тисячні.
- Правильно. Цифра 7 - три знака після коми праворуч від десяткової крапки, а це означає, що вона знаходиться в тисячному місці.
- Неправильний. Цифра 7 - три знака після коми праворуч від десяткової крапки, а це означає, що вона знаходиться в тисячному місці.
- Неправильний. Цифра 7 - три знака після коми праворуч від десяткової крапки, а це означає, що вона знаходиться в тисячному місці.
Читання десяткових знаків
Найпростіший спосіб прочитати десяткове число - прочитати десяткову частину дробу як дріб. (Не спрощуйте дріб хоча.) Припустимо, у вас в чашці 0,4 грама йогурту. Ви б сказали: «4 десятих грама йогурту», оскільки 4 знаходиться на десятому місці.
Зверніть увагу, що знаменник дробу, записаного у вигляді дробу, завжди дорівнює десяти, а кількість нулів у знаменнику збігається з кількістю десяткових знаків праворуч від десяткової крапки. Дивіться приклади в таблиці нижче для подальших вказівок.
| Десяткове позначення | Позначення дробу | Слово форма |
| 0.5 | \(\ \frac{5}{10}\) | п'ять десятих |
| 0,34 | \(\ \frac{34}{100}\) | тридцять чотири сотих |
| 0.896 | \(\ \frac{896}{1,000}\) | вісімсот дев'яносто шість тисячних |
Зверніть увагу, що 0.5 має один десятковий розряд. Його\(\ \frac{5}{10}\) еквівалентний дріб має знаменник 10 - який дорівнює 1, а потім один нуль. Загалом, при перетворенні десяткових знаків у дроби знаменник завжди дорівнює 1, за ним йде кількість нулів, які відповідають кількості десяткових знаків у вихідному числі.
Ще один спосіб визначити, яке число помістити в знаменник - використовувати місце значення останньої цифри без «ths» частини. Наприклад, якщо число 1,458, то 8 знаходиться на тисячному місці. Візьміть «ths» і у вас тисячу, тому число пишеться як\(\ 1 \frac{458}{1000}\).
Напишіть 0,68 в словоформі.
Рішення
| \(\ 0.68=\frac{68}{100}\)= шістдесят вісім сотих |
Зверніть увагу, що число читається як дріб. Також зверніть увагу, що знаменник має 2 нулі, такі ж, як і кількість десяткових знаків у вихідному числі. |
Число 0,68 в словоформі становить шістдесят вісім сотих.
Нагадаємо, що мішане число - це комбінація цілого числа і дробу. У випадку з десятковим, мішане число - це також комбінація цілого числа і дробу, де дріб записується як десятковий дріб.
Щоб прочитати мішані числа, скажіть цілу числову частину, слово «і» (що представляє десяткову крапку) і число праворуч від десяткової крапки, за яким слідують ім'я та місце останньої цифри. Ви можете побачити це продемонстровано на схемі нижче, в якій остання цифра знаходиться на десятитисячному місці.
Ще один спосіб подумати про це - з грошима. Припустимо, ви платите $15,264.25 за автомобіль. Ви б прочитали це як п'ятнадцять тисяч, двісті шістдесят чотири долари і двадцять п'ять центів. В даному випадку «центи» означає «соті частки долара», так що це те ж саме, що говорити п'ятнадцять тисяч, двісті шістдесят чотири і двадцять п'ять сотих. Ще кілька прикладів наведені в таблиці нижче.
| Десяткове позначення | Позначення дробу | Слово форма |
| 9.4 | \(\ 9 \frac{4}{10}\) | Дев'ять і чотири десяті |
| 87.49 | \(\ 87 \frac{49}{100}\) | Вісімдесят сім і сорок дев'ять сотих |
| 594.236 | \(\ 594 \frac{236}{1000}\) | П'ятсот дев'яносто чотири і двісті тридцять шість тисячних |
Напишіть 4.379 в словоформі.
Рішення
| \(\ 4.379=4 \frac{379}{1,000}\)= чотири і триста сімдесят дев'ять тисячних |
Десятковий дріб читається як дріб. Зверніть увагу, що знаменник має 3 нулі, такі ж, як і кількість десяткових знаків у вихідному числі. |
Число 4.379 в словоформі становить чотири і триста сімдесят дев'ять тисячних.
Напишіть 2.364 в словоформі.
- дві з трьома сотнями шістдесят чотири соті
- дві і триста шестьдесят чотири тисячні
- дві тисячі триста шістдесят чотири
- триста шістдесят чотири десяті і два
- Відповідь
-
- дві з трьома сотнями шістдесят чотири соті
Неправильний. Ви вказали неправильний десятковий знак у своїй відповіді. Правильна відповідь - дві і триста шестьдесят чотири тисячні.
- Правильно. 2.364 це те ж саме\(\ 2 \frac{364}{1,000}\), що і, тому крім цілого числа 2, у вас є триста шестьдесят чотири тисячні.
- Неправильний. Ви проігнорували десяткову крапку. Правильна відповідь - десяткова; в даному випадку дві і триста шестьдесят чотири тисячні.
- Неправильний. Ви вказали неправильний десятковий знак у своїй відповіді, а цілу цифрову частину слід згадати перед десятковою частиною. Правильна відповідь - дві і триста шестьдесят чотири тисячні.
- дві з трьома сотнями шістдесят чотири соті
Написання десяткових дробів як спрощених дробів
Як ви бачили вище, кожне десяткове число може бути записано як дріб. Щоб перетворити десяткове число в дріб, помістіть число після десяткової крапки в чисельник дробу і помістіть в знаменник число 10,100, або 1000, або іншу ступінь 10. Наприклад, 0.5 буде записано як\(\ \frac{5}{10}\). Ви помітите, що ця фракція може бути ще більше спрощена, як\(\ \frac{5}{10}\) зводиться до\(\ \frac{1}{2}\), що є остаточною відповіддю.
Давайте детальніше ознайомимося з цим співвідношенням між десятковими знаками і нулями в знаменнику, подивившись кілька прикладів. Зверніть увагу, що в кожному прикладі кількість десяткових знаків різна.
Запишіть 0.6 як спрощений дріб.
Рішення
| \(\ 0.6=\frac{6}{10}\) | Останній десятковий знак - десяті, тому використовуйте 10 для свого знаменника. Кількість нулів у знаменнику завжди збігається з кількістю десяткових знаків у вихідній десятковій. |
| \(\ \frac{6 \div 2}{10 \div 2}=\frac{3}{5}\) | Спростити дріб. |
\(\ 0.6=\frac{3}{5}\)
Давайте розглянемо приклад, в якому число з двома знаками після коми записується у вигляді дробу.
Запишіть 0.64 як спрощений дріб.
Рішення
| \(\ 0.64=\frac{64}{100}\) | Останній десятковий знак - соті, тому використовуйте 100 для свого знаменника. Кількість нулів у знаменнику завжди збігається з кількістю десяткових знаків у вихідній десятковій. |
| \(\ \frac{64 \div 4}{100 \div 4}=\frac{16}{25}\) | Спростити дріб. |
\(\ 0.64=\frac{16}{25}\)
Тепер вивчіть, як це робиться в прикладі нижче за допомогою десяткової коми з цифрами в трьох десяткових знаках.
Запишіть 0.645 як спрощений дріб.
Рішення
| \(\ 0.645=\frac{645}{1,000}\) | Зверніть увагу, що в знаменнику є 3 нулі, що збігається з кількістю десяткових знаків у вихідній десятковій. |
| \(\ \frac{645 \div 5}{1,000 \div 5}=\frac{129}{200}\) | Спростити дріб. |
\(\ 0.645=\frac{129}{200}\)
Ви можете записати дріб як десятковий, навіть якщо праворуч від десяткової крапки є нулі. Ось приклад, в якому єдина цифра більша за нуль знаходиться в тисячному місці.
Запишіть 0.007 як спрощений дріб.
Рішення
| \(\ 0.007=\frac{7}{1,000}\) |
Зверніть увагу, що 7 знаходиться в тисячному місці, тому ви пишете 1000 в знаменнику. Кількість нулів у знаменнику завжди збігається з кількістю десяткових знаків у вихідній десятковій. Дріб не може бути спрощений далі. |
\(\ 0.007=\frac{7}{1,000}\)
При написанні десяткових знаків більше 1 вам потрібно лише змінити десяткову частину на дріб і зберегти цілу цифрову частину. Наприклад, 6.35 можна записати як\(\ 6 \frac{35}{100}\).
Запишіть 8.65 як спрощений змішаний дріб.
Рішення
| \(\ 8.65=8 \frac{65}{100}=8 \frac{13}{20}\) |
Перепишіть 0.65 як\(\ \frac{65}{100}\). Зверніть увагу, що кількість нулів у знаменнику дорівнює двом, що збігається з кількістю десяткових знаків у вихідній десятковій. Потім спростити\(\ \frac{65}{100}\), розділивши чисельник і знаменник на 5. |
\(\ 8.65=8 \frac{13}{20}\)
Запишіть 0,25 як дріб.
- \(\ \frac{2}{5}\)
- \(\ \frac{1}{4}\)
- \(\ \frac{4}{1}\)
- \(\ \frac{5}{2}\)
- Відповідь
-
- Неправильний. Можливо, ви поставили цифру з десятого місця в чисельнику, а цифру з сотих - в знаменнику. Правильна відповідь -\(\ \frac{1}{4}\).
- Правильно. Число 0,25 можна записати як\(\ \frac{25}{100}\), що зводиться до\(\ \frac{1}{4}\).
- Неправильний. Ви напевно переплутали чисельник і знаменник. Правильна відповідь -\(\ \frac{1}{4}\).
- Неправильний. Можливо, ви поставили цифру з десятого місця в знаменнику, а цифру з сотих - в чисельнику. Правильна відповідь -\(\ \frac{1}{4}\).
Запис дробів у вигляді десяткових знаків
Так само, як ви можете записати десятковий як дріб, кожен дріб може бути записаний як десятковий. Щоб записати дріб як десятковий, розділіть чисельник (верх) дробу на знаменник (нижній) дробу. Скористайтеся довгим діленням, якщо необхідно, і зверніть увагу, де розмістити десяткову крапку у вашій відповіді. Наприклад, щоб записати\(\ \frac{3}{5}\) як десяткове число, ділимо 3 на 5, що призведе до 0,6.
Запишіть\(\ \frac{1}{2}\) як десяткове число.
Рішення
| \ (\\ begin {масив} {r} 0.5\\\ 2\ longdiv {1.0}\\ -1.0\ \ hline 0\ \ end {масив}\) |
Використовуючи довге ділення, ви можете побачити, що ділення 1 на 2 призводить до 0,5. |
\(\ \frac{1}{2}=0.5\)
Зверніть увагу, що ви також могли подумати про проблему так:\(\ \frac{1}{2}=\frac{?}{10}\), а потім вирішити для?. Один із способів подумати про цю проблему полягає в тому, що 10 в п'ять разів більше, ніж 2, тому доведеться в п'ять разів більше 1. Яке число в п'ять разів більше 1? П'ять є, так що рішення є\(\ \frac{1}{2}=\frac{5}{10}\).
Тепер розглянемо більш складний приклад, де кінцева цифра відповіді знаходиться в тисячному місці.
Запишіть\(\ \frac{3}{8}\) як десяткове число.
Рішення
| \ (\\ begin {масив} {r} 0.375\\\ 8\ longdiv {3.000}\\ -24\\\\\ \ hline 60\\\\\\\ -56\\\\\\\ \ hline 40\\\\ -40\\\ \ hline 0\\ \ кінець {масив}\) |
Використовуючи довге ділення, ви можете побачити, що ділення 3 на 8 призводить до 0.375. |
\(\ \frac{3}{8}=0.375\)
Перетворення з дробів у десяткові числа іноді призводить до відповідей з десятковими числами, які починають повторюватися. Наприклад,\(\ \frac{2}{3}\) перетворює в 0.666, що повторюється десятковий, в якому 6 повторюється нескінченно. Ви б написали це як\(\ 0 . \overline{6}\), з рядком над першою десятковою цифрою, щоб вказати, що 6 повторюється. Подивіться на цей приклад задачі, в якій повторюються дві послідовні цифри у відповіді.
Перетворити\(\ \frac{4}{11}\) на десяткове число.
Рішення
| \ (\\ почати {масив} {r} 0.3636\\\ 11\ longdiv {4.0000}\\\ -33\\\\\ \ hline 70\\\\\\\\\ -66\\\\\\\\ \ hline 40\\\\\\ -33\\\\ \ hline 70\\\ -66\\\ \ hline 4\\ \ кінець {масив}\) |
Використовуючи довге ділення, ви можете побачити, що ділення 4 на 11 призводить до повторення 0,36. В результаті це пишеться з рядком над ним як\(\ 0 . \overline{36}\). |
\(\ \frac{4}{11}=0 . \overline{36}\)
Якщо числа більше 1, зберігайте всю числову частину змішаного числа як ціле число в десятковій. Потім використовуйте довге ділення, щоб перетворити частину дробу в десяткову. Наприклад,\(\ 2 \frac{3}{20}\) може бути записана як 2.15.
Перетворити\(\ 2 \frac{1}{4}\) на десяткове число.
Рішення
| \ (\\ почати {масив} {r} 0.25\\\ 4\ longdiv {1.00}\\ -8\\\ \ hline 20\\\\ hline 0\\ \ hline 0\ \ end {масив}\) |
Знаючи, що все число 2 залишиться колишнім при перетворенні, орієнтуйтеся тільки на десяткову частину. Використовуючи довге ділення, ви можете побачити, що ділення 1 на 4 призводить до 0,25. |
| \(\ 2+0.25=2.25\) | Тепер поверніть ціле число 2, а отриманий дріб дорівнює 2,25. |
\(\ 2 \frac{1}{4}=2.25\)
Щоб записати дріб як десятковий, розділіть чисельник (верх) дробу на знаменник (нижній) дробу.
У разі повторення десяткових знаків напишіть повторювану цифру або цифри з рядком над нею. Наприклад, 0.333 повторення буде записано як\(\ 0 . \overline{3}\).
Резюме
Десяткове позначення - це ще один спосіб написання чисел, які менше 1 або які об'єднують цілі числа з десятковими дробами, іноді звані змішаними числами. Коли ви пишете числа в десяткових числах, ви можете використовувати розширену діаграму значень місця, яка включає позиції для чисел менше одиниці. Ви можете записати числа, записані в дробових позначеннях (дробах) в десяткових числах (десяткових знаках), а ви можете записати десяткові числа як дроби. Ви завжди можете конвертувати між дробовими і десятковими позначеннями.