4.1: Логічна логіка

Ми часто можемо класифікувати предмети як належать до наборів. Якщо ви пішли в бібліотеку шукати книгу, і вони попросили вас висловити свій пошук, використовуючи спілки, перехрестя та доповнення наборів, це було б трохи дивно. Замість цього ми зазвичай використовуємо такі слова, як «і», «або» і «не», щоб з'єднати наші ключові слова разом, щоб сформувати пошук. Ці слова, які складають основу булевої логіки, безпосередньо пов'язані з нашими множинними операціями.

Визначення: Логічна логіка

Логічна логіка поєднує в собі кілька тверджень, які є істинними або хибними, у вираз, який є істинним або помилковим.

У зв'язку з множинами пошук має значення true, якщо елемент є частиною множини.

Припустимо,$M$ це набір всіх таємничих книг, і$C$ це набір всіх комедійних книг. Якщо ми шукаємо «таємницю», ми шукаємо всі книги, які є елементом набору$M$; пошук вірний для книг, які є в наборі.

Коли ми шукаємо «таємницю та комедію», ми шукаємо книгу, яка є елементом обох наборів, на перетині. Якби ми шукали «таємницю чи комедію», ми шукаємо книгу, яка є таємницею, комедією чи обома, яка є об'єднанням наборів. Якщо ми шукали «не комедію», ми шукаємо будь-яку книгу в бібліотеці, яка не є комедією, доповненням набору$C$.

Підключення до встановлених операцій

$A$і$B$ елементів на перетині$A ⋂ B$

$A$або$B$ елементи в союзі$A ⋃ B$

Чи не$A$ елементи в доповненні$A^c$

Зверніть увагу тут, що або не є ексклюзивним. Це різниця між логічною логікою використання слова і загальним повсякденним вживанням. Коли ваша друга половинка запитує «ви хочете піти в парк чи кіно?» вони зазвичай пропонують ексклюзивний вибір — той чи інший варіант, але не обидва. У логічній логіці, або не є ексклюзивним - більше схоже на запитання в ресторані «хотіли б ви картопля фрі чи напій з цим?» Відповідь «обидва, будь ласка» - прийнятна відповідь.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо, ми шукаємо базу даних бібліотек для мексиканських університетів. Висловіть розумний пошук за допомогою логічної логіки.

Рішення

Ми могли б почати з пошуку «Мексика та університет», але, швидше за все, знайдуть результати для американського штату Нью-Мексико. Щоб врахувати це, ми могли б переглянути наш пошук, щоб прочитати: Мексика та університет, а не «Нью-Мексико»

У більшості пошукових систем Інтернету не потрібно включати слово і; пошукова система припускає, що якщо ви надаєте два ключові слова, ви шукаєте обидва. У пошуку Google ключове слово або має бути записано з великої літери як OR, а негативний знак перед словом використовується для позначення «ні». Цитати навколо фрази вказують на те, що слід шукати всю фразу. Пошук з попереднього прикладу в Google можна було написати: Університет Мексики - «Нью-Мексико»

Приклад$\PageIndex{2}$

Опишіть числа, які відповідають умові: парні і менше 10 і більше 0

Рішення

Числа, які задовольняють усім трьом вимогам: {2, 4, 6, 8}

Іноді заяви, зроблені англійською мовою, можуть бути неоднозначними. З цієї причини логічна логіка використовує дужки для показу прецеденту, як і в алгебраїчному порядку операцій.

Приклад$\PageIndex{3}$

Англійська фраза «Іди в магазин і купи мені яєць і бубликів або крупи» неоднозначна; незрозуміло, чи запитувачі завжди просять яєць разом з бубликами або крупою, або вони просять або поєднання яєць і бубликів, або просто крупи.

Рішення

З цієї причини використання дужок уточнює намір:

Яйця і (бублики або крупа) означає Варіант 1: Яйця і бублики, Варіант 2: Яйця і крупа

(Яйця та бублики) або крупа означає Варіант 1: Яйця та бублики, Варіант 2: Зернові

Приклад$\PageIndex{4}$

Опишіть числа, які відповідають умові: непарне число і менше 20 і більше 0 і (кратні 3 або кратні 5)

Рішення

Перші три умови обмежують нас набором {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

Останні згруповані умови говорять нам про те, щоб знайти елементи цього набору, які також кратні 3 або кратні 5. Це залишає нам набір {3, 5, 9, 15}

Зверніть увагу, що ми отримали б зовсім інший результат, якби ми написали (непарне число і менше 20 і більше 0 і кратне 3) або кратне 5

Перший згрупований набір умов дасть {3, 9, 15}. Однак у поєднанні з останньою умовою ця множина розширюється без обмежень: {3, 5, 9, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,...}

Майте на увазі, що коли рядок умов пишеться без угруповання символів, він часто інтерпретується зліва направо, що призводить до останнього тлумачення.