Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.4: Додавання та віднімання дробів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66417

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ось два дуже схожих дробу:\(\frac{2}{7}\) і\(\frac{3}{7}\). Що може означати їх додавання? Може здатися розумним сказати:

    \[\frac{2}{7}\; \text{represents 2 pies shared by 7 kids} \ldotp \nonumber \]

    \[\frac{3}{7}\; \text{represents 3 pies shared by 7 kids} \ldotp \nonumber \]

    Тож, можливо,\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7}\) представляє 5 пирогів серед 14 дітей, даючи відповідь\(\frac{5}{14}\). Дуже спокусливо сказати, що «додавання дробів» означає «додавання пирогів і додавання малюків».

    Біда в тому, що дріб - це не пиріг, а дріб - не дитина. Таким чином, додавання пирогів і додавання дітей насправді не додавання дробів. Дріб - це щось інше. Це пов'язано з пирогами і малюками, але щось більш тонке. Фракція - це кількість пирога на дитину.

    Не можна додавати пироги, не можна додавати дітей. Натомість потрібно додати суми, які отримують окремі діти.

    Приклад: 2/7 + 3/7

    Давайте візьмемо це повільно. Розглянемо дріб\(\frac{2}{7}\). Ось картинка суми, яку отримує окрема дитина, коли два пирога дають семеро малюкам:

    two-sevenths.png

    Розглянемо дріб\(\frac{3}{7}\). Ось картина суми, яку отримує окрема дитина, коли три пирога дають семеро дітям:

    three-sevenths.png

    Сума\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7}\) відповідає сумі:

    sum-of-five-sevenths-300x85.png

    Відповідь, з картинки, є\(\frac{5}{7}\).

    Подумайте/Пара/Поділитися

    Пам'ятайте, що\(\frac{5}{7}\) це означає «кількість пирога, яке отримує одна дитина, коли п'ять пирогів ділять семеро дітей». Уважно поясніть, чому це те саме, що зображення, наведене вище сумою:

    five-sevenths.png

    Ваше пояснення повинно використовувати як слова, так і картинки!

    Більшість людей читають це як «дві сьомі плюс три сьомі дають п'ять сьомих» і думають, що проблема така ж проста, як сказати «два яблука плюс три яблука дає п'ять яблук». І, врешті-решт, вони мають рацію!

    sum-of-five-sevenths-300x85.png

    Ось так спочатку навчають студентів додавання дробів: додавання дробів з тим же знаменником здається таким же простим, як додавання яблук:

    4 десятих + 3 десятих + 8 десятих = 15 десятих.

    \[\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{8}{10} = \frac{15}{10} \ldotp \nonumber \]

    (І, якщо хочете,\(\frac{15}{10} = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{2}\).)

    82 шістдесят п'ятих + 91 шістдесят п'ятих = 173 шістдесят п'ятих:

    \[\frac{82}{65} + \frac{91}{65} = \frac{173}{65} \ldotp \nonumber \]

    Ми дійсно додаємо суми на дитину, а не суми, але відповіді збігаються однаково.

    Ми можемо використовувати «Пироги на дитину модель», щоб пояснити, чому додавання дробів з подібними знаменниками працює таким чином.

    Приклад: 2/7 + 3/7

    Подумайте про проблему додавання\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7}\):

    \[\begin{split} \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 2 pies} & \\ +\; \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 3 pies} \\ \hline ????? \qquad \qquad \qquad \qquad & \end{split} \nonumber \]

    Оскільки в обох випадках у нас є 7 дітей, які діляться пирогами, ми можемо собі уявити, що це ті ж 7 дітей в обох випадках. Спочатку вони діляться 2 пирогами. Потім ділять ще 3 пирога. Загальна кожна дитина отримує на той час, коли всі пироги обміну робиться так само, як якщо б 7 діти тільки що поділилися 5 пирогів для початку. Тобто:

    \[\begin{split} \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 2 pies} & \\ +\; \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 3 pies} \\ \hline \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 5 pies} \ldotp & \end{split} \nonumber \]

    \[\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} \ldotp \nonumber \]

    Тепер подумаємо про загальний випадок. Наше твердження полягає в тому, що

    \[\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d} \ldotp \nonumber \]

    Переводячи на нашу модель, у нас єd діти. По-перше, вони ділятьсяa пирогами між ними, і\(\frac{a}{d}\) представляє суму, яку отримує кожна дитина. Потім вони поділяютьб більше пирогів, тому додаткова кількість пирога отримує кожна дитина\(\frac{b}{d}\). Загальна сума, яку отримує кожна дитина, є\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}\).

    Але не має особливого значення, що малюки спочатку ділятьсяa пирогами, а потім ділятьсяб пирогами. Сума, яку отримує кожна дитина, така ж, як якщо б вони почали з усіх пирогів - усіх\(a + b\) - і поділилися ними порівну. Ця кількість пирога представлена\(\frac{a + b}{d}\).

    Подумайте/Пара/Поділитися
    • Як можна відняти дроби з однаковим знаменником? Наприклад, що таке $$\ frac {400} {903} -\ frac {170} {903}? $$
    • Використовуйте модель «Пироги на дитину», щоб уважно пояснити, чому $$\ frac {a} {d} -\ frac {b} {d} =\ frac {a - b} {d}\ ldotp$$
    • Поясніть, чому той факт, що знаменники однакові, має важливе значення для цього методу додавання та віднімання. Де цей факт використовується в поясненнях?

    Дроби з різними знаменниками

    Такий підхід до додавання дробів раптово стає складним, якщо задіяні знаменники не є однаковим загальним значенням. Наприклад, що таке\(\frac{2}{5} + \frac{1}{3}\)?

    two-fifths-plus-one-third-300x123.png

    Сформулюємо це питання з точки зору пирогів і малюків:

    Припустимо, Пуандекстер є частиною команди з п'яти дітей, яка ділиться двома пирогами. Потім він є частиною команди з трьох дітей, яка ділиться одним пирогом. Скільки пирога отримує Poindexter в цілому?

    Подумайте/Пара/Поділитися

    Поговоріть про ці питання з партнером, перш ніж читати далі. Це насправді дуже складна проблема! Що може сказати студент, якщо вони ще не знають про додавання дробів? Запишіть будь-які свої думки.

    1. Ви бачите, що це та ж проблема, що і обчислення\(\frac{2}{5} + \frac{1}{3}\)?
    2. Що може бути найкращим підходом до відповіді на проблему?

    Один із способів подумати про те, щоб відповісти на це додаткове запитання - написати\(\frac{2}{5}\) в серії альтернативних форм, використовуючи наше ключове правило дробу (тобто помножити чисельник і знаменник кожен на 2, а потім кожен на 3, а потім кожен на 4 і так далі) і зробити те ж саме для\(\frac{1}{3}\):

    \[\begin{split} \frac{2}{5} + \frac{1}{3} & \\ \frac{4}{10} \quad \frac{2}{6} & \\ \textcolor{red}{\frac{6}{15}} \quad \frac{3}{9} & \\ \frac{8}{20}\; \; \frac{4}{12} & \\ \frac{10}{25}\; \; \textcolor{red}{\frac{5}{15}} & \\ \vdots \qquad \vdots\; & \end{split} \nonumber \]

    Ми бачимо, що проблема насправді\(\frac{2}{5} + \frac{1}{3}\) така ж, як\(\frac{6}{15} + \frac{5}{15}\). Таким чином, ми можемо знайти відповідь, використовуючи метод однойменного знаменника:

    \[\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \ldotp \nonumber \]

    Приклад: 3/8 + 3/10

    Ось ще один приклад додавання дробів з несхожими знаменниками:\(\frac{3}{8} + \frac{3}{10}\). У цьому випадку Валері входить до групи з 8 малюків, які діляться 3 пирогами. Пізніше вона входить до групи з 10 дітей, які діляться 3 різними пирогами. Скільки всього пирога отримала Валері?

    \[\begin{split} \frac{3}{8} + \frac{3}{10} & \\ \frac{6}{16}\; \; \frac{6}{20} & \\ \frac{9}{24}\; \; \frac{9}{30} & \\ \frac{12}{32}\; \; \textcolor{red}{\frac{12}{40}} & \\ \textcolor{red}{\frac{15}{40}}\; \; \frac{15}{50} & \\ \vdots \qquad \vdots\; & \end{split} \nonumber \]

    \[\frac{3}{8} + \frac{3}{10} = \frac{15}{40} + \frac{12}{40} = \frac{17}{40} \ldotp \nonumber \]

    Звичайно, не потрібно перераховувати всі еквівалентні форми кожного дробу, щоб знайти спільний знаменник. Якщо ви можете побачити знаменник відразу (або подумайте про більш швидкий метод, який завжди працює), продовжуйте!

    Подумайте/Пара/Поділитися

    Кассі пропонує наступний метод для наведеного вище прикладу:

    Коли знаменники однакові, ми просто додаємо чисельники. Так що, коли чисельники однакові, ми не повинні просто додати знаменники? Ось так:\[\frac{3}{8} + \frac{3}{10} = \frac{3}{18} \ldotp \nonumber \]

    Що ви думаєте про пропозицію Кессі? Чи має сенс? Що б ви сказали, якби ви були вчителем Кессі?

    На свій розсуд

    Спробуйте ці вправи на свій розсуд. Для кожної вправи додавання також запишіть «Пироги на дитину» тлумачення проблеми. Можливо, ви також захочете намалювати малюнок.

    1. Що таке\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)?
    2. Що таке\(\frac{2}{5} + \frac{37}{10}\)?
    3. Що таке\(\frac{1}{2} + \frac{3}{10}\)?
    4. Що таке\(\frac{2}{3} + \frac{5}{7}\)?
    5. Що таке\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)?
    6. Що таке\(\frac{3}{10} + \frac{4}{25} + \frac{7}{20} + \frac{3}{5} + \frac{49}{50}\)?

    Тепер спробуйте ці вправи на віднімання.

    1. Що таке\(\frac{7}{10} - \frac{3}{10}\)?
    2. Що таке\(\frac{7}{10} - \frac{3}{20}\)?
    3. Що таке\(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\)?
    4. Що таке\(\frac{2}{35} - \frac{2}{7} + \frac{2}{5}\)?
    5. Що таке\(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16}\)?